廣東省中考復習專題二次函數的圖象性質及其應用

20/20二次函數的圖象性質及其應用明確目標?定位考點二次函數及其圖象的有關知識是中考的必考內容,對二次函數的解析式、拋物線的頂點坐標、開口方向、對稱軸,函數的最值及拋物線與坐標軸的交點的考查以選擇題、填空題為主。對二次函數綜合性問題的考查以解答題為主,尤其二次函數與幾何的綜合性問題,通常作為中考壓軸題呈現。歸納總結﹒思維升華一、二次函數的圖像和性質1、二次函數的定義一般地,如果是常數,,那么叫做的二次函數。其中,x是自變量,a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項。(1)二次函數的二次項系數不為0,且二次函數的表達式必須為整式。(2)二次函數的一次項系數b和常數項c均可為零。假設b=0,那么y=ax2＋c；假設c=0,那么y=ax2＋bx；假設b=c=0,那么y=ax2．以上三種形式都是二次函數的特殊形式,而y=ax2+bx+c是二次函數的一般形式。2、二次函數的三種形式一般式:頂點式:;交點式:.3、二次函數的圖像與性質一般地,拋物線與的形狀相同,位置不同。把拋物線向上(下)向左(右)平移,可得到拋物線。平移的方向、距離要根據,的值來決定。拋物線有如下特點:(1)當時,開口向上,函數有最小值;當時,開口向下,函數有最大值;(2)對稱軸是;(3)頂點是.4、二次函數的圖像與性質頂點是,對稱軸是,與軸的交點是。開口方向：時,開口向上；時,開口向下。增減性：當,在時,隨的增大而減小,在時,隨的增大而增大；當時,在時,隨的增大而增大,在時,隨的增大而減小。最值:當時,函數有最小值,且當時,有最小值是；當時,函數有最大值,且當時,有最大值是。5、二次函數的圖像特征函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下〔軸〕〔0,0〕〔軸〕(0,)(,0)(,)()6、二次函數的圖像與系數的關系〔1〕a的符號：a由拋物線開口方向確定：開口方向向上,那么a＞0；否那么a＜0?！?〕b的符號：b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式.(左同右異)。判斷符號：b與a同號,說明,那么對稱軸在y軸的左邊；b與a異號,說明,那么對稱軸在y軸的右邊；〔3〕c的符號：c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸,那么c＞0；否那么c＜0。二、用待定系數法求二次函數的解析式1、一般式：圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式。2、頂點式：圖像的頂點或對稱軸,通常選擇頂點式。3、交點式：圖像與軸的交點坐標、,通常選用交點式。三、二次函數與一元二次方程的關系二次函數y=ax2+bx+c,當y=0時,得到一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕,那么一元二次方程的解就是二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標,所以判斷二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點的,只要判斷ax2+bx+c=0的根的情況。(1)當＞0,那么方程有兩個不相等實根,函數與x軸有兩個不相等的實數根(2)當=0,那么方程有兩個相等實根,函數與x軸有兩個相等的實數根(3)當＜0,那么方程沒有實根,函數與x軸沒有交點【注意】交點式：y=a(x-x1)(x-x2)〔有交點的情況〕與x軸的兩個交點坐標x1,x2,對稱軸為。四、用二次函數的性質解決實際問題1、利用二次函數的最值確定最大利潤、最節(jié)省方案等問題是二次函數應用最常見的問題。用二次函數解決實際問題一般方法：〔1〕要解決這個實際問題,關鍵是如何建立直角坐標系；〔2〕如何將實際問題中給的數據抽象成二次函數圖像上的點的坐標；〔3〕根據總結出來的點的特殊性,設二次函數關系式；〔4〕用“待定系數法〞,解方程組,求出二次函數關系式。2、利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題,它的一般方法是：(1)列出二次函數的解析式,列解析式時,要根據自變量的實際意義,確定自變量的取值范圍．(2)在自變量取值范圍內,運用公式法或配方法求出二次函數的最大值或最小值。3、利用二次函數的性質求符合條件的點的坐標問題。如：三角形的面積關系,得出線段的長,利用平行線間的距離處處相等,得出作平行線的方法,體會平行條件下的等面積問題。運用分類討論思想,求出符合條件的所有點的坐標。4、與二次函數相關的幾何圖形面積問題〔1〕計算所形成的三角形面積,取三角形的底邊時一般以坐標軸上線段或以與軸平行的線段為底邊?！?〕如果是三邊均不在坐標軸上的三角形及不規(guī)那么多邊形,需把圖形分解?！布床捎酶罨蜓a的方法把它分解成易于求出面積的圖形〕5、與二次函數相關的幾何圖形相關的動點問題動點問題屬于難題,在解決問題時,要讓學生體會以靜帶動的思考方式,突破難點,同時應用割補法求三角形面積。熱點聚焦﹒考點突破熱點一二次函數的圖像與性質【例1-1】二次函數的圖像如以下圖所示,以下說法：正確的個數是〔〕=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④,A.1B.2C.3D.4【例1-2】拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點為〔m,0〕,那么代數式m2-m+2019的值為〔〕A．2019 B．2019 C．2019 D．2019【例1-3】將y=4x2的圖像先向左平移個單位,再向下平移個單位,那么所得圖像的函數解析式是〔〕A.y＝4(x+)2+B．y＝4(x?)2?C．y＝(4x+)2?D．y＝4(x+)2?【例1-4】在二次函數的圖象中,假設隨的增大而增大,那么的取值范圍是〔〕A、<1B、>1C、<-1D、>-1【變式訓練1】二次函數〔為常數〕。〔1〕當b=2,c=-3時,求二次函數的最小值；〔2〕當c=5時,假設在函數值的情況下,只有一個自變量的值與其對應,求此時二次函數的解析式；〔3〕當c=b2時,假設在自變量的值滿足b≤≤b+3的情況下,與其對應的函數值的最小值為21,求此時二次函數的解析式。熱點二二次函數與一元二次方程的聯系【例2】拋物線的對稱軸是直線?！?〕求證：；〔2〕假設關于的方程的一個根為4,求方程的另一個根。規(guī)律方法二次函數的性質；二次函數與一元二次方程的關系【變式訓練2】O為坐標原點,拋物線與軸相交于點,.與軸交于點C,且O,C兩點之間的距離為3,,,點A,C在直線上?！?〕求點C的坐標；〔2〕當隨著的增大而增大時,求自變量的取值范圍；〔3〕將拋物線向左平移個單位,記平移后隨著的增大而增大的局部為P,直線向下平移n個單位,當平移后的直線與P有公共點時,求的最小值.熱點三二次函數的應用【例3】如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是8m,寬是2m,拋物線可以用表示。

