高階系統(tǒng)的單位階躍響應課件

時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，直接解出控制系統(tǒng)的時間響應。然后，依據(jù)響應的表達式及其描述曲線來分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度等，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。第三章時域分析法表達式曲線時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，3.1典型輸入信號及性能指標一個系統(tǒng)的時間響應，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而且還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外作用信號有關(guān)。為了分析和比較控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，通常對初始狀態(tài)和外作用信號做一些典型化處理。初始狀態(tài)：零狀態(tài)外作用：應盡可能簡單又能反映實際情況。3.1典型輸入信號及性能指標一個系統(tǒng)的時間響應，不僅一、典型輸入信號1．階躍函數(shù)其表達式為當a=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，則有

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為

一、典型輸入信號1．階躍函數(shù)其表達式為當a=1時，稱為2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）

其表達式為

當a=1時，r(t)=t，稱為單位速度函數(shù)，其拉氏變換為

2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）其表達式為當a=1時，r(t)=3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）

其表達式為

當a=1/2時，稱為單位加速度函數(shù)，其拉氏變換為

3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）其表達式為當a=1/2時，稱4．脈沖函數(shù)

其表達式為

單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學描述為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為

4．脈沖函數(shù)其表達式為單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學描述為5．正弦函數(shù)

其表達式為

其拉氏變換為

5．正弦函數(shù)其表達式為其拉氏變換為二、階躍響應的性能指標

分析控制系統(tǒng)時的假定條件有： ①單位負反饋 ②初始狀態(tài)為零 ③給定輸入為單位階躍函數(shù)（由假設(shè)條件知，系統(tǒng)的期望輸出為1）對控制系統(tǒng)性能的一般要求：穩(wěn)、快、準。穩(wěn)：即穩(wěn)定性，在響應曲線上的反應是有界輸入產(chǎn)生有界輸出。它是系統(tǒng)固有性質(zhì)，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與外界因素無關(guān)。二、階躍響應的性能指標分析控制系統(tǒng)時的假定條件有：對控制系由單位階躍響應曲線判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性由單位階躍響應曲線判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性0.5td①延遲時間td0.10.9tr②上升時間tr③峰值時間tptp④超調(diào)量%%⑤調(diào)節(jié)時間ts誤差帶ts⑥振蕩次數(shù)N⑦穩(wěn)態(tài)誤差ess控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應ess=1-h()過渡過程性能指標：描述快速性和平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)性能指標：描述準確性。0.5td①延遲時間td0.10.9tr②上升時間tr③峰值3.2一階系統(tǒng)分析

傳遞函數(shù)分母為一次多項式的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型

一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一階系統(tǒng)也稱為慣性環(huán)節(jié)

3.2一階系統(tǒng)分析傳遞函數(shù)分母為一次多項式的系統(tǒng)，稱二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應

單位階躍輸入的拉氏變換為

取C(s)的拉氏變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應

二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍輸入的拉氏變換為取C(則

或?qū)懗?/p>

一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線。響應曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應。css=1代表穩(wěn)態(tài)分量

代表動態(tài)分量

動態(tài)分量即在動態(tài)過程/過渡過程中出現(xiàn)的分量。

初則或?qū)懗梢浑A系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是一條由零開始，按指數(shù)一階系統(tǒng)的階躍響應①沒有超調(diào)量；②調(diào)節(jié)時間

ts=3T(5%)

ts=4T(2%)③沒有穩(wěn)態(tài)誤差，即初T越小系統(tǒng)快速性越好一階系統(tǒng)的階躍響應①沒有超調(diào)量；②調(diào)節(jié)時間③沒有穩(wěn)三、三、五．一階系統(tǒng)的單位脈沖響應五．一階系統(tǒng)的單位脈沖響應通過對不同輸入下的響應進行分析可得：②對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，若輸入信號間呈微分的關(guān)系，則其對應輸出之間也呈微分關(guān)系。微分①穩(wěn)態(tài)輸出取決于輸入。微分穩(wěn)態(tài)輸出01t通過對不同輸入下的響應進行分析可得：②對于線性定常系統(tǒng)，在零例3.1

一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間ts。如果要求ts＝0.1s，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應調(diào)整為何值？解：(1)由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)例3.1一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間從(s)的分母多項式看出時間常數(shù)T=0.1s，故調(diào)節(jié)時間(2)計算ts＝0.1s的反饋系數(shù)值設(shè)反饋系數(shù)為Kh，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)故從(s)的分母多項式看出時間常數(shù)T=0.1s，故調(diào)節(jié)時間要求ts=0.1s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時間要求ts=0.1s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時間3.3二階系統(tǒng)分析

傳遞函數(shù)分母為二次多項式的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

閉環(huán)傳遞函數(shù)一般式

其中：為阻尼系數(shù)為無阻尼自然頻率/固有頻率為系統(tǒng)特征方程，其解為系統(tǒng)特征根。（P61頁3-16式）3.3二階系統(tǒng)分析傳遞函數(shù)分母為二次多項式的系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程為

由二次方程求根公式得系統(tǒng)的特征根為

隨著取值的不同，特征根(閉環(huán)極點)在s平面上的分布有如下特點：其閉環(huán)特征方程為由二次方程求根公式得系統(tǒng)的特征根為隨著二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.過阻尼>1的情況系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根,設(shè)則穩(wěn)態(tài)分量為1，動態(tài)分量為兩項指數(shù)項。二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.過阻尼>1的情況系統(tǒng)閉環(huán)過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（不同于一階系統(tǒng)）速度為0性能指標：①無超調(diào)②無誤差③調(diào)節(jié)時間？過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（不同于一階系統(tǒng)）速度為0性經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間特性:當T1=T2(=1的臨界阻尼情況):ts=4.75T1；當T1=4T2(=1.25)時:ts≈3.3T1；當T1>4T2(>1.25)時:

ts≈3T1。過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間特性:當T1=T2(=1的臨界阻尼2.臨界阻尼=1的情況

系統(tǒng)具有兩個相等的負實根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反變換，得臨界阻尼下二階系統(tǒng)的單位階躍響應

h(t)曲線單調(diào)遞增至穩(wěn)態(tài)值，且初始速度為0.2.臨界阻尼=1的情況系統(tǒng)具有兩個相等的負實根s1,2=3.欠阻尼0<<1的情況

欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對負實部的共軛復根，時間響應呈衰減振蕩特性，故又稱為振蕩環(huán)節(jié)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

特征根為一對共軛復根3.欠阻尼0<<1的情況欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對負實部的共衰減系數(shù)d阻尼振蕩角頻率特征根為一對共軛復根

阻尼角衰減系數(shù)特征根為一對共軛復根阻尼角當輸入信號為單位階躍作用時

取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

當輸入信號為單位階躍作用時取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二或者寫成

式中

穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動態(tài)分量是一個隨時間t的增長而衰減的振蕩過程。

σ決定了瞬態(tài)分量衰減的快慢，即特征根距虛軸越遠衰減越快；ωd決定了瞬態(tài)分量震蕩的頻率，即特征根距實軸越遠震蕩越劇烈；或者寫成式中穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動態(tài)分量是一個隨時間t的欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線當

=0時，零阻尼響應為

無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為具有頻率為n的不衰減(等幅)振蕩。當=0時，零阻尼響應為無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為具二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

圖3-17和σ%的關(guān)系曲線

平穩(wