2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修三蘇教版講義：第2章 統(tǒng)計(jì)2.3.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2.3總體特征數(shù)的估計(jì)2．3。1平均數(shù)及其估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平均數(shù)為什么是“最理想"的近似值.2.會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。3。會(huì)根據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)．知識(shí)點(diǎn)一平均數(shù)思考處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越接近越好．但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往很多,怎么刻畫“最近”呢？答案設(shè)近似值為x，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為ai(i＝1,2，…，n），因?yàn)閤－ai有正有負(fù),故用（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋(x－an)2來(lái)刻畫近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最接近．梳理（1)一般地，使(x－a1）2＋(x－a2)2＋…＋（x－an)2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2，n)，最小的x＝eq\f（a1＋a2＋…＋an,n)稱為這個(gè)n個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…,an的平均數(shù)或均值．(2)n個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)eq\x\to(a）＝eq\f（a1＋a2＋a3＋…＋an,n)。知識(shí)點(diǎn)二平均數(shù)的估計(jì)思考在頻率分布表里，還能看到原始數(shù)據(jù)嗎？怎樣根據(jù)頻率分布表計(jì)算平均數(shù)?答案在頻率分布表里,已看不到原始數(shù)據(jù),但可用各區(qū)間的組中值近似地表示．梳理一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn,則其平均數(shù)為eq\x\to（x）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.知識(shí)點(diǎn)三總體特征數(shù)1．總體特征數(shù)的定義在數(shù)學(xué)中，通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)．2．常見(jiàn)的總體特征數(shù)（1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．（3)平均數(shù)：n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn,則平均數(shù)eq\x\to(x）＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n)。1．中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)．（×）2．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．（√)3．如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1,x2，…,xn出現(xiàn)的頻率分別為f1，f2,…,fn，則eq\x\to(x)＝eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，n）.（×）類型一平均數(shù)的計(jì)算例1一個(gè)球隊(duì)所有隊(duì)員的身高如下(單位：cm）：178,179，181,182，176,183，176,180,183，175,181，185,180,184，問(wèn)這個(gè)球隊(duì)的隊(duì)員平均身高是多少？（精確到1cm）解方法一利用平均數(shù)的公式計(jì)算．eq\x\to（x)＝eq\f（1,14）×（178＋179＋181＋…＋180＋184）＝eq\f(1，14)×2523≈180（cm)．方法二取a＝180，將上面各數(shù)據(jù)同時(shí)減去180，得到一組新數(shù)據(jù):－2,－1,1,2,－4,3，－4,0,3,－5，1,5,0，4。eq\x\to(x)′＝eq\f（1,14）×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4）＝eq\f（1,14)×3＝eq\f(3，14)≈0.2，∴eq\x\to（x)＝eq\x\to（x）′＋a＝0。2＋180≈180（cm）．反思與感悟（1)在一般情況下，要計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可使用“方法一"這個(gè)公式．（2）當(dāng)數(shù)據(jù)較大,且大部分?jǐn)?shù)據(jù)在某一常數(shù)左、右波動(dòng)時(shí)，“方法二"可以減少運(yùn)算量,故此法比較簡(jiǎn)便．跟蹤訓(xùn)練1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(單位：m)1。501.601。651。701.751。801.851.90人數(shù)23234111求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)．解平均數(shù)是eq\x\to（x）＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1。70×3＋1。75×4＋1。80×1＋1。85×1＋1.90×1)＝eq\f（28。75,17）≈1。69(m）．類型二利用頻率分布表或直方圖估計(jì)平均數(shù)例2下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的抽樣頻率分布表,試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間。睡眠時(shí)間人數(shù)頻率[6,6。