2018-2019數(shù)學新學案同步必修四北師大版講義：第一章 三角函數(shù)1~2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§1周期現(xiàn)象§2角的概念的推廣學習目標1。了解現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象.2。了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示。知識點一周期現(xiàn)象思考“鐘表上的時針每經(jīng)過12小時運行一周，分針每經(jīng)過1小時運行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運行一周.”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性?答案周而復始，重復出現(xiàn).梳理(1）以相同間隔重復出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象。（2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關鍵是看每隔一段時間這種現(xiàn)象是否會重復出現(xiàn)，若出現(xiàn),則為周期現(xiàn)象;否則，不是周期現(xiàn)象。知識點二角的相關概念思考1將射線OA繞著點O旋轉到OB位置,有幾種旋轉方向?答案有順時針和逆時針兩種旋轉方向。思考2如果一個角的始邊與終邊重合，那么這個角一定是零角嗎？答案不一定，若角的終邊未作旋轉，則這個角是零角。若角的終邊作了旋轉,則這個角就不是零角.梳理(1)角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.(2)角的分類：按旋轉方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉形成的角負角按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角知識點三象限角思考把角的頂點放在平面直角坐標系的原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，旋轉該角，則其終邊（除端點外）可能落在什么位置？答案終邊可能落在坐標軸上或四個象限內。梳理在直角坐標系內，使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合。象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標軸上的角。知識點四終邊相同的角思考1假設60°的終邊是OB，那么－660°,420°的終邊與60°的終邊有什么關系,它們與60°分別相差多少？答案它們的終邊相同。－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了2個周角和1個周角.思考2如何表示與60°終邊相同的角？答案60°＋k·360°(k∈Z).梳理終邊相同角的表示一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝｛β|β＝α＋k×360°，k∈Z｝，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和。1。終邊與始邊重合的角是零角.（×)提示終邊與始邊重合的角是k·360°（k∈Z）.2.小于90°的角是銳角.(×）提示銳角是指大于0°且小于90°的角.3。鈍角是第二象限角。(√)4.第二象限角是鈍角。(×）提示第二象限角不一定是鈍角.類型一周期現(xiàn)象的應用例1水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升,假設水車5分鐘轉一圈，計算1小時內最多盛水多少升？考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用解因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉一圈，所以1小時內水車轉12圈。又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，所以每轉一圈，最多盛水16×10＝160（升），所以水車1小時內最多盛水160×12＝1920（升)。反思與感悟（1）應用周期現(xiàn)象中“周而復始”的規(guī)律性可以達到“化繁為簡”、“化無限為有限”的目的。（2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復出現(xiàn)的“基本單位”就可以把問題轉化到一個周期內來解決.跟蹤訓練1利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時間？考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用解設x分鐘后盛水y升，由例1知每轉一圈,水車最多盛水16×10＝160(升），所以y＝eq\f（x,5)·160＝32x,為使水車盛800升的水，則有32x≥800，所以x≥25,即水車盛800升的水至少需要25分鐘。類型二象限角的判定例2在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.（1）－150°；(2）650°；（3)－950°15′?？键c象限角、軸線角題點象限角解（1）因為－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內,與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角.（2）因為650°＝360°＋290°，所以在0°~360°范圍內,與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角.（3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范圍內，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角.反思與感悟判斷象限角的步驟（1)當0°≤α〈360°時，直接寫出結果.（2）跟蹤訓練2(1）判斷下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范圍內終邊相同的角.①549°；②－60°；③－503°36′。(2)若α是第二象限角,試確定2α，eq\f(α,2）是第幾象限角.考點象限角、軸線角題點象限角解(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角為第三象限的角，與189°角終邊相同。②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角為第四象限的角,與300°角終邊相同。③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角為第三象限的角，與216°24′角終邊相同.（2）由題意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z）,①所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°（k∈Z)。故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負半軸上的角。由①得45°＋k·180°〈eq\f（α,2)〈90°＋k·180°(k∈Z)，當k為偶數(shù)時，令k＝2n（n∈Z）,得45°＋n·360°〈eq\f（α,2）〈90°＋n·360°(n∈Z)，故eq\f（α，2）是第一象限角.當k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<eq\f(α，2)<90°＋180°＋n·360°（n∈Z),即225°＋n·360°〈eq\f（α，2）〈270°＋n·360°(n∈Z），故eq\f(α，2)為第三象限角.