〔1〕一輛貨運卡車高4m,寬2m,它能通過該隧道嗎？

〔2〕如果該隧道內設雙行道,那么這輛貨運卡車是否可以通過？

【變式訓練3】九年級數學興趣小組經過市場調查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表：售價(元/件)100110120130…月銷量(件)200180160140…該運動服的進價為每件60元,設售價為x元?！?〕請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是元；②月銷量是件；〔直接填寫結果〕〔2〕設銷量該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少？熱點四二次函數與圖形面積的最值【例4】小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地,矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化。〔1〕求S與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍；〔2〕當x是多少時,矩形場地面積S最大？最大面積是多少？規(guī)律方法此題考查二次函數的應用,能用配方法或公式求出二次函數的最值,解決問題?！咀兪接柧?】如圖,拋物線與軸交于A、B兩點,與軸交于點C,拋物線的對稱軸交軸于點D。A〔-1,0〕,C〔0,2〕?！?〕求拋物線的表達式；〔2〕在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在,直接寫出P點的坐標；如果不存在,請說明理由；

〔3〕點E時線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

熱點五一次函數與二次函數的應用x〔元〕152030…y〔件〕252010…【例5】某產品每件本錢10元,試銷階段每件產品的銷售價(元)與產品的日銷售量(件)之間的關系如下表：假設日銷售量是銷售價的一次函數．⑴求出日銷售量(件)與銷售價(元)的函數關系式；⑵要使每日的銷售利潤最大,每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？規(guī)律方法解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點：⑴在“當某某為何值時,什么最大(或最小、最省)〞的設問中,“某某〞要設為自變量,“什么〞要設為函數；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程．【變式訓練5】某公司生產的某種產品每件本錢為40元,經市場調查整理出如下信息：①該產品90天內日銷售量〔m件〕與時間〔第x天〕滿足一次函數關系,局部數據如下表：時間〔第x天〕13610…日銷售量〔m件〕198194188180…②該產品90天內每天的銷售價格與時間〔第x天〕的關系如下表：時間〔第x天〕1≤x＜5050≤x≤90銷售價格〔元/件〕x+60100〔1〕求m關于x的一次函數表達式；

