2023屆北京市第四十四中學(xué)高三上學(xué)期十二月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市第四十四中學(xué)高三上學(xué)期十二月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目．2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．【詳解】解：化簡可得，的共軛復(fù)數(shù)，故選：B．3．若直線3x+y+a=0過圓的圓心，則的值為（

）A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】B【詳解】分析：圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為（-1，2）代入直線3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為（-1，2），代入直線3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故選B．點(diǎn)評：本題考查根據(jù)圓的方程求圓心的坐標(biāo)的方法，用待定系數(shù)法求參數(shù)的取值范圍4．如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定是偶函數(shù)的是A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選B．【解析】函數(shù)奇偶性的判定．5．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.故選：A.6．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，令，，對賦值，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題，，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋允且粋€(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間，故選：A7．等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】令先說明充分性，若是遞增數(shù)列，則必有成立說明必要性即可【詳解】當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，所以成立所以甲是乙的必要條件．故甲是乙的必要不充分條件故選：B.8．已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.9．如圖，在空間四邊形中，兩條對角線互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊分別相交于點(diǎn)，記四邊形的面積為y，設(shè)，則A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的最大值為8C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)滿足【答案】D【詳解】試題分析：由題可得，，所以．同理，所以，所以四邊形為平行四邊形．又，所以，所以平行四邊形為矩形．因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以．所以矩形的面積．函數(shù)圖象關(guān)于對稱，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可求得.所以值域是.【解析】1.空間直線的平行；2.相似三角形對應(yīng)成比例；3.二次函數(shù)的性質(zhì).10．如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題畫出圖形,設(shè)的中點(diǎn)為,則，可解得，討論點(diǎn)P在每一條邊上時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而求解即可得選項(xiàng).【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，則，兩式平方相減得，所以，即,所以，①當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，當(dāng)P在DC的中點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)P在DC的中點(diǎn)兩側(cè)(非端點(diǎn)A、D)時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，當(dāng)P在AB的中點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)P在AB的中點(diǎn)兩側(cè)(非端點(diǎn)A、B)時(shí)，，此時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，點(diǎn)P有2個(gè)滿足的點(diǎn)；當(dāng)，此時(shí)，點(diǎn)P有1個(gè)滿足的點(diǎn)；④當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)F處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，點(diǎn)P有2個(gè)滿足的點(diǎn)；當(dāng)，此時(shí)，點(diǎn)P有1個(gè)滿足的點(diǎn)；⑤當(dāng)P在點(diǎn)A處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)D處時(shí)，，此時(shí)，綜上得：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有6個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、填空題11．函數(shù)的定義域是_____________．【答案】【詳解】試題分析：函數(shù)有意義得：，解得即函數(shù)定義域?yàn)椋窘馕觥壳蠛瘮?shù)定義域．12．若的展開式中的系數(shù)是，則．【答案】1【分析】先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)的系數(shù)是列方程求解即可.【詳解】展開式的的通項(xiàng)為，令，的展開式中的系數(shù)為，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.13．寫出一個(gè)對于任意，同時(shí)滿足條件和的函數(shù)解析式：________.【答案】（答案不唯一）【分析】題目的意思就是讓我們寫出一個(gè)周期為的偶函數(shù).【詳解】說明函數(shù)是偶函數(shù)；說明函數(shù)的周期為.故答案為：（答案不唯一）14．已知數(shù)列：具有性質(zhì)：對任意，與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng).現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列0，1，3具有性質(zhì)；②數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)；③若數(shù)列具有性質(zhì)，則；④若數(shù)列具有性質(zhì)，則.其中所有正確命題的序號是________.【答案】②③④【分析】分別求得各命題中的與，根據(jù)定義，判斷真假即可.【詳解】①數(shù)列0，1，3中，，，都不是該數(shù)列中的數(shù)，故①不正確；②數(shù)列0，2，4，6，，，，，，這6組數(shù)都滿足和兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，所以數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)，故②正確；③若數(shù)列具有性質(zhì)，則與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，∵，，而不是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴，故③正確；④∵數(shù)列，，具有性質(zhì)，，由③，，，，都是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴與至少有一個(gè)是該數(shù)列中的項(xiàng)，易知不是該數(shù)列的項(xiàng)，則是該數(shù)列中的一項(xiàng)，即或或，若，則，即，與矛盾；若，則，即；若，則，與矛盾，綜上，，故④正確．故答案為：②③④三、雙空題15．已知，若，則________；若是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是________.【答案】

##

.【分析】先求出函數(shù)解析式，分段代入求解即可；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；由是上的減函數(shù)，可得，則，所以的取值范圍為.故答案為：，.四、解答題16．在△中，已知，其中.（Ⅰ）判斷能否等于3，并說明理由；（Ⅱ）若，，，求．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)余弦函數(shù)有界性作判斷，（Ⅱ）根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)條件解得，最后根據(jù)正弦定理得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由題可知，由余弦定理，得．

這與矛盾，所以不可能等于3.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以.