綜上可知，eq\f（α，2）為第一或第三象限角.類型三終邊相同的角eq\x（命題角度1求與已知角終邊相同的角）例3在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.（1)最大的負角;（2）最小的正角；(3)［360°，720°）的角.考點終邊相同的角題點終邊相同的角解與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°（k∈Z)。（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°.（2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27,故所求的最小正角為β＝310°。(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26,故所求的角為β＝670°。反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值.跟蹤訓練3寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來?？键c終邊相同的角題點終邊相同的角解由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為｛β｜β＝k·360°－1910°，k∈Z｝.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z），∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f（11，36)(k∈Z)，故取k＝4，5，6.當k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°;當k＝5時，β＝5×360°－1910°＝－110°；當k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°.eq\x(命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合）例4寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合。考點終邊相同的角題點終邊相同的角解終邊在y＝－eq\r（3）x(x<0）上的角的集合是S1＝{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z｝；終邊在y＝－eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S2＝｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝。因此,終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z},即S＝｛α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛α｜α＝120°＋(2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝。故終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝｛α|α＝120°＋n·180°，n∈Z｝。反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x〈0兩種情況討論，最后再進行合并.跟蹤訓練4寫出終邊在直線y＝eq\f(\r（3),3）x上的角的集合.考點終邊相同的角題點終邊相同的角解終邊在y＝eq\f（\r(3)，3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝｛α|α＝30°＋k·360°,k∈Z};終邊在y＝eq\f（\r(3),3)x（x〈0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.因此,終邊在直線y＝eq\f(\r(3)，3）x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α|α＝210°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝｛α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪｛α｜α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}。故終邊在直線y＝eq\f（\r（3),3）x上的角的集合是S＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝.1。下列是周期現(xiàn)象的為()①閏年每四年一次；②某交通路口的紅綠燈每30秒轉換一次；③某超市每天的營業(yè)額;④某地每年6月份的平均降雨量。A。①②④ B.③④C。①② D。①②③考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的判定答案C解析①②是周期現(xiàn)象;③中每天的營業(yè)額是隨機的，不是周期現(xiàn)象;④中每年6月份的平均降雨量也是隨機的，不是周期現(xiàn)象.2。與－457°角終邊相同的角的集合是（)A.｛α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°,k∈Z}C。｛α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.｛α｜α＝k·360°－263°，k∈Z｝考點終邊相同的角題點終邊相同的角答案C解析－457°＝－2×360°＋263°，故選C.3.2018°是（)A。第一象限角B.第二象限角C。第三象限角D。第四象限角考點象限角、軸線角題點象限角答案C解析2018°＝5×360°＋218°，故2018°是第三象限角。4.一個質點，在平衡位置O點附近振動，如果不考慮阻力，可將此振動看作周期運動，從O點開始計時，質點向左運動第一次到達M點用了0.3s，又經(jīng)過0.2s第二次通過M點,則質點第三次通過M點，還要經(jīng)過的時間是s.考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用答案1。4解析如圖，質點從O點向左運動，O→M用了0。3s，M→A→M用了0。2s，由于M→O與O→M用時相同,因此質點運動半周期eq\f（T,2）＝0.2＋0.3×2＝0。8（s),從而當質點第三次經(jīng)過M時還要經(jīng)過的時間應為M→O→B→O→M所用時間，為0.3×2＋0.8＝1。4（s）.5.已知，如圖所示。(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；(2）寫出終邊落在陰影部分(包括邊界）的角的集合?？键c終邊相同的角題點區(qū)域角的表示解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α｜α＝k·360°＋210°,k∈Z}。終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}。(2)終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z｝.1。判斷是否為周期現(xiàn)象,關鍵是看在相同的間隔內，圖像是否重復出現(xiàn)。2。由于角的概念推廣了,那么終邊相同的角有無數(shù)個,這無數(shù)個終邊相同的角構成一個集合。與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝,要領會好k∈Z的含義.3.熟記終邊在坐標軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時，要對k分類討論.一、選擇題1。(2017·甘肅蘭州一中期末）下列命題正確的是（）A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角B。