〔2〕設銷售該產品每天利潤為y元,請寫出y關于x的函數表達式,并求出在90天內該產品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【提示：每天銷售利潤=日銷售量×〔每件銷售價格-每件本錢〕】

〔3〕在該產品銷售的過程中,共有多少天銷售利潤不低于5400元,請直接寫出結果．熱點六二次函數的綜合運用【例6】如圖,拋物線y=x2+bx+c的圖像與x軸的一個交點為B〔5,0〕,另一個交點為A,且與y軸交于點C〔0,5〕。〔1〕求直線BC與拋物線的解析式；〔2〕假設點M是拋物線在x軸下方圖像上的一動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,求MN的最大值；〔3〕在〔2〕的條件下,MN取得最大值時,假設點P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點P的坐標。規(guī)律方法此題考查一次函數與二次函數的綜合應用問題。要注意結合求二次函數最值的方法,平行四邊形的面積計算等知識點解決問題?！咀兪接柧?】平面直角坐標系中兩定點A〔-1,0〕,B〔4,0〕,拋物線〔〕過點A、B,頂點為C．點P〔m,n〕〔n<0〕為拋物線上一點．〔1〕求拋物線的解析式與頂點C的坐標．〔2〕當∠APB為鈍角時,求m的取值范圍．〔3〕假設,當∠APB為直角時,將該拋物線向左或向右平移t〔〕個單位,點P、C移動后對應的點分別記為、,是否存在t,使得首尾依次連接A、B、、所構成的多邊形的周長最短？假設存在,求t值并說明拋物線平移的方向；假設不存在,請說明理由．專題訓練﹒對接中考穩(wěn)固訓練解答題1.如圖12,在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,是拋物線的頂點,是對稱軸與軸的交點.=1\*GB2⑴求拋物線的解析式,并在范圍內畫出此拋物線的草圖；=2\*GB2⑵假設點和點關于軸對稱,點是軸上的一個動點,過點作∥交拋物線于點,是否存在以點、、、為頂點的平行四邊形？假設存在,求出點坐標,假設不存在,請說明理由.2、如圖,拋物線的頂點坐標為C〔0,8〕,并且經過A〔8,0〕,點P是拋物線上點A,C間的一個動點〔含端點〕,過點P作直線y=8的垂線,垂足為點F,點D,E的坐標分別為〔0,6〕,〔4,0〕,連接PD,PE,DE．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕猜測并探究：對于任意一點P,PD與PF的差是否為固定值,如果是,請求出此定值,如果不是,請說明理由；〔3〕求：①當△PDE的周長最小時的點P坐標；②使△PDE的面積為整數的點P的個數.3、如圖1,在平面直角坐標系中,二次函數的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側,B點的坐標為〔3,0〕,OB＝OC,tan∠ACO＝．〔1〕求這個二次函數的表達式．〔2〕經過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？假設存在,請求出點F的坐標；假設不存在,請說明理由．〔3〕假設平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度．〔4〕如圖2,假設點G〔2,y〕是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.圖圖1圖2第25題4、如圖,在平面直角坐標系中,二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C,A點在原點的左側,B點的坐標為。點P是拋物線上一個動點,且在直線BC的上方?！?〕求這個二次函數的表達式?！?〕連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形,那么是否存在點P,使四邊形POP／C為菱形？假設存在,請求出此時點P的坐標；假設不存在,請說明理由?！?〕當點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大,并求出此時點P的坐標和四第25題圖邊形ABPC的最大面積。第25題圖作業(yè)一、選擇題拋物線的對稱軸是〔〕A.直線 B.直線 C.直線 D.直線二次函數的圖象如右圖,那么點在〔〕A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二次函數,且,,那么一定有〔〕A. B. C. D.