北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第二章教學(xué)課件

第二章一元二次方程2.1認識一元二次方程2.1.1一元二次方程目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式.

（重點）3.了解一元二次方程的根的概念.

（重點）4.能根據(jù)實際問題列一元二次方程.（重點、難點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入知識回顧判斷下列式子是否是一元一次方程：一元一次方程（1）只有一個未知數(shù)（2）未知數(shù)的指數(shù)是一次（3）方程的兩邊都是整式新課導(dǎo)入情境導(dǎo)入

在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計為多高?解：如圖，雕像的上部高度AC與下部高度BC應(yīng)有關(guān)系：AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.設(shè)雕像下部高xm，可得方程x2＝2(2－x).整理，得x2＋2x－4＝0.ACB新課導(dǎo)入x2＋2x－4＝0這個方程與我們學(xué)過的一元一次方程不同，其中未知數(shù)x的最高次數(shù)是2.

思考（1）如何解這類方程?（2）如何用這類方程解決一些實際問題?新課講解

知識點1一元二次方程的定義合作探究

問題一：如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?新課講解

設(shè)切去的正方形的邊長是xcm，則盒底的長為(100－2x)cm，寬為(50－2x)cm.根據(jù)方盒的底面積為3600cm2，得(100－2x)(50－2x)＝3600.整理，得4x2－300x＋1400=0.化簡，得x2－75x＋350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具體尺寸.xcm(100-2x)

cm(50-2x)

cm化簡后的方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？分析：新課講解

問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？全部比賽場數(shù)為4×7=28.設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x－1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共

場.列方程.整理，得.

解上面方程即可得出參賽隊數(shù).分析：（2）方程中只含有

未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是

．（1）這些方程的兩邊都是

．整式2觀察由上面的問題得到的方程有什么特點？新課講解討論

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．結(jié)論x2?x=56x2?75x+350=0x2+2x?4=0一個新課講解例

1

下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有

個.

1①含有兩個未知數(shù).②不是整式方程.④未知數(shù)的最高次數(shù)不是2.⑤整理后未知數(shù)的最高次數(shù)不是2.③符合一元二次方程的“三要素”.分析：×√×××典例分析新課講解練一練如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是關(guān)于x一元二次方程，那么m的值為(

)A．±3

B．3C．－3

D．以上都不對下列關(guān)于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0DC12新課講解

知識點2一元二次方程的一般形式為什么要限制a≠0，

b，c可以為0嗎？

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式.新課講解ax2

+

bx+c=0(a≠

0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)二次項一次項常數(shù)項指出方程各項的系數(shù)時要帶上前面的符號喲.

二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項：新課講解例

2

將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．典例分析解：去括號，得3x2－3x＝5x＋10.移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.所以二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為－8，常數(shù)項為－10.新課講解知識點03一元二次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.練一練下面哪些數(shù)是方程x2–4x+3=0的解?

-2，0，1，2，3，4.解：1和3.新課講解例

3

已知a是方程x2+2x-2=0

的一個實數(shù)根，求

3a2+6a+2019的值.典例分析解：由題意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2.∴3a2+6a+2019=3(a2+2a)=3×2+2019=2025.已知方程的解求代數(shù)式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，將所求代數(shù)式的一部分看作一個整體，再用整體思想代入求值．課堂小結(jié)一元二次方程只含有一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2是整式方程ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項1.一元二次方程3x2=5x的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別

是（

）

A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0C當(dāng)堂小練2.下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：－4，3.當(dāng)堂小練3.根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍一個面積為0.06m2的平

方的長方形?解：設(shè)長方形的長為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據(jù)題意，得x(0.5-x)=0.06.

整理，得50x2-25x+3=0.D拓展與延伸1.若a+b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

2.若a-b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

3.若4a+2b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c必有一解為

.

1-12第二章一元二次方程2.1認識一元二次方程2.1.2一元二次方程的解及其估算目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.一元二次方程的解2.一元二次方程解的估算（重點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入知識回顧1.一元二次方程的定義是什么？2.一元二次方程的形式有哪些？新課導(dǎo)入什么是方程的解？使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就叫做方程的解.什么叫做一元一次方程？只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a,b為常數(shù),a≠0)新課講解

知識點1一元二次方程的解合作探究1.學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊,預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.

