人教A版《數(shù)列求和》

附件1-5郴州市第二屆中小學青年教學競賽教學片段設計表縣市區(qū):郴州市汝城縣組別高中科目數(shù)學教學片段標題：人教A版必修5第二章第三節(jié)《數(shù)列求和》學情分析：學生已對掌握等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式及等差、等比數(shù)列的一些性質有了初步認識，具有解決一些相關問題能力。因此，本節(jié)課通過對非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法：分組求和法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消法關鍵點進行分析，讓學生能夠輕松地完成教學目標。教學目標：知識與技能：進一步熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式；了解等差、等比數(shù)列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題；掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法：分組求和法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消法．過程與方法：經(jīng)歷公式應用的過程；情感態(tài)度與價值觀：通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數(shù)學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學地解決問題。教學重難點：教學重點：熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式。教學難點：靈活應用求和公式解決問題教學過程：溫故而知新1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)．推導方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推導方法：乘公比，錯位相減法．(3)一些常見的數(shù)列的前n項和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．2．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．題型探究類型一分組轉化法求和例：求數(shù)列前n項的和練習：已知數(shù)列{an},{bn}滿足an=2n,bn=3n.若cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.解析由題意可知cn=2n+3n,∴Sn=2×n(1+n)2+(3+3=n(n+1)+3(1?=n(n+1)+3(3小結：1．分組轉化求和數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．2．分組轉化法求和的常見類型類型二裂項相消求和法①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)．②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))．③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))．④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))．例：數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,nn＋1),若{an}的前n項和為eq\f(2019,2020),則項數(shù)n為 ()A．2017 B．2018C．2019 D．2020解析：an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2019,2020)，所以n＝2019．故選C．練習：在數(shù)列{an}中，已知an＝eq\f(1,n＋1n＋3)(n∈N*)，則{an}的前n項和Sn＝________．解析：∵an＝eq\f(1,n＋1n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,6)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))．小結：1．基本步驟2．裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．3．消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．類型三錯位相減法求和例：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________．解析：因為an＝n·2n，Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2．所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2．練習：求和:12+422+723+…+解析：Sn=12+422+7∴12Sn=122+423∴Sn-12Sn=12+322+3=12+3×122=2-3n+42∴Sn=4-3n+42n(n小結：(1)適用條件若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn．(2)基本步驟類型四倒序相加求和法課堂小結課后作業(yè)