≤0把拋物線向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是,那么有〔〕A., B.,C., D.,反比例函數的圖象如右圖所示,那么二次函數的圖象大致為〔〕下面所示各圖是在同一直角坐標系內,二次函數與一次函數的大致圖象,有且只有一個是正確的,正確的選項是〔〕對于二次函數有以下四個結論：其中正確結論的個數為〔〕①它的對稱軸是直線；②設,那么當時,有；③它的圖象與軸的兩個交點是〔0,0〕和〔2,0〕；④當時,.A.1B.2C.3D.4二次函數的最小值是〔〕A. B.2 C. D.1二次函數的圖象如下圖,假設,,那么〔〕A.,,B.,,C.,,D.,,將二次函數的圖象經過點〔-1,2〕,且與軸交點的橫坐標分別為,其中-1＜x1＜0,1＜x2＜2,以下結論：其中結論正確的有〔〕4a+2b+c＜0②2a+b＜0③b2+8a＞4ac④a＜-1,A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題1.二次函數的圖象是由函數的圖象先向〔左、右〕平移個單位長度,再向〔上、下〕平移個單位長度得到的。2.將二次函數配方成的形式,那么y=______________________。3.拋物線與x軸有兩個交點,那么一元二次方程的根的情況____________________。4.拋物線與x軸交點的橫坐標為,那么=_________。5.如下圖,二次函數的圖象經過〔-1,0〕和〔0,-1〕兩點,那么化簡代數式=。6.如圖,拋物線的對稱軸是,與x軸交于A、B兩點,假設B點坐標是,那么A點的坐標是三、解答題如右圖,拋物線經過點,與y軸交于點B.〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕P是y軸正半軸上一點,且△PAB是以AB為腰的等腰三角形,試求點P的坐標.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經歷了從虧損到贏利的過程,下面的二次函數圖象〔局部〕刻畫了該公司年初以來累積利潤s〔萬元〕與銷售時間t〔月〕之間的關系〔即前t個月的利潤總和s與t之間的關系〕.〔1〕由圖象上的三點坐標,求累積利潤s〔萬元〕與銷售時間t〔月〕之間的函數關系式；〔2〕求截止到幾月累積利潤可到達30萬元；〔3〕求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？3.如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB的寬為20m,如果水位上升3m時,水面CD的寬是10m.〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經過此橋開往乙地,甲地距此橋280km〔橋長忽略不計〕.貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當行駛1小時時,突然接到緊急通知：前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲〔貨車接到通知時水位在CD處,當水位到達橋拱最高點O時,禁止車輛通行〕.試問：如果貨車按原來速度行駛,能否平安通過此橋？假設能,請說明理由；假設不能,要使貨車平安通過此橋,速度應超過每小時多少千米？4.某機械租賃公司有同一型號的機械設備40套.經過一段時間的經營發(fā)現：當每套機械設備的月租金為270元時,恰好全部租出.在此根底上,當每套設備的月租金提高10元時,這種設備就少租出一套,且未租出的一套設備每月需要支出費用〔維護費、管理費等〕20元,設每套設備的月租金為x〔元〕,租賃公司出租該型號設備的月收益〔收益=租金收入－支出費用〕為y〔元〕.〔1〕用含x的代數式表示未租出的設備數〔套〕以及所有未租出設備〔套〕的支出費用；〔2〕求y與x之間的二次函數關系式；〔3〕當月租金分別為4300元和350元時,租賃公司的月收益分別是多少元？此時應該租出多少套機械設備？請你簡要說明理由；〔4〕請把〔2〕中所求的二次函數配方成的形式,并據此說明：當x為何值時,租賃公司出租該型號設備的月收益最大？最大月收益是多少？5.心理學家發(fā)現,在一定的時間范圍內,學生對概念的接受能力與提出概念所用的時間(單位：分鐘)之間滿足函數關系式的值越大,表示接受能力越強.(1)假設用10分鐘提出概念,學生的接受能力的值是多少?(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念,那么與用10分鐘相比,學生的接受能力是增強了還是減弱了?通過計算來答復.6.如圖,一小球從斜坡點處拋出,球的拋出路線可以用二次函數刻畫,斜坡可以用一次函數刻畫.〔1〕請用配方法求二次函數圖象的最高點P的坐標；〔2〕小球的落點是A,求點A的坐標；〔3〕連結拋物線的最高點P與點O、A得△POA.求△POA的面積；〔4〕在OA上方的拋物線上存在一點M〔M與P不重合〕,△MOA的面積等于△POA的面積,請直接寫出點M的坐標.參考答案熱點聚焦﹒考點突破【例1-1】B【例1-2】D【例1-3】D【例1-4】A【變式訓練1】〔1〕二次函數取得最小值-4?！?〕或.〔3〕或.