設(shè)這兩年的年平均增長率為x,已知去年年底的圖書數(shù)是5萬冊,則今年年底的圖書數(shù)應(yīng)是5(1+x)萬冊.明年年底的圖書數(shù)為5(1+x)(1+x)萬冊,即5(1+x)2(萬冊).可列得方程5(1+x)2=7.2整理可得5x2+10x-2.2=0新課講解一元二次方程的解：能使一元二次方程兩邊的值相

等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫一

元二次方程的根．驗證一個未知數(shù)的值是否是一元二次方程的根，只

需將這個未知數(shù)的值分別代入方程兩邊，若所得的

值相等，則這個未知數(shù)的值就是方程的根，否則就

不是方程的根．新課講解例1

下面哪些數(shù)是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3導(dǎo)引：根據(jù)一元二次方程的根的定義，將這些數(shù)作為未知數(shù)的值分別代入方程中，能夠使方程左右兩邊相等的數(shù)就是方程的根．解：－1，2.新課講解討論結(jié)論判斷一個數(shù)值是不是一元二次方程的根的方法：將這個值代入一元二次方程，看方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，就不是方程的根．如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一個根，那么字母b的值為(

)

A.3

B.－3

C.4

D．－4

根據(jù)根的意義，將x＝2直接代入方程的左右兩邊，就可得到以b為未知數(shù)的一元一次方程，求解即可．

B新課講解例典例分析1方程x2+x－12＝0的兩個根為(

)

A．x1＝－2，x2＝6B．x1＝－6，x2＝2

C．x1＝－3，x2＝4D．x1＝－4，x2＝3D新課講解練一練1

下表是某同學(xué)求代數(shù)式x2－x的值的情況，根據(jù)表格可知方程x2－x＝2的解是(

)A.x＝－1B.x＝0C.x＝2D.x1＝－1，x2＝2x－2－10123…x2－x620026…D新課講解

知識點2一元二次方程解的估算對于前一課第一個問題，你能設(shè)法估計四周未鋪地毯部分的寬度x(m)嗎？我們知道，x滿足方程(8－2x)(5－2x)＝18.(1)x可能小于0嗎？可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由．(2)你能確定x的大致范圍嗎？(3)填寫下表：(4)你知道所求寬度x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流．x0.511.52(8－2x)(5－2x)2810184新課講解（1）因為x表示寬度，所以x不可能小于0；根據(jù)題意，8-2x和5-2x分別表示地毯的長和寬，所以8-2x>0,5-2x>0,因此x不可能大于4，也不可能大于2.5.（2）通過上面的分析，可以得到0<x<2.5.（3）從x的取值范圍內(nèi)取值，并進行相應(yīng)計算，表格中第二行從左到右依次填寫28,18,10,4.（4）通過分析表格中的數(shù)值，估計方程的解，對表格中所填數(shù)值的分析應(yīng)至少包括以下兩個方面：①表格中，當(dāng)x的值從小到大變化時，（8-2x)(5-2x）的值逐漸減小，經(jīng)歷了從大于18到等于18再到小于18的過程.②由表格可知，當(dāng)x=1時，（8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意義，可以得出“x-1是方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得結(jié)論，從而所求寬度為1m.新課講解新課講解用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法及步驟：(1)方法：當(dāng)某一x的取值使得這個方程中的ax2＋bx＋c的值在某一精確度要求的范圍內(nèi)接近于0時，x的值即為一元二次方程的近似解．對于實際問題中解的估算，應(yīng)先根據(jù)實際情況確定一元二次方程的解的大致取值范圍，再通過具體的求值計算從兩邊接近方程的解，逐步求得符合精確度要求的方程的解的近似值，一般簡稱為“夾逼法”．新課講解(2)步驟：①列表：根據(jù)實際情況確定方程解的大致范圍，分別計算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；②在表中找出當(dāng)ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知數(shù)的范圍；③進一步在②的范圍內(nèi)列表、計算、估計范圍，直到找符合要求的范圍．新課講解例典例分析在前一課的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0.(1)小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？(2)底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？(3)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？(4)x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？

新課講解例典例分析解：小亮把他的求解過程整理如下：所以1<x<1.5.進一步計算：所以1.1<x<1.2.因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1.x00.511.52x2＋12x－15－15－8.75－25.2513x1.11.21.31.4x2＋12x－15－0.59－0.842.293.76課堂小結(jié)能使一元二次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做

