等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)課件

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1

國(guó)際象棋的棋盤(pán)上共有8行8列,構(gòu)成64個(gè)格子.國(guó)際象棋起源于古代印度,關(guān)于國(guó)際象棋有這樣一個(gè)傳說(shuō).引入:

國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他有什么要求,發(fā)明者說(shuō):“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒,在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒,在第3個(gè)格子里放上國(guó)際象棋的棋盤(pán)上共有8行8列,構(gòu)成64個(gè)格子.國(guó)24顆麥粒,在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒,依此類(lèi)推,每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍,直到第64個(gè)格子,請(qǐng)你認(rèn)為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎?給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求”.國(guó)王覺(jué)得這并不是很難辦到的,就欣然同意了他的要求.4顆麥粒,在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒,依此類(lèi)推,每個(gè)格子里放3讓我們來(lái)分析一下:

由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個(gè)格子,各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是于是發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)就是讓我們來(lái)分析一下:由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一4一、復(fù)習(xí)1.等比數(shù)列的定義：2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：３．?dāng)?shù)列的前ｎ項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系：一、復(fù)習(xí)1.等比數(shù)列的定義：2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：３5二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗曰蚨?、等比?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q6(二)從基本問(wèn)題出發(fā)公式Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an

=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)(二)從基本問(wèn)題出發(fā)7

(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開(kāi)有Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1(*)

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

(**

)兩式相減有

(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn

=……….(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開(kāi)有Sn=a1+a1q8三、小結(jié)上述幾種求和的推導(dǎo)方式中第一種依賴(lài)的是定義特征及等比性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo),第二種則是借助的和式的代數(shù)特征進(jìn)行恒等變形而得,而第三種方法我們稱(chēng)之為錯(cuò)位相減法.由Sn.an,q,a1,n

知三而可求二.三、小結(jié)上述幾種求和的推導(dǎo)方式中9四、例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8,…的前n項(xiàng)和

分析:拆項(xiàng)后構(gòu)成兩個(gè)等比數(shù)列的和的問(wèn)題,這樣問(wèn)題就變得容易解決了.例2.求和四、例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,110例1：解：由a1=1/2

，n=8,得q=1/4÷1/2=1/2例1：解：由a1=1/2，n=8,得q=1/4÷1/2=11例2：例2：12例3：某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸（保留到個(gè)位）？例3：某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增13解：根據(jù)題意，每年的產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第１年起，每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列｛an｝。其中：a1=5，q=1+10%=1.1，Sn=30；1.1n=1.6于是得到：整理得：解：根據(jù)題意，每年的產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第１14n·lg1.1=lg1.6答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸。兩邊取對(duì)數(shù)：n·lg1.1=lg1.6答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)15例4：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列。分析：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3+S6=2S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證：a2+a5=2a8例4：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S16證明：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3+S6=2S9這里q≠1。事實(shí)上，如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=a1，由a1≠0，得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，所以q≠1由S3+S6=2S9，得證明：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3+S6=2S9這里17整理，得q3+q6=2q9整理，得q3+q6=2q918本節(jié)結(jié)束，謝謝！本節(jié)結(jié)束，謝謝！19等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和20

國(guó)際象棋的棋盤(pán)上共有8行8列,構(gòu)成64個(gè)格子.國(guó)際象棋起源于古代印度,關(guān)于國(guó)際象棋有這樣一個(gè)傳說(shuō).引入:

國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他有什么要求,發(fā)明者說(shuō):“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒,在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒,在第3個(gè)格子里放上國(guó)際象棋的棋盤(pán)上共有8行8列,構(gòu)成64個(gè)格子.國(guó)214顆麥粒,在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒,依此類(lèi)推,每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍,直到第64個(gè)格子,請(qǐng)你認(rèn)為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎?給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求”.國(guó)王覺(jué)得這并不是很難辦到的,就欣然同意了他的要求.4顆麥粒,在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒,依此類(lèi)推,每個(gè)格子里放22讓我們來(lái)分析一下:

由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個(gè)格子,各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是于是發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)就是讓我們來(lái)分析一下:由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一23一、復(fù)習(xí)1.等比數(shù)列的定義：2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：３．?dāng)?shù)列的前ｎ項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系：一、復(fù)習(xí)1.等比數(shù)列的定義：2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：３24二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗曰蚨?、等比?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q25(二)從基本問(wèn)題出發(fā)公式Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an

=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)(二)從基本問(wèn)題出發(fā)26

(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開(kāi)有Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1(*)

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

(**

)兩式相減有

(1–q)Sn=a1–a1qn

….Sn

=……….(三)從(二)繼續(xù)發(fā)散開(kāi)有Sn=a1+a1q27三、小結(jié)上述幾種求和的推導(dǎo)方式中第一種依賴(lài)的是定義特征及等比性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo),第二種則是借助的和式的代數(shù)特征進(jìn)行恒等變形而得,而第三種方法我們稱(chēng)之為錯(cuò)位相減法.由Sn.an,q,a1,n

知三而可求二.三、小結(jié)上述幾種求和的推導(dǎo)方式中28四、例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,1/8,…的前n項(xiàng)和

分析:拆項(xiàng)后構(gòu)成兩個(gè)等比數(shù)列的和的問(wèn)題,這樣問(wèn)題就變得容易解決了.例2.求和四、例題選講:例1.求等比數(shù)列1/2,1/4,129例1：解：由a1=1/2

，n=8,得q=1/4÷1/2=1/2例1：解：由a1=1/2，n=8,得q=1/4÷1/2=30例2：例2：31例3：某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么第1年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸（保留到個(gè)位）？例3：某制糖廠第1年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增32解：根據(jù)題意，每年的產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第１年起，每年的產(chǎn)量組成一個(gè)等比數(shù)列｛an｝。其中：a1=5，q=1+10%=1.1，Sn=30；1.1n=1.6于是得到：整理得：解：根據(jù)題意，每年的產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第１33n·lg1.1=lg1.6答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸。兩邊取對(duì)數(shù)：n·lg1.1=lg1.6答：約5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)34例4：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列。分析：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3+S6=2S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證：a2+a5=2a8例4：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3，S9，S35證明：由S3，S