【例2】解：〔1〕證明：∵拋物線的對稱軸是直線,〔2〕設關于的方程的另一個根為,∵拋物線的對稱軸是直線,∴和4關于直線對稱,即,解得.∴方程的另一個根為．【變式訓練2】解：〔1〕令,得,∴.∵O,C兩點之間的距離為3,∴,解得.∴點C的坐標為或.〔2〕∵,∴異號.=1\*GB3①假設,把代入得,即.把代入得,即.∴.∵異號,,∴.把,代入,得,解得.∴.∴當時,隨著的增大而增大.=2\*GB3②假設,把代入得,即.把代入得,即.∴.∵異號,,∴.把,代入,得,解得.∴.∴當時,隨著的增大而增大.綜上所述,假設,當隨著的增大而增大時,；假設,當隨著的增大而增大時,.〔3〕=1\*GB3①假設,那么,,向左平移個單位后的解析式為,那么當時,隨著的增大而增大.直線向下平移n個單位后的解析式為.要使平移后直線與有公共點,那么當時,,即,解得,與不符,舍去.=2\*GB3②假設,那么,,向左平移個單位后的解析式為,那么當時,隨著的增大而增大.直線向下平移n個單位后的解析式為.要使平移后直線與有公共點,那么當時,,即,解得.綜上所述,.∴當時,的最小值為.【例3】解：〔1〕當x=1時,,所以卡車能通過隧道；

〔2〕當x=2時,y=-1+4=3>4-2,所以卡車能通過隧道?！咀兪接柧?】解：〔1〕①；②.〔2〕依題意可得：.當x=130時,y有最大值980?！嗍蹆r為每件130元時,當月的利潤最大,為9800元?！纠?】解：〔1〕根據題意,得自變量的取值范圍是〔2〕∵,∴有最大值當時,所以：當為15米時,才能使矩形場地面積最大,最大面積是225平方米。【變式訓練4】解題思路〔1〕將點A、C的坐標分別代入可得二元一次方程組,解方程組即可得出m、n的值；〔2〕根據二次函數的解析式可得對稱軸方程,由勾股定理求出CD的值,以點C為圓心,CD為半徑作弧交對稱軸于P1；以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2,P3；作CH垂直于對稱軸與點H,由等腰三角形的性質及勾股定理就可以求出結論；〔3〕由二次函數的解析式可求出B點的坐標,從而可求出BC的解析式,從而可設設E點的坐標,進而可表示出F的坐標,由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S與a的關系式,由二次函數的性質就可以求出結論．【例5】解：⑴設一次函數表達式為．那么解得,即一次函數表達式為．⑵設每件產品的銷售價應定為元,所獲銷售利潤為元當,〔元〕答：產品的銷售價應定為25元時,每日獲得最大銷售利潤為225元．【變式訓練5】解：〔1〕∵m與x成一次函數,

∴設m=kx+b,將x=1,m=198,x=3,m=194代入,得：

'解得：所以m關于x的一次函數表達式為m=﹣2x+200；

〔2〕設銷售該產品每天利潤為y元,y關于x的函數表達式為：,

當1≤x＜50時,y=﹣2x2+160x+4000=﹣2〔x﹣40〕2+7200,

∵﹣2＜0,

∴當x=40時,y有最大值,最大值是7200；

當50≤x≤90時,y=﹣120x+12019,

∵﹣120＜0,

∴y隨x增大而減小,即當x=50時,y的值最大,最大值是6000；

綜上所述,當x=40時,y的值最大,最大值是7200,即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大,最大利潤是7200元；