5）50.05[6.5,7)170。17[7，7.5)330.33[7。5，8）370。37［8,8.5)60。06［8。5，9］20。02合計(jì)1001解方法一總睡眠時(shí)間約為6.25×5＋6.75×17＋7。25×33＋7.75×37＋8。25×6＋8.75×2＝739(h）．故平均睡眠時(shí)間約為7.39h。方法二求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和．6．25×0。05＋6。75×0.17＋7。25×0.33＋7。75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0。02＝7。39（h）．答估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7。39h.反思與感悟一般地，若取值為x1，x2，…,xn的頻率分別為p1，p2，…,pn，則其平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn。跟蹤訓(xùn)練2一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，球的直徑頻率分布直方圖如圖．試估計(jì)這個(gè)樣本的平均數(shù)．解平均數(shù)為39.96×0.1＋39。98×0。2＋40×0.5＋40。02×0。2＝39.996.類型三眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3某公司的33名職工的月工資(單位:元）如下表：職位董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資分別從5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司職工的月工資的新的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)又是什么？（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平？解（1)公司職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to（x)＝eq\f（5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33)＝eq\f(69000，33）≈2091（元)．若把所有數(shù)據(jù)從大到小排序,則得到中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（2)若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資提升后,職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to(x）＝eq\f(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33）＝eq\f(108500，33）≈3288(元)．中位數(shù)是1500元,眾數(shù)是1500元．（3）在這個(gè)問(wèn)題中,中位數(shù)和眾數(shù)都能反映出這個(gè)公司職工的工資水平，因?yàn)楣旧贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的工資水平．反思與感悟如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策．跟蹤訓(xùn)練3今年西南一地區(qū)遭遇嚴(yán)重干旱,某鄉(xiāng)計(jì)劃向上級(jí)申請(qǐng)支援，為上報(bào)需水量，鄉(xiāng)長(zhǎng)事先抽樣調(diào)查了100戶村民的月均用水量，得到這100戶村民月均用水量的頻率分布表如表所示：(月均用水量的單位：噸)月均用水量分組頻數(shù)頻率[0.5,2.5）12［2.5，4.5)[4。5,6.5)40［6。5,8。5）0.18［8.5，10。5]6合計(jì)1001（1)請(qǐng)完成該頻率分布表，并畫出相對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;(2）估計(jì)樣本的中位數(shù)是多少？(3)已知上級(jí)將按每戶月均用水量向該鄉(xiāng)調(diào)水，若該鄉(xiāng)共有1200戶，請(qǐng)估計(jì)上級(jí)支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是多少噸？解（1）頻率分布表與相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如下:月均用水量分組頻數(shù)頻率［0。5，2.5)120。12［2。5,4.5）240.24［4。5,6.5）400。40［6。5，8.5)180.18［8.5，10。5］60。06合計(jì)1001（2）設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)樵戮盟吭冢?。5,4.5)內(nèi)的頻率是(0.06＋0。12）×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5）內(nèi)的頻率是(0.06＋0.12＋0.20）×2＝0.76,所以x∈［4.5，6.5）,則（x－4。5）×0。20＝0。5－0。36,解得x＝5。2。故樣本的中位數(shù)是5。2。(3）該鄉(xiāng)每戶月均用水量估計(jì)為1．5×0。12＋3.5×0。24＋5.5×0。40＋7。5×0.18＋9。5×0。06＝5。14（噸）．5．14×1200＝6168(噸）．所以估計(jì)上級(jí)支援該鄉(xiāng)的月調(diào)水量是6168噸．1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．（填序號(hào)）①在統(tǒng)計(jì)里，把所需考察對(duì)象的全體叫作總體;②一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù);③平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；④眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．答案②解析平均數(shù)不大于最大值,不小于最小值．2．下面是高一八班十位同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)：82，91,73，84，98，99,101，118，98,110,則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________．