一元二次方程的解2.用估算法判斷一元二次方程解的取值范圍，具體步驟如下：(1)列表，利用未知數(shù)的取值分別計算方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知數(shù)的大致取值范圍；(3)進一步在(2)中的范圍內(nèi)列表、計算、估計范圍，直到符合題中精確度要求為止．當(dāng)堂小練1.x（x-1）=2的兩根為（）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=22..方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b2D

B

當(dāng)堂小練D拓展與延伸第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程2.2.1直接開平方法目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.形如x2=p(p≥0)型方程的解法

2.形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法（重點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入議一議新課講解

知識點1形如x2=p(p≥0)型方程的解法

合作探究一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？新課講解分析：設(shè)其中一個盒子的棱長為xdm，則這個盒子的表面積為6x2dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程10×6x2=1500.①整理，得x2=25.根據(jù)平方根的意義，得x=±5，即

x1=5,x2=－5.可以驗證，5和－5是方程①的兩個根，因為棱長不能是負值，所以盒子的棱長為5dm.新課講解歸納結(jié)論一般地，對于方程x2＝p，(Ⅰ)(1)當(dāng)p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(Ⅰ)

有兩個不等的實數(shù)根x1＝－

，x2＝

；(2)當(dāng)p＝0時，方程(Ⅰ)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝0；(3)當(dāng)p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有x2≥0，

所以方程(Ⅰ)無實數(shù)根．

用直接開平方法解一元二次方程時，首先將方程化成左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，然后根據(jù)平方根的定義求解．當(dāng)整理后右邊為0時，方程有兩個相等的實數(shù)根．新課講解練一練12

方程x2－3＝0的根是_____________.2下列方程中，沒有實數(shù)根的是(

)A．2x＋3＝0B．x2－1＝0C.x2－1

＝1D．x2＋x＋1＝0D新課講解

知識點2形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法

對照上面解方程(Ⅰ)的過程，你認為應(yīng)怎樣解方程(x＋3)2＝5?

在解方程(Ⅰ)時，由方程x2＝25得x＝±5.

由此想到：由方程(x＋3)2＝5，②

得

x＋3＝±，

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，③

于是，方程(x＋3)2＝5的兩個根為

x1＝－3＋

，x2＝－3－.新課講解例典例分析

用直接開平方法解下列方程．(1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0.

解：（1）移項，得9x2＝81，

系數(shù)化為1，得x2＝9.

開平方，得x

＝±3.

于是x1＝3，x2＝－3.

（2）移項，得2(x－3)2

＝50，

系數(shù)化為1，得(x－3)2

＝25.

開平方，得x－3＝±5.

于是x1＝8，x2＝－2.新課講解練一練

解形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程時，先將方程利用平方根性質(zhì)降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再求解.已知b＜0，關(guān)于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．有兩個實數(shù)根C課堂小結(jié)直接開平方法解一元二次方程的“三步法”當(dāng)堂小練1.方程(x+1)2=0的根是()A.x1=x2=1B.x1=x2=-1C.x1=-1,x2=1D.無實數(shù)根2.已知關(guān)于x的方程(x-2)2=1-m無實數(shù)根,那么m滿足的條件是()A.m>2B.m<2C.m>1D.m<1BCD拓展與延伸D拓展與延伸D拓展與延伸D拓展與延伸第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程2.2.2配方法目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.二次三項式的配方2.用配方法解一元二次方程（重點、難點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米?梯子底端滑動的距離x(m)滿足x2+12x-15＝0．上節(jié)課我們已求出了x的近似值。那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎?新課講解

知識點1二次三項式的配方合作探究

用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2＋(________)x＋36＝[x＋(________)]2;(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．

255±12±629新課講解分析：

配方就是要配成完全平方，根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)二次項系數(shù)為1時，常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．新課講解1.將代數(shù)式a2＋4a－5變形，結(jié)果正確的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9D新課講解結(jié)論當(dāng)二次項系數(shù)為1時，已知一次項的系數(shù)，則常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方；已知常數(shù)項，則一次項系數(shù)為常數(shù)項的平方根的兩倍．注意有兩個．當(dāng)二次項系數(shù)不為1時，則先化二次項系數(shù)為1，然后再配方．新課講解例典例分析用配方法解方程：移項得：