〔3〕在該產品銷售的過程中,共有46天銷售利潤不低于5400元．【例6】解：〔1〕設直線的解析式為,將,兩點的坐標代入,得,解得,所以直線的解析式為；將,兩點的坐標代入,得,解得,所以拋物線的解析式為；〔2〕設,那么,∴當時,有最大值；〔3〕∵取得最大值時,,∴,即．解方程,得或,∴,∴的面積,∴平行四邊形的面積．設平行四邊形的邊上的高為,那么。過點作直線的平行線,交拋物線與點,交軸于點,在直線上截取,那么四邊形為平行四邊形．∴為等腰直角三角形,,設直線的解析式為,將代入,得,解得∴直線的解析式為．∴解方程組,得,,∴點的坐標為〔與點重合〕或．【變式訓練6】(1)解:依題意把的坐標代入得:;解得:拋物線解析式為頂點橫坐標,將代入拋物線得(2)如圖,當時,設,那么過作直線軸,(注意用整體代入法)解得,當在之間時,或時,為鈍角.(3)依題意,且設移動〔向右,向左〕連接那么又的長度不變四邊形周長最小,只需最小即可將沿軸向右平移5各單位到處,沿軸對稱為∴當且僅當、B、三點共線時,最小,且最小為,此時,設過的直線為,代入∴即將代入,得：,解得：∴當,P、C向左移動單位時,此時四邊形ABP’C’周長最小。專題訓練,對接中考解答題1、〔本小題考查目標與要求：能根據條件確定二次函數的表達式；會應用配方法或公式法確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸；會用描點法畫出二次函數的圖象；掌握四邊形是平行四邊形的條件；考查待定系數法、數形結合、轉化、分類討論的思想方法,以及運算求解能力〕解：〔1〕根據題意得：………1分解得：,………2分∴解析式為.………2分當時,,………3分∴頂點的坐標為,………3分∴點的坐標為.………4分此拋物線的草圖如右圖所示………5分〔2〕假設以、、、為頂點的平行四邊形存在,那么點必須滿足.………6分=1\*GB3①當時,.………7分解得,,………8分∴,………8分∴.………9分②當時,,………12分解得,,………13分∴,………13分∴.………14分綜上所述,符合條件的點有三個即：.………14分2、解：〔1〕設拋物線的解析式為y=a〔x+h〕2+k∵點C〔0,8〕是它的頂點坐標,∴y=ax2+8又∵經過點A〔8,0〕,有64a+8=0,解得a=故拋物線的解析式為：y=x2+8；……3分〔2〕是定值,解答如下：設P〔a,a2+8〕,那么F〔a,8〕,∵D〔0,6〕,∴PD=PF=,∴PD﹣PF=2；……6分〔3〕當點P運動時,DE大小不變,那么PE與PD的和最小時,△PDE的周長最小,∵PD﹣PF=2,∴PD=PF+2,H∴PE+PD=PE+PF+2,H∴當P、E、F三點共線時,PE+PF最小,此時點P,E的橫坐標都為4,將x=4代入y=x2+8,得y=6,∴P〔4,6〕,此時△PDE的周長最小.……9分過點P做PH⊥x軸,垂足為H.設P〔a,a2+8〕∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=aS△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE=……12分∵點P是拋物線上點A,C間的一個動點〔含端點〕∴0≤a≤8當a=6時,S△DPE取最大值為13.當a=0時,S△DPE取最小值為4.即4≤S△DPE≤13其中,當S△DPE=12時,有兩個點P.所以,共有11個令S△DPE為整數的點.……14分3、解：〔1〕方法一：由得：C〔0,－3〕,A〔－1,0〕…………1分將A、B、C三點的坐標代入得…………2分解得：…………3分所以這個二次函數的表達式為：………4分方法二：由得：C〔0,－3〕,A〔－1,0〕…………1分設該表達式為：…………2分將C點的坐標代入得：…………3分所以這個二次函數的表達式為：…………4分〔注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分〕〔2〕方法一：存在,F點的坐標為〔2,－3〕…………5分理由：易得D〔1,－4〕,所以直線CD的解析式為：∴E點的坐標為〔－3,0〕…………5分由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2,AE∥CF∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形∴存在點F,坐標為〔2,－3〕…………7分方法二：易得D〔1,－4〕,所以直線CD的解析式為：∴E點的坐標為〔－3,0〕…………5分∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形∴F點的坐標為〔2,－3〕或〔―2,―3〕或〔－4,3〕代入拋物線的表達式檢驗,只有〔2,－3〕符合∴存在點F,坐標為〔2,－3〕…………7分〔3〕如圖,①當直線MN在x軸上方時,設圓的半徑為R〔R>0〕,那么N〔R+1,R〕,代入拋物線的表達式,解得…………9分②當直線MN在x軸下方時,設圓的半徑為r〔r>0〕,那么N〔r+1,－r〕,代入拋物線的表達式,解得………10分∴圓的半徑為或．……………11分〔4〕過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,易得G〔2,－3〕,直線AG為．……………12分設P〔x,〕,那么Q〔x,－x－1〕,PQ．…………13分當時,△APG的面積最大此時P點的坐標為,．………14分4、解：〔1〕將B、C兩點的坐標代入得……2分解得所以二次函數的表達式為……3分存在點P,使四邊形POP／C為菱形．設P點坐標為,PP／交CO于E假設四邊形POPC是菱形,那么有PC＝PO．連接PP那么PE⊥CO于E.∴．……6分解得=,=〔不合題意,舍去〕∴P點的坐標為.…………………8