2018-2019數(shù)學新學案同步必修四人教B版全國通用版講義：第三章 三角恒等變換3.3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§3.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積學習目標1。了解利用兩角和與差的正弦、余弦公式導出積化和差、和差化積兩組公式的過程。2。理解在推導積化和差、和差化積公式中方程思想、換元思想所起的作用．知識點一積化和差公式思考根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式把下列等式補充完整．(1)sin（α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ；（2）sin(α＋β）－sin（α－β)＝2cosαsinβ；（3）cos(α＋β）＋cos(α－β)＝2cosαcosβ；(4)cos(α＋β)－cos（α－β)＝－2sinαsinβ。在上述四個等式兩邊同乘以eq\f（1,2)，等號兩端互換，就可以得出四個相應的積化和差公式．梳理積化和差公式(1）sinαcosβ＝eq\f(1,2）[sin(α＋β）＋sin(α－β)]．(2)cosαsinβ＝eq\f(1，2)[sin（α＋β）－sin（α－β）］．(3）cosαcosβ＝eq\f(1,2）［cos（α＋β)＋cos（α－β）]．(4）sinαsinβ＝－eq\f(1，2）[cos（α＋β)－cos(α－β)]．知識點二和差化積公式思考在四個積化和差公式中，如果我們令α＋β＝θ,α－β＝φ，則α＝eq\f(θ＋φ,2），β＝eq\f（θ－φ,2）.由此可以得出四個相應的和差化積公式,請你試一試寫出這四個公式：（1)sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f（θ－φ，2）；（2）sinθ－sinφ＝2coseq\f（θ＋φ,2）sineq\f(θ－φ，2）；(3）cosθ＋cosφ＝2coseq\f（θ＋φ，2）coseq\f(θ－φ，2）；(4)cosθ－cosφ＝－2sineq\f（θ＋φ,2)sineq\f(θ－φ,2).類型一利用積化和差與和差化積公式化簡求值例1求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°。解sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)（sin90°－sin50°)－eq\f(1，2)(cos60°－cos40°）＝eq\f（1,4)－eq\f（1,2)sin50°＋eq\f(1，2）cos40°＝eq\f（1,4）－eq\f(1，2)sin50°＋eq\f（1，2)sin50°＝eq\f（1，4).反思與感悟套用和差化積公式的關鍵是記準、記牢公式，為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式,有時需要把常數(shù)首先化為某個角的三角函數(shù)，然后再化積，有時函數(shù)不同名,要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．跟蹤訓練1求值：cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°.解原式＝cos20°＋eq\f（1，2)＋(cos100°＋cos140°）＝cos20°＋eq\f（1,2)＋2cos120°cos20°＝cos20°＋eq\f(1,2)－cos20°＝eq\f（1，2)。類型二三角恒等式的證明例2在△ABC中，求證:sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC。證明左邊＝sin2A＋sin2B＋sin2C＝2sineq\f（2A＋2B,2）coseq\f(2A－2B,2）＋sin2C＝2sin（A＋B）cos（A－B）－2sin（A＋B)cos（A＋B）＝2sinC［cos(A－B)－cos(A＋B）］＝2sinC·(－2）sineq\f（A－B＋A＋B，2）·sineq\f（A－B－A＋B,2)＝4sinAsinBsinC＝右邊，所以原等式成立．反思與感悟在運用積化和差求值時，盡量出現(xiàn)特殊角,同時注意互余角、互補角的三角函數(shù)間的關系．跟蹤訓練2已知A＋B＋C＝π,求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2）sineq\f（B,2)coseq\f（C，2）.證明∵左邊＝sin（B＋C）＋2sineq\f（B－C,2)coseq\f(B＋C,2）＝2sineq\f(B＋C，2）coseq\f（B＋C，2)＋2sineq\f(B－C,2）coseq\f(B＋C，2）＝2coseq\f(B＋C，2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)）)＝2coseq\f(π－A,2）·2sineq\f（B，2）coseq\f(C，2）＝4sineq\f(A,2)sineq\f（B,2）coseq\f（C，2)＝右邊，∴原等式成立。1．sin75°－sin15°的值為(）A。eq\f(1,2) B.eq\f(\r（2)，2）C.eq\f(\r（3),2） D．－eq\f（1,2）答案B解析sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°＝2×eq\f(\r（2),2）×eq\f(1,2）＝eq\f(\r(2),2)，故選B.2．sin15°cos165°的值是()A。eq\f(1,4）B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1，4)D．－eq\f（1,2）答案C解析sin15°cos165°＝sin15°cos（180°－15°）＝－sin15°cos15°＝－eq\f（1，2)sin30°＝－eq\f（1,4),故選C。3．sin105°＋sin15°等于（）A.eq\f(\r(3),2) B。eq\f(\r（2），2）C.eq\f（\r（6）,2) D.eq\f（\r(6）,4)答案C解析sin105°＋sin15°＝2sineq\f(105°＋15°,2）coseq\f（105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝eq\f(\r（6），2）。

