2023屆山東省青島第二中學分校高三上學期期中質量檢測數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省青島第二中學分校高三上學期期中質量檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，集合，．則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【詳解】，解得或，所以或，所以，所以.故選：C2．復數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】將分母乘以其共軛復數(shù)進行分母實數(shù)化，化成的代數(shù)形式即得結果.【詳解】，故虛部為1.故選：B.3．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，且m，，則B．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】由線面，面面關系判斷各選項即可.【詳解】對于A，注意到當m，n平行時，直線l不垂直于平面，故A錯誤；對于B，當這三點有兩點位于平面一側，另一點位于平面另一側時，平面與平面不平行，故B錯誤；對于C，若，則直線不平行于平面，故C錯誤；對于D，因，則在平面內的任意直線均與直線n垂直，又，則在平面內的任意直線均與直線m垂直，由直線與平面垂直定義可知，故D正確.故選：D4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式結合誘導公式求解即可.【詳解】因為，所以，故選：A.5．若向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的數(shù)量積表示得，然后由向量夾角公式計算．【詳解】由已知得，，，，所以.故選：C．6．“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當時，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．7．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（

）．A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【分析】利用與的關系和累乘法求出即得解.【詳解】因為，，所以當時，，化為，從而，所以．適合.所以.故．故選：C8．設函數(shù)，有4個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據函數(shù)的單調性及零點存在定理可得當時函數(shù)有一個零點，然后根據三角函數(shù)的圖象和性質即得.【詳解】當時，單調遞增，且，，故有一個零點，所以當時，函數(shù)有3個零點，令，即，，解得，由題可得區(qū)間內的3個零點分別是，1，2取得，所以即在和之間，即，解得.故選：A．二、多選題9．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，然后縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，則下列四個結論中正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關于點中心對稱C．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)D．函數(shù)在上的值域為【答案】AB【分析】根據圖象平移規(guī)律得到，計算的值可判斷A；計算是否得0可判斷B；求出的單調遞增區(qū)間可判斷C；根據的范圍求出函數(shù)在上的值域可判斷D.【詳解】將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，然后所得函數(shù)縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫降膱D象，所以，對于A，，故正確；對于B，函數(shù)，故正確；對于C，由得，即，所以的單調遞增區(qū)間為，因為，故錯誤；對于D，因為，所以，，所以函數(shù)在上的值域為，故錯誤.故選：AB.10．已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．若，則數(shù)列的前項和為D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當時，的最大值為【答案】BC【分析】令時，由求出可判斷A；由知，，當時，取得的最小值可判斷B；若，求出數(shù)列的前項和可判斷C；由數(shù)列的下標和性質可得，則可判斷D.【詳解】對于A，由，當時，，由，當時，，所以A不正確；對于B，若，當時，，則，所以當時，取得的最小值為；對于C，若，設數(shù)列的前項和為，所以，故C正確；對于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，所以，當時，的最大值為，所以D不正確.故選：BC.11．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列判斷中正確的是（）A．DP∥面AB1D1B．三棱錐A﹣D1PC的體積為C．平面PB1D與平面ACD1所成二面角為90°D．異面直線與所成角的范圍是【答案】ACD【分析】A利用面面平行的性質證面；B應用等體積法，根據特殊點：與重合時求的體積；C先證明面，再利用面面垂直的判定定理證面面即可；D由，根據在線段的位置，即可確定異面直線與所成角的范圍.【詳解】A：連接，，，，由于，由面面平行的判定定理，可證明面面，又面，所以面，正確；B：，因為到面的距離不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當與重合時得，錯誤；C：由三垂線定理，可證明，再由線面垂直的判定定理可得面，又面，則面面，正確；D：由，異面直線與所成角即為與所成角，又為等邊三角形，當與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，正確.故選：ACD．12．設函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則下列說法正確的是（