配方得：

開平方得：

∴原方程的解為：解:一次項系數(shù)變?yōu)樨撚秩绾闻浞侥?新課講解練一練12若x2＋2(m－3)x＋16是關(guān)于x的完全平方式，則m________.－1或7將代數(shù)式a2＋4a－5變形，結(jié)果正確的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9D新課講解

知識點2用配方法解一元二次方程

怎樣解方程x2＋6x＋4＝0?我們已經(jīng)會解方程(x＋3)2＝5.因為它的左邊是含有x的完全平方式，右邊是非負數(shù)，所以可以直接降次解方程．那么，能否將方程x2＋6x＋4＝0轉(zhuǎn)化為可以直接降次的形式再求解呢？新課講解例典例分析

解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；

(3)3x2－6x＋4＝0.

(1)方程的二次項系數(shù)為1，直接運用配方法．

(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次項系數(shù)為2，為了便于配方，需將二次項系數(shù)化為1，為此方程的兩邊都除以2.

(3)與(2)類似，方程的兩邊都除以3后再配方．新課講解例典例分析解：

(1)移項，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得

新課講解例典例分析

(2)移項，得2x2－3x＝－1.二次項系數(shù)化為1，得

配方，得由此可得

新課講解例典例分析(3)移項，得3x2－6x＝－4二次項系數(shù)化為1，得

配方，得因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，(x－1)2都是非負數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根．

x2－2x＝.x2－2x+12＝+12.

(x－1)2＝

.新課講解歸納—般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p(Ⅱ)

的形式，那么就有：(1)當(dāng)p>0時，方程(Ⅱ)有兩個不等的實數(shù)根

(2)當(dāng)p＝0時，方程(Ⅱ)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－n；(3)當(dāng)p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有(x＋n)2≥0，

所以方程(Ⅱ)無實數(shù)根．x1＝－n－，x2＝－n＋；課堂小結(jié)當(dāng)堂小練1.用配方法解下列方程時,配方有錯誤的是()A.x2+8x+9=0可化為(x+4)2=25B.x2-2x-99=0可化為(x-1)2=100C.2t2-7t-4=0可化為t-742=8116D.3x2-4x-2=0可化為x-232=1092.把方程2x2-3x-2=0配方成(x+m)2=n的形式,則m,n的值分別是()A.m=-34,n=2516B.m=-32,n=2516C.m=-34,n=2716D.m=-34,n=254AA當(dāng)堂小練3.閱讀材料:把形如ax2+bx+c的二次三項式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方式的逆a2±2ab+b2=(a±b)2.請解決下列問題:(1)填空:a2-4a+4=(a-2)2.(2)若a2+2a+b2-6b+10=0,求a+b的值.(3)若a,b,c分別是△ABC的三邊長,且a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.解:(2)∵a2+2a+b2-6b+10=0,∴(a+1)2+(b-3)2=0,∴a=-1,b=3,∴a+b=2.(3)△ABC為等邊三角形.理由如下:∵a2+4b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,∴(a-b)2+(c-1)2+3(b-1)2=0,∴a-b=0,c-1=0,b-1=0,∴a=b=c=1,∴△ABC為等邊三角形.D拓展與延伸

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法——配方法,它可以助你到達希望的頂點.一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型.第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程2.3.1一元二次方程跟的判別式目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.一元二次方程根的判別式2.一元二次方程根的類別

（重點）3.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

（重點、難點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入知識回顧

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便地出兩個題考考我。新課導(dǎo)入任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(Ⅲ)能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？新課講解

知識點1一元二次方程根的判別式合作探究我們可以用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．移項，得二次項系數(shù)化為1，得

新課講解配方，得即因為a≠0，所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三種情況:(1)

(2)(3)

新課講解例1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出）

分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值的符號，

補充了一個含有字母系數(shù)的方程，補充此題的目的是：使學(xué)生進一步地掌握此類題中△值的符號的判斷方法，也為今后解綜合性問題打好基礎(chǔ)。在練習(xí)中作了相應(yīng)地補充。新課講解練習(xí)

一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.

結(jié)論已知方程2x2＋mx＋1＝0的判別式的值為16，則m的值為(

)A.

B.

C.

D.