因?yàn)椋?，，所以，解得（舍）?

在△中，由正弦定理，

得.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.17．在平行四邊形中，，，.將沿折起，使得平面平面，如圖所示.為線段上一點(diǎn)，且________.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.從①為中點(diǎn)，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，進(jìn)而證得；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面的法向量，再利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，又平面，所?（2）選擇①為中點(diǎn)，解析如下：結(jié)合（1）中結(jié)論，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則.選擇②，解析如下：結(jié)合（1）中結(jié)論，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則.選對③，解析如下：結(jié)合（1）中結(jié)論，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則.18．流行性感冒多由病毒引起，據(jù)調(diào)查，空氣月平均相對濕度過大或過小時(shí)，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學(xué)測定，當(dāng)空氣月平均相對濕度大于或小于時(shí)，有利于病毒繁殖和傳播．下表記錄了某年甲、乙兩個(gè)城市12個(gè)月的空氣月平均相對濕度．第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地乙地(1)從上表12個(gè)月中，隨機(jī)取出1個(gè)月，求該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；(2)從上表第一季度和第二季度的6個(gè)月中隨機(jī)取出2個(gè)月，記這2個(gè)月中甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)若，設(shè)乙地上表12個(gè)月的空氣月平均相對濕度的中位數(shù)為M，求M的最大值和最小值．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)；(2)分布列見解析；(3)的最大值為，最小值為．【分析】（1）設(shè)事件：從上表12個(gè)月中，隨機(jī)取出1個(gè)月，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播．用表示事件抽取的月份為第月，利用列舉法能求出該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率．（2）在第一季度和第二季度的6個(gè)月中，甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份只有2月和6月，所有可能的取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列．（3）由，設(shè)乙地上表12個(gè)月的空氣月平均相對濕度的中位數(shù)為，應(yīng)用中位數(shù)的定義結(jié)合分類討論求出的最大值，最小值．【詳解】（1）設(shè)事件：從上表12個(gè)月中，隨機(jī)取出1個(gè)月，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播．用表示事件抽取的月份為第月，∴，，，，，，，，，，，共12個(gè)基本事件，且，，，，，共6個(gè)基本事件，所以，該月甲地空氣月平均相對濕度有利于病毒繁殖和傳播的概率；（2）在第一季度和第二季度的6個(gè)月中，甲、乙兩地空氣月平均相對濕度都有利于病毒繁殖和傳播的月份只有2月和6月，∴所有可能的取值為0，1，2．，，，隨機(jī)變量的分布列為：012（3）由表格已知數(shù)據(jù)：乙地?cái)?shù)據(jù)從小到大為，又，不妨假設(shè)，設(shè)乙地上表12個(gè)月的空氣月平均相對濕度的中位數(shù)為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)，即時(shí)，若有，若有，∴的最大值為，最小值為．19．橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，先得，再由得，即可求得橢圓的方程；（2）易知直線斜率存在，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得和，根據(jù)為直角可得，代入即可求得斜率的值.【詳解】（1）由題，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，又，所以，所以橢圓的方程為.（2）由題，過點(diǎn)滿足題意的直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，，消去得，，令，解得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，因?yàn)闉橹苯侨切?，則為直角，所以，即，所以，所以，解得.20．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問過點(diǎn)分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)(2)(3)見解析【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)等于0求出，再代入原函數(shù)解析式，最后比較大小，即可；（2）設(shè)切點(diǎn)，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結(jié)果;(3)由（2）容易得出結(jié)果.由得，令，得或，因?yàn)?，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此，整理得：，設(shè)，則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”，=，與的情況如下：01+00+t+3所以，是的極大值，是的極小值，當(dāng)即時(shí)，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，t的取值范圍是.（3）過點(diǎn)A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線相切；過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線相切.【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識的同時(shí)，考查分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是高考的熱點(diǎn)，在每年的高考試卷中占分比重較大，熟練這部分的基礎(chǔ)知識、基本題型與基本技能是解決這類問題的關(guān)鍵.21．已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)，若，則稱新數(shù)列為的長度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列的長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為.若，求證：；（Ⅲ）設(shè)無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若的長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(Ⅰ)1,3,5,6；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題