答案98解析將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為73，82,84，91,98,98，99,101，110，118，則最中間的兩個(gè)數(shù)為98,98，故中位數(shù)是eq\f（1，2）(98＋98）＝98.3．一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13，14,19,x，23,27,28，31，其中位數(shù)為22,則x為_(kāi)_______．答案21解析數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均值eq\f(x＋23，2)＝22，所以x＝21。4．某高校有甲，乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班，其中甲班40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分,乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是______分．答案85解析平均成績(jī)?yōu)閑q\f（40×90＋50×81,90）＝85（分)．5．樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示,根據(jù)樣本頻率分布直方圖,則平均數(shù)為_(kāi)_______．答案14.84解析平均數(shù)eq\x\to（x）＝10×0。06＋12×0.1＋14×0。4＋16×0.24＋18×0。2＝14。84.1．能反映總體某種特征的量稱為總體特征數(shù)，如平均數(shù)，中位數(shù),使總體特征數(shù)通常難以獲得,故常以樣本特征數(shù)估計(jì)總體特征數(shù)．2．平均數(shù)是離差的平方和最小的近似值，計(jì)算器、計(jì)算機(jī)均有專門的程序，手工計(jì)算要細(xì)致,不要漏加或重復(fù)．3．若數(shù)據(jù)xi的頻率為pi（i＝1，2，…，n），則eq\x\to（x）＝eq\i\su(i＝1，n，x）ipi,該值公式可以用在頻率分布表中估計(jì)平均數(shù)．一、填空題1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人,85分的有4人，80分和75分的各有1人,則該小組成績(jī)的平均數(shù)為_(kāi)_______．答案87解析平均數(shù)是eq\f(1,10）×(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75）＝87?！嗥骄鶖?shù)是87.2．已知一組數(shù)據(jù)為－3,5，7,x，11，且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5,那么數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________．答案5解析這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，則5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以x＝5，那么這組數(shù)據(jù)從小到大排列為－3,5，5，7,11，則中位數(shù)為5。3．已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16，18，15,11，16,18，18，17,15，13，設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_______．答案c〉b>a解析由題意a＝eq\f（1,10)（16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13）＝eq\f（157,10)＝15。7,中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,即b＝16，c＝18，所以c〉b〉a.4．某臺(tái)機(jī)床加工的1000只產(chǎn)品中次品數(shù)的頻率分布如下表：次品數(shù)01234頻率0。50.20.050。20。05則次品數(shù)的眾數(shù)，平均數(shù)依次為_(kāi)_______．答案0，1。1解析由于次品數(shù)為0的頻率最大，所以眾數(shù)為0；數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)的頻率為pi（i＝1，2,…，n)，則x1,x2，…，xn的平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝0×0.5＋1×0.2＋2×0。05＋3×0.2＋4×0。05＝1。1.5．某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差為_(kāi)_______．答案－3解析少輸入90，eq\f(90，30）＝3，平均數(shù)少3,求出的平均數(shù)減去實(shí)際的平均數(shù)等于－3.6．有容量為100的樣本,數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)、頻率如下：［12.5,14。5），6,0。06；［14。5,16。5），16，0.16；［16.5，18.5），18，0。18;[18.5，20.5)，22，0.22；［20。5，22.5），20,0.20；［22。5，24。5),10，0.10;[24。5,26。5），8，0。08.則估計(jì)總體的平均數(shù)為_(kāi)_______．答案19.42解析由于每組數(shù)據(jù)是一個(gè)范圍，所以可以用組中值近似地表示平均數(shù)．方法一總體的平均數(shù)約為eq\f(1，100)（13。5×6＋15。5×16＋17。5×18＋19。5×22＋21。5×20＋23.5×10＋25。5×8)＝19。42。故總體的平均數(shù)約為19.42.方法二組中值與對(duì)應(yīng)頻率積的和為13.5×0.06＋15.5×0.16＋17。5×0.18＋19。5×0。22＋21。5×0。20＋23。5×0。10＋25。5×0。08＝19。42.故總體的平均數(shù)約為19.42。7．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0。30，0.40，0.15，0。10，0.05.則估計(jì)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為_(kāi)_______，________。