C新課講解練一練新課講解練一練新課講解

知識點2一元二次方程根的情況的判別一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三種情況：

當(dāng)Δ>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；

當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)Δ<0時，方程無實數(shù)裉．新課講解例典例分析

不解方程，判斷下列方程根的情況．

(1)

(2)

根的判別式是在一般形式下確定的，因此應(yīng)

先將方程化成一般形式，然后算出判別式的

值．(1)原方程化為:

∴方程有兩個相等的實數(shù)根導(dǎo)引：解：新課講解例典例分析(2)原方程化為:∴方程有兩個不相等的實數(shù)根新課講解練習(xí)結(jié)論下列對一元二次方程x2＋x－3＝0根的情況的判斷，正確的是(

)A．有兩個不相等實數(shù)根B．有兩個相等實數(shù)根C．有且只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根A①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左邊是一個完全平方式，則該方程有兩個相等的實數(shù)根；②若方程中a，c異號，或b≠0且c＝0時，則該方程有兩

個不相等的實數(shù)根；③當(dāng)方程中a，c同號時，必須通過Δ的符號來判斷根的情況．新課講解知識點03一元二次方程根的判別式的應(yīng)用例2

k取何值時，關(guān)于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有兩個不相等的實數(shù)根？導(dǎo)引：已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則該方程的Δ>0，用含k的代數(shù)式表示出Δ，然后列出以k為未知數(shù)的不等式，求出k的取值范圍．新課講解解：∵方程kx2－12x＋9＝0是關(guān)于x的一元二次方程，

∴k≠0.方程根的判別式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.

由144－36k>0，求得k<4，又k≠0，∴當(dāng)k<4且k≠0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．新課講解例典例分析若關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)＞1C．a(chǎn)≤1

D．a(chǎn)＜1A課堂小結(jié)(1)今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識點，所以必須牢固掌握好它。(2)注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知△值的符號時，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時，使用逆定理。課堂小結(jié)(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)判別式的情況根的情況定理與逆定理

△＞0兩個不相等的實根△＞0兩個不相等的實根△＝0兩個相等的實根△＝0

兩個相等的實根

△＜0無實根△＜0

無實根當(dāng)堂小練1.一元二次方程x2-x+3=0的根的情況是()A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根2.下列關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的是()A.x2-x-1=0B.4x2-12x+9=0C.x2=-xD.x2-mx-2=0CB當(dāng)堂小練3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m-1=0.(1)當(dāng)m=0時,求方程的實數(shù)根;(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)當(dāng)m=0時,方程為x2+x-1=0.∴Δ=12-4×1×(-1)=5＞0.∴x=-1±52×1,∴x1=-1+52,x2=-1-52.(2)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ＞0,即12-4×1×(m-1)=1-4m+4=5-4m＞0,∴m＜54.D拓展與延伸D拓展與延伸第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程2.3.2公式法目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.一元二次方程的求根公式2.求根公式的應(yīng)用（重點、難點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入知識回顧

我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法.用配方法解一元二次方程的方法的助手:平方根的意義:

如果x2=a,那么x=完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.新課講解

知識點1一元二次方程的求根方式合作探究例3：用公式法解方程2x2+5x-3=0

新課講解這里的a、b、c的值是什么？1-224例3：用公式法解方程x2+4x=2

解：移項，得x2+4x-2=0a=

，b=4c=.b2-4ac=

=

.x=

=

.即x1=,x2=.42-4×1×(-2)新課講解練習(xí)結(jié)論方程3x2－x＝4化為一般形式后的a，b，c的值分別為(

)A．3、1、4B．3、－1、－4C．3、－4、－1D．－1、3、－4一元二次方程

中，b2－4ac的值應(yīng)是(

)A．64B．－64C．32D．－32BA

當(dāng)Δ≥0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的實數(shù)根可寫為的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．求根公式表達了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的結(jié)果.

新課講解

知識點2求根公式的應(yīng)用用求根公式解一元二次方程的一般步驟：(1)把一元二次方程化成一般形式；(2)確定公式中a，b，c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)若b2－4ac≥0，則把a，b及b2－4ac的值代入求根

公式求解，當(dāng)b2－4ac＜0時，方程無實數(shù)解．新課講解例典例分析

解方程：

(1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x.解：(1)這里a＝1，b＝－7，c＝－18.

∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0，

∴x＝

即

x1＝9，x2＝－2.

新課講解(2)4x2＋1＝4x.(2)將原方程化為一般形式，得4x2－4x＋1＝0.