4．sin37。5°cos7。5°等于(）A。eq\f（\r（2),2） B。eq\f（\r(2），4）C。eq\f（\r（2)＋1,4) D。eq\f（\r（2）＋2,4）答案C解析sin37.5°cos7.5°＝eq\f(1，2）［sin(37。5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°)]＝eq\f(1，2）(sin45°＋sin30°）＝eq\f(1，2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)，2)＋\f（1,2)))＝eq\f(\r（2）＋1，4）。故選C.5．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范圍．解由題意，得cosAsinC＝eq\f(1,2）［sin（A＋C）－sin(A－C）]＝eq\f(1,2)［sin（π－B）－sin（A－C)］＝eq\f(1，4)－eq\f（1,2)sin（A－C）．∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°,∴－1≤sin(A－C）≤1，∴－eq\f(1,4）≤eq\f（1,4)－eq\f(1，2）sin(A－C）≤eq\f(3，4).∴cosAsinC的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f（1,4),\f(3，4）))。1．本節(jié)學習了積化和差公式、和差化積公式,一定要清楚這些公式的形式特征，理解公式間的關系．2．和差化積、積化和差公式不要求記憶，但要注意公式推導中應用的數(shù)學思想方法,同時注意這些公式與兩角和與差公式的聯(lián)系.

一、選擇題1．sin20°＋sin40°－sin80°的值為(）A．0B。eq\f（\r(3），2）C。eq\f（1，2）D．1答案A解析原式＝2sin30°cos10°－sin80°＝cos10°－sin80°＝sin80°－sin80°＝0。2．化簡eq\f（cosα－cos3α，sin3α－sinα)的結(jié)果為（）A．tanαB．tan2αC.eq\f(1，tanα）D。eq\f(1，tan2α）答案B解析eq\f（cosα－cos3α，sin3α－sinα）＝eq\f(－2sin\f（α＋3α,2）sin\f(α－3α，2),2cos\f（3α＋α,2)sin\f（3α－α，2））＝eq\f(－2sin2αsin－α，2cos2αsinα）＝tan2α。3．若A＋B＝eq\f(2π,3），則cos2A＋cos2B的取值范圍是(）A。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2))) B。eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2），\f(3，2）)) D。[0，1］答案C解析cos2A＋cos2B＝eq\f（1＋cos2A，2)＋eq\f(1＋cos2B,2)＝1＋eq\f(1,2)（cos2A＋cos2B)＝1＋coseq\f（2A＋2B，2）·coseq\f(2A－2B，2）＝1＋cos（A＋B）·cos（A－B)＝1＋coseq\f（2π，3)·cos（A－B)＝1－eq\f(1,2)cos（A－B）．∵cos(A－B）∈[－1，1]，∴cos2A＋cos2B∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3，2)))。4．求值:sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°等于(）A。eq\f(1，2） B.eq\f（\r(2）,2)C.eq\f（\r(3）,2） D．1答案C解析sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝2sin30°cos10°＋2cos70°sin(－10°）＝cos10°－2[cos（60°＋10°）］sin10°＝cos10°－2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)cos10°－\f（\r（3），2）sin10°)）sin10°＝cos10°－eq\f(1，2)sin20°＋eq\f(\r（3),2)(1－cos20°）＝eq\f（\r（3），2）－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）sin20°＋\f(\r(3）,2）cos20°)）＋cos10°＝eq\f(\r(3）,2)－(sin30°sin20°＋cos30°cos20°）＋cos10°＝eq\f(\r(3)，2)－cos（30°－20°)＋cos10°＝eq\f（\r(3）,2）－cos10°＋cos10°＝eq\f(\r（3),2).5．若cos(α＋β)cos（α－β）＝eq\f(1，3），則cos2α－sin2β等于（）A．－eq\f(2，3)B．－eq\f(1,3）C。eq\f(1，3)D。eq\f(2，3)答案C解析cos（α＋β）cos(α－β)＝eq\f（1，2)(cos2α＋cos2β)＝eq\f（1，2）［（2cos2α－1）＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，∴cos2α－sin2β＝eq\f（1，3).6。eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°sin55°）等于（)A。eq\f（1，4）B.eq\f(1，2)C．2D．4答案C解析eq\f(sin10°＋sin50°,sin35°sin55°）＝eq\f（2sin30°cos20°,－\f（1，2）cos90°－cos20°）＝eq\f（cos20°,\f(1,2)cos20°)＝2.二、填空題7．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是________．答案eq\f(5，4）解析原式＝sin215°＋cos215°＋cos75°·cos15°＝1＋eq\f（1,2）（cos90°＋cos60°)＝eq\f(5,4)。