第二象限角一定是鈍角C.第四象限角一定是負角D.若β＝α＋k·360°（k∈Z)，則α與β終邊相同考點終邊相同的角題點任意角的綜合應用答案D解析終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯誤；480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯誤；285°角為第四象限角，但不是負角，所以C錯誤，故選D。2.設A＝｛θ｜θ為銳角｝，B＝｛θ｜θ為小于90°的角｝，C＝｛θ|θ為第一象限的角}，D＝｛θ|θ為小于90°的正角},則下列等式中成立的是(）A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D考點任意角的概念題點對任意角概念的理解答案D3.探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2017至2018箭頭的方向是（）考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用答案B4。若α是第四象限角，則180°－α是（)A。第一象限角 B。第二象限角C。第三象限角 D.第四象限角考點象限角、軸線角題點象限角答案C解析可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.5。四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①，②，③，④號位置上（如圖），第1次前后排動物互換位置,第2次左右列互換座位，…這樣交替進行下去，那么第2017次互換座位后,小兔的位置對應的是()①猴②兔③貓④鼠開始①貓②鼠③猴④兔第1次①鼠②貓③兔④猴第2次①兔②猴③鼠④貓第3次A.編號① B。編號②C。編號③ D。編號④考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用答案D6.角α與角β的終邊關于y軸對稱,則α與β的關系為（)A。α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°,k∈ZD。α－β＝k·360°，k∈Z考點終邊相同的角題點終邊相同的角答案B解析特殊值法：令α＝30°,β＝150°，則α＋β＝180°。直接法：∵角α與角β的終邊關于y軸對稱，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z。二、填空題7.如圖所示，變量y與時間t(s）的圖像如圖所示，則時間t至少隔s時y＝1會重復出現(xiàn)1次.考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用答案28.已知角α＝－3000°，則與α終邊相同的最小正角是.考點終邊相同的角題點終邊相同的角答案240°解析與α＝－3000°終邊相同的角的集合為｛θ|θ＝－3000°＋k·360°,k∈Z},令－3000°＋k·360°〉0°,解得k〉eq\f(25，3），故當k＝9時，θ＝240°滿足條件.9.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內的角的集合是；終邊落在陰影部分（含邊界)的角的集合是。考點終邊相同的角題點任意角的綜合應用答案{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z｝{315°，－45°｝｛α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°,k∈Z}解析終邊落在OA的位置上的角的集合是｛α|α＝120°＋k·360°,k∈Z}。終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z｝，取k＝0，－1得α＝315°，－45°.故終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內的角的集合是｛315°,－45°}.終邊落在陰影部分的角的集合是｛α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°,k∈Z}。10。若α＝k·360°＋45°，k∈Z，則eq\f（α，2)是第象限角?？键c象限角、軸線角題點象限角答案一或三解析∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，∴eq\f（α，2）＝k·180°＋22.5°,k∈Z.當k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時，eq\f(α，2）＝n·360°＋22。5°,n∈Z,∴eq\f（α，2)為第一象限角;當k為奇數(shù)，即k＝2n＋1,n∈Z時，eq\f(α,2)＝n·360°＋202.5°,n∈Z，∴eq\f（α,2)為第三象限角。綜上，eq\f（α，2）是第一或第三象限角.三、解答題11.已知角β的終邊在直線eq\r(3)x－y＝0上。(1）寫出角β的集合S；(2)寫出集合S中適合不等式－360°〈β〈720°的元素。考點終邊相同的角題點終邊相同的角解（1）如圖,直線eq\r(3)x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°,終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為S1＝｛β|β＝60°＋k·360°,k∈Z｝，S2＝{β｜β＝240°＋k·360°，k∈Z},所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪｛β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z｝∪{β｜β＝60°＋(2k＋1）·180°,k∈Z}＝｛β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}。（2)由于－360°〈β<720°,即－360°〈60°＋n·180°〈720°，n∈Z。解得－eq\f(7,3)〈n<eq\f(11,3),n∈Z,所以n＝－2,－1,0，1，2，3.所以集合S中適合不等式－360°〈β<720°的元素為60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°;60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°。12.游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40。5米，半徑40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時,請解答下列問題:（1)你與地面的距離隨時間的變化而變化，這個現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？(2)轉四圈需要多少時間？（3）你第四次距地面最高需要多少時間?（4）轉60分鐘時，你距離地面是多少？考點周期現(xiàn)象題點周期現(xiàn)象的應用解(1)是周期現(xiàn)象，周期12分鐘。(2)轉四圈需要時間為4×12＝48(分鐘)。（3）第一次距離地面最高需eq\f(12,2)＝6(分鐘），而周期是12分鐘,所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分鐘)。（4)因為60÷12＝5，所以轉60分鐘時你距離地面與開始時刻距離地面相同，即40.5－40＝0。5(米）。13.已知－180°<α<180°，且角α的終邊與其7倍角的終邊重合,求角α?？键c終邊相同的角題點終邊相同的角解∵角α的終邊與它的7倍角的終邊重合.∴7α＝k·360°＋α（k∈Z),∴α＝k·60°(k∈Z）。又∵－180°〈α<180°，∴－3〈k〈3(k∈Z)，∴當k分別?。?，－1，0，1,2時，對應的α為－120°,－60°，0°,60°，120°.四、探究與拓展14.設集合A＝｛α|α＝45