這里a＝4，b＝－4，c＝1.

∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，

∴x＝即x1＝x2＝新課講解例2

用公式法解下列方程：

（1）x2－4x－7＝0；（2）2x2－

＋1＝0；（3）5x2－3x＝x＋1；

（4）x2＋17＝8x.解：（1）a＝1，b＝－4，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有兩個不等的實數(shù)根確定a，b，c的值時，要注意它們的符號.新課講解即

（2）a＝2，b＝

，c＝1.Δ＝b2－4ac＝

－4×2×1＝0.方程有兩個相等的實數(shù)根新課講解（3）方程化為5x2－4x－1＝0.a＝5，b＝－4，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有兩個不等的實數(shù)根即（4）方程化為x2－8x＋17＝0.a＝1，b＝－8，c＝17.Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程無實數(shù)根．新課講解歸納

用公式法解一元二次方程時，應(yīng)首先將方程化為一般形式，然后確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項，在確定了a，b，c后，先計算b2－4ac的值，當(dāng)b2－4ac≥0時，再用求根公式解．課堂小結(jié)用公式法解一元二次方程的“四個步驟”：(1)把一元二次方程化為一般形式．(2)確定a，b，c的值．(3)計算b2－4ac的值．(4)當(dāng)b2－4ac≥0時，把a，b，c的值代入求根公式，求出方程的兩個實數(shù)根；當(dāng)b2－4ac<0時，方程無實數(shù)根．當(dāng)堂小練1.用公式法解一元二次方程2x2-3x+1=0時,a,b,c的值分別是()A.2,3,1B.2,-3,1C.2,3,-1D.4,3,12.用公式法解一元二次方程-3x2+5x-1=0,結(jié)果正確的是()A.x=-5±136B.x=-5±133C.x=5±136D.x=5±133BC當(dāng)堂小練3.用公式法解下列方程:(1)2x2+5x-1=0;(2)3x2-6x+1=2.解:(1)∵a=2,b=5,c=-1,∴Δ=25+8=33>0.∴x=-5±334,∴x1=-5+334,x2=-5-334.(2)整理,得3x2-6x-1=0.∴Δ=(-6)2-4×3×(-1)=48,∴x=6±482×3,解得x1=3+233,x2=3-233.D拓展與延伸

如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點出發(fā)沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問幾秒時△PDQ的面積為35cm2?第二章一元二次方程2.4用因式分解法求一元二次方程目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.熟練掌握用因式分解法解一元二次方程。2.通過因式分解法解一元二次方程的學(xué)習(xí)，樹立轉(zhuǎn)化思想3.用因式分解法解一元二次方程（重點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入

一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？

小穎、小明、小亮都設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可得方程x2＝3x.但他們的解法各不相同．由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.因此x＝，x1＝0，x2＝3.所以這個數(shù)是0或3.方程x2＝3x兩邊同時約去x，得x＝3.所以這個數(shù)是3.新課導(dǎo)入由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.因此x1＝0，x2＝3.所以這個數(shù)是0或3.如果a·b=0,那么a=0或b=0.新課講解

知識點1用因式分解法解方程議一議他們做得對嗎？為什么？你是怎么做的？

新課講解

例1

解下列方程：(1)5x2＝4x；(2)x(x－2)＝x－2.

解：(1)原方程可變形為5x2－4x＝0，

x(5x－4)＝0.

x＝0，或5x－4＝0.∴x1＝0，x2＝1

(2)原方程可變形為

x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x－1)＝0.

x－2＝0，或x－1＝0.∴x1＝2，x2＝1.原來的一元二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成了兩個一元一次方程.新課講解例2

解下列方程：

（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）

解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

（2）移項、合并同類項，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，新課講解歸納結(jié)論采用因式分解法解一元二次方程的技巧為：右化零，左分解，兩因式，各求解.2.用因式分解法解一元二次方程時，不能將“或”寫成“且”，因為降次后兩個一元一次方程并沒有同時成立，只要其中之一成立了就可以了(1)整理方程，使其右邊為0；(2)將方程左邊分解為兩個一次式的乘積；(3)令每個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；(4)分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．新課講解練一練12一元二次方程x2－4x＝12的根是(

)A．x1=2,x2=-6B．

x1=2,x2=-6

C．x1=2,x2=-6

D．

x1=2,x2=-6B一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2－7x＋10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是(