）A． B．當時，的取值范圍為C．為奇函數(shù) D．方程僅有5個不同實數(shù)解【答案】BCD【分析】根據給定條件，確定函數(shù)的對稱性、周期性，判斷A，B，C；作出函數(shù)、的部分圖象判斷D作答.【詳解】依題意，當時，，當時，，函數(shù)的定義域為，有，又，即，因此有，即，于是有，從而得函數(shù)的周期，對于A，，A不正確；對于B，當時，，有，則，當時，，，有，，當時，的取值范圍為，B正確；對于C，，函數(shù)為奇函數(shù)，C正確；對于D，在同一坐標平面內作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：方程的實根，即是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有5個交點，因此方程僅有5個不同實數(shù)解，D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).三、填空題13．在平行四邊形中，，，若，則______.【答案】【分析】易得，則，后利用向量數(shù)量積知識解決問題.【詳解】因，則又注意到，.則=.故答案為:14．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學名著《九章算術?商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．【答案】【分析】確定外接球球心求得球半徑后可得表面積．【詳解】由于平面，因此與底面上的直線都垂直，從而與不可能垂直，否則是銳角三角形，由于，因此有，而與是平面內兩相交直線，則平面，平面，所以，所以的中點到四個點的距離相等，即為四面體PABC的外接球球心．，，所以所求表面積為．故答案為：．15．函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為___________.【答案】9【分析】先根據函數(shù)圖象過定點，求出點，依據點在直線上，找出，的關系，最后利用基本不等式求出的最小值．【詳解】∵恒過定點，∴過定點∴，即，∴≥，當且僅當即時等號成立，∴所以的最小值為9，故答案為：9.16．已知F是橢圓E：的左焦點，經過原點O的直線與橢圓E交于P，Q兩點，若且，則橢圓E的離心率為______．【答案】【分析】取橢圓的右焦點，由直線過原點及橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，由及橢圓的性質可得，，余弦定理可得離心率的值.【詳解】取橢圓的右焦點，連接，，由橢圓的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，則，，，而，所以，所以，在中，，整理，得，即，由解得.故答案為：.四、解答題17．在中，角的對邊分別為，已知(1)求；(2)若求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，可將化簡從而求得，然后再利用余弦二倍角公式直接求解即可；（2）由（1）問，可求解出，并判斷為鈍角，再根據，從而求解出，再使用和差公式計算，使用正弦定理求解出邊長，然后帶入面積公式即可完成求解.【詳解】（1）由已知，，所以，因為，所以，此時，所以，得，所以；（2）由（1）可知，，所以且為鈍角，由，可知，所以，由正弦定理可知，，所以，所以.18．等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，試求數(shù)列前項的和，并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）公式法求通項即可；（2）裂項相消解決即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，因為，且，，成等差數(shù)列，所以，因為，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得數(shù)列的通項公式為所以數(shù)列，所以數(shù)列前項的和因為是遞增數(shù)列，所以，所以.19．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標與向量的坐標，求解平面的法向量，設，再由向量夾角的公式代入計算得，根據點到平面的距離公式代入計算，可得答案.【詳解】（1）證明：由題知，，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，在正中，為中點，于是，又，平面，所以平面（2）取中點為中點為，則，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是兩兩垂直.如圖，以為坐標原點，的方向為軸?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，所以，.設平面的法向量為，則，即，令，則，于是.設，則.由于直線與平面所成角的正弦值為，，即，整理得，由于，所以于是.設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.【點睛】方法點睛：對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20．2022年我國部分地區(qū)零星出現(xiàn)新冠疫情，為了有效快速做好爆發(fā)地區(qū)的全員核酸檢測，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗，這時k個人的檢驗次數(shù)為次．假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為p．(1)為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗（即為一人一檢），若，求3人中恰好有1人檢測結果為陽性的概率；(2)設X為個人一組混合檢驗時所需要的檢驗總次數(shù)．①當時，求X的分布列及平均檢驗次數(shù)（不必計算，只列式即可）；②某地區(qū)共10萬人，發(fā)現(xiàn)有輸入性病例，需要進行全員核酸檢測，預估新冠病毒感染率為萬分之一，即為，先進行“10合1混采檢測”，試估計這10萬人所需檢測的平均次數(shù)．并估計對這個地區(qū)，這樣的混檢比一人一檢大約能少使用多少份檢測試劑？（注：感染率，即為每個人受感染的概率；）【答案】(1)0.243；(2)①見解析；②；89900.【分析】（1）利用二項分布的概率計算公式求概率即可；（2）①寫出所以取值和概率，然后列分布列，求期望即可；②利用期望來估計總的檢測次數(shù)，然后再跟100000作差即可.【詳解】（1）設3人中恰好有1人檢測結果為陽性為事件，.（2）①的值可取1，11，，，111.②，所以進行“10合1混采檢測”，10萬人所需檢測的平均次數(shù)大概為，這樣混檢比一人一檢大約少使用份檢測試劑.21．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，化簡為，再討論和兩種情況討論函數(shù)的單調性，再求函數(shù)的最值.【詳解】（1）當時，所以.所以曲線在處的切線方程為：.（2）.①當時，.所以時，.所以在上是增函數(shù).所以.②當時，令，解得（舍）1°當，即時，時，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當，即時，x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以.3°當，即時，時，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當時，；當時，.當時，.22．已知雙曲線：的焦距為4，且過點(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的左焦點分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點，直線交雙曲線于兩點，設分別為