8.eq\f(1,sin40°）＋eq\f（cos80°，sin80°）＝________。答案eq\r（3)解析eq\f（1,sin40°）＋eq\f(cos80°,sin80°）＝eq\f（2cos40°,2sin40°cos40°）＋eq\f(cos80°,sin80°）＝eq\f（cos40°＋cos40°＋cos80°,sin80°）＝eq\f(cos40°＋2cos60°cos20°，sin80°）＝eq\f(cos40°＋cos20°,cos10°）＝eq\f(2cos30°cos10°,cos10°)＝2cos30°＝eq\r(3）.9．已知α－β＝eq\f（2π，3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3）,則cos（α＋β）＝________。答案－eq\f（7,9)解析cosα＋cosβ＝2coseq\f（α＋β,2）coseq\f(α－β，2）＝2coseq\f(π,3)·coseq\f（α＋β,2）＝coseq\f（α＋β,2)＝eq\f(1，3)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f（α＋β,2)－1＝2×eq\f（1，9)－1＝－eq\f(7，9)。10．函數(shù)y＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，3）))coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（2π,3))）的最大值是______．答案eq\f(3，4)解析y＝eq\f(1，2)eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(cos2x＋π＋cos\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,3))）))＝eq\f（1,2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－cos2x＋cos\f（π，3）)）＝eq\f(1,4)－eq\f（1，2)cos2x，因為－1≤cos2x≤1，所以ymax＝eq\f(3，4).三、解答題11．求下列各式的值．(1）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°;(2）sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°.解（1）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×eq\f（1,2）(cos120°＋cos26°)＝2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)）)×cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2））)＋cos26°＝－cos26°＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)))＋cos26°＝－eq\f（1,2).(2）原式＝eq\f（1－cos40°，2）＋eq\f（1＋cos100°,2)＋eq\f（1，2)sin70°－eq\f（1,2）sin30°＝1＋eq\f(1，2）（cos100°－cos40°）＋eq\f(1,2）sin70°－eq\f(1，4)＝eq\f（3,4)＋eq\f（1,2)（－2sin70sin30°）＋eq\f（1，2)sin70°＝eq\f（3,4)－eq\f（1,2)sin70°＋eq\f（1,2）sin70°＝eq\f（3,4）。12．化簡下列各式．(1）eq\f（cosA＋cos120°＋B＋cos120°－B，sinB＋sin120°＋A－sin120°－A);（2)eq\f(sinA＋2sin3A＋sin5A,sin3A＋2sin5A＋sin7A).解(1)原式＝eq\f（cosA＋2cos120°cosB,sinB＋2cos120°sinA）＝eq\f（cosA－cosB，sinB－sinA）＝eq\f(2sin\f（A＋B,2)sin\f（B－A,2),2cos\f（A＋B,2)sin\f(B－A,2)）＝taneq\f（A＋B，2).(2)原式＝eq\f（sinA＋sin5A＋2sin3A,sin3A＋sin7A＋2sin5A）＝eq\f（2sin3Acos2A＋2sin3A，2sin5Acos2A＋2sin5A）＝eq\f（2sin3Acos2A＋1,2sin5Acos2A＋1)＝eq\f（sin3A，sin5A）.13．已知f（x)＝－eq\f（1，2)＋eq\f(sin\f(5x,2),2sin\f(x，2))，x∈(0，π）．(1）將f(x)表示成cosx的多項式;(2）求f(x)的最小值．解(1）f(x)＝eq\f(sin\f（5x,2)－sin\f（x，2)，2sin\f（x，2))＝eq\f(2cos\f(3x,2)sinx,2sin\f（x，2))＝2coseq\f(3x，2)coseq\f（x，2)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1.（2)∵f(x)＝2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)））2－eq\f(9，8）且－1<cosx<1，∴當cosx＝－eq\f（1,4）時，f(x)取最小值－eq\f（9，8）。四、探究與拓展14．函數(shù)y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，6)))cosx的最大值為（)A。eq\f(1，2）B.eq\f（1，4)C．1D。eq\f（\r（2),2)答案B解析y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）））cosx＝eq\f(1,2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,6)＋x))＋sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6)－x））））＝eq\f(1,2)eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1