)A．12B．9C．13D．12或9A新課講解例典例分析

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)x2－2x－3＝0；(2)2x2－7x－6＝0；(3)(x－1)2－3(x－1)＝0.導(dǎo)引：方程(1)選擇配方法；方程(2)選擇公式法；

方程(3)選擇因式分解法．新課講解

知識點2用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?.解一元二次方程的方法：

直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法適合于所有一元二次方程，直接開方法適合于某些特殊方程.2．解一元二次方程的基本思路是：

將二次方程化為一次方程，即降次．3．解一元二次方程方法的選擇順序：

先特殊后一般，即先考慮直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法時，再用公式法；沒有特殊要求的，一般不用配方法．新課講解解：(1)x2－2x－3＝0，移項，得x2－2x＝3，

配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.(2)2x2－7x－6＝0，

∵a＝2，b＝－7，c＝－6，∴Δ＝b2－4ac＝97>0，(3)(x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0，∴x－1＝0或x－4＝0，∴x1＝1，x2＝4.新課講解歸納

在沒有規(guī)定方法的前提下解一元二次方程，首先考慮用因式分解法，其次考慮用公式法．對于系數(shù)較大時，一般不適宜用公式法，如果一次項系數(shù)是偶數(shù)，可選用配方法.新課講解練一練1.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ?

)A．直接開平方法

B．配方法C．公式法

D．因式分解法D課堂小結(jié)解一元二次方程方法的口訣方程沒有一次項，直接開方最理想；如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量；b，c相等都為0，等根是0不要忘；b，c同時不為0，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方．當(dāng)堂小練1.一元二次方程(x-1)(x+2)=0的解是()A.x1=1,x2=2B.x1=-1,x2=2C.x1=1,x2=-2D.x1=-1,x2=-22.一元二次方程x2-10x+21=0可以轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,正確的是()A.x-3=0,x+7=0B.x+3=0,x+7=0C.x-3=0,x-7=0D.x+3=0,x-7=0cc當(dāng)堂小練3.(6分)一元二次方程x2-2x=0的兩個根分別為x1和x2,其中x1<x2,求x21-2x22的值.解:∵x2-2x=0,∴x(x-2)=0.又∵x1<x2,∴x1=0,x2=2,∴x21-2x22=02-2×22=-8.D拓展與延伸24

由多項式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)嘗試：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，則x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4.

由多項式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)嘗試：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1.理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（重點）學(xué)習(xí)目標新課導(dǎo)入知識回顧3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？1.一元二次方程的一般形式是什么？新課導(dǎo)入思考方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不僅表示可以由方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系，一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎？新課講解

知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系合作探究從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？方程兩個根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.新課講解例典例分析

利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

(1)x2＋7x＋6＝0；(2)2x2－3x－2＝0.

解：(1)這里a＝1，b＝7，c＝6.

Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.

∴方程有兩個實數(shù)根．

設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么

x1＋x2＝－7，x1x2＝6.

(2)這里a＝2，b＝－3，c＝－2.

Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，

∴方程有兩個實數(shù)根．

設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么

x1＋x2＝，x1x2＝－1.新課講解討論結(jié)論

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項系數(shù)a未必是1，它的兩個根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：這表明任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比．新課講解例典例分析

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求

下列方程兩個根x1，x2的和與積：

（1）x2－6x－15＝0（2）3x2＋7x－9＝0；

（3）5x－1＝4x2.解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，

新課講解練一練12一元二次方程x2－2x＝0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為(

)A．－2

B．1

C．2

D．0已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個實數(shù)根，則α+

β-

α

β的值是(

)A．3B．1C．－1D．－3DB新課講解

知識點2一元二次方程的根與系數(shù)的應(yīng)用已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一根及待定字母的值．新課講解例典例分析

已知關(guān)于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一個根是2，求方程的另一個根和p的值．導(dǎo)引：已知二次項系數(shù)與一次項系數(shù)，利用兩根之和可求出另一根，再運用兩根之積求出常數(shù)項中p的值．解：

設(shè)方程的兩根為x1和x2，∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.

又∵x1x2＝

＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

新課講解練一練12若關(guān)于x的方程x2－2x＋c＝0有一根為－1，則方程的另一根為(

)A．－1B．－3C．1D．3等腰三角形三邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－