答案6565解析由圖可知眾數(shù)為65,又∵第一個(gè)小矩形的面積為0。3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0。3＋x×0。04＝0。5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.8．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10,其中x1，x2，x3的平均數(shù)為a，x4，x5,x6，…，x10的平均數(shù)為b，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．答案eq\f(3a＋7b,10）解析前3個(gè)數(shù)據(jù)的和為3a，后7個(gè)數(shù)據(jù)的和為7b，樣本平均數(shù)為10個(gè)數(shù)據(jù)的和除以10。9．某商店的大米價(jià)格是3。00元/千克,面粉價(jià)格是3.60元/千克，大米與面粉的銷量分別是1000千克，500千克，則該商店出售的糧食的平均價(jià)格是______元/千克．答案3.20解析平均價(jià)格為eq\f（1,1500)（3。60×500＋3.00×1000）＝1。20＋2.00＝3.20(元/千克)．10．若有一個(gè)企業(yè)，70%的員工年收入1萬(wàn)，25％的員工年收入3萬(wàn)，5％的員工年收入11萬(wàn)，則該企業(yè)員工的年收入的平均數(shù)是________萬(wàn)，中位數(shù)是________萬(wàn)，眾數(shù)是________萬(wàn)．答案211解析年收入的平均數(shù)是1×70％＋3×25％＋11×5%＝2(萬(wàn))．中位數(shù)與眾數(shù)都是1萬(wàn)．11．某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法(每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件作使用壽命的測(cè)試，由所得的測(cè)試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h,1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為_(kāi)_______h.答案1013解析依題意可知平均數(shù)eq\x\to（x）＝eq\f(980×1＋1020×2＋1032×1，1＋2＋1)＝1013（h)．二、解答題12．某地區(qū)全體九年級(jí)的3000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測(cè)試,為了估計(jì)學(xué)生的成績(jī)，從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?00分12人，90分30人，80分18人,70分24人，60分12人，50分4人．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)3000名學(xué)生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格)．解平均分為eq\f(100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4，100)＝79。40(分)，（12＋30＋18＋24＋12）÷100＝96％，所以樣本的平均分是79。40分，合格率是96％，由此來(lái)估計(jì)總體3000名學(xué)生的平均分是79。40分，合格率是96％。13．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h),試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下:服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．61。22。71.52。81。82.22.33.23．52.52。61。22.71.52.93.03。12．32。4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:3．21.71.90.80。92.41。22。61。31．41。60。51.80.62.11。12.51。22．70。5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看,哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖,從莖葉圖看，哪種藥的療效更好?解（1)eq\x\to(x)A＝eq\f(1，20)(0.6＋1。2＋2。7＋1。5＋2.8＋1.8＋2。2＋2.3＋3.2＋3。5＋2.5＋2。6＋1。2＋2.7＋1。5＋2。9＋3.0＋3。1＋2。3＋2。4)＝2.3(h）．eq\x\to（x）B＝eq\f（1，20)（3.2＋1。7＋1。9＋0。8＋0.9＋2。4＋1。2＋2。6＋1.3＋1。4＋1。6＋0。5＋1.8＋0。6＋2。1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5）＝1。6（h）．從計(jì)算結(jié)果看,A藥服用者的睡眠時(shí)間增加的平均數(shù)大于服用B藥的，所以A藥的療效更好．(2）從莖葉圖看,A藥的療效更好．三、探究與拓展14．某班有四個(gè)學(xué)習(xí)小組,各小組人數(shù)分別為10,10，x，8,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．解該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f（1,4)（10＋10＋x＋8）＝eq\f(1,4）（28＋x)，中位數(shù)是這4個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列后處在最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．(1）當(dāng)x≤8時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閤，8，10,10,中位數(shù)是9，由eq\f(1,4）(28＋x)＝9，得x＝8，符合題意,此時(shí)中位數(shù)是9；(2）當(dāng)8＜x≤10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?,x,10,10,中位數(shù)是eq\f（1，2）(x＋10），由eq\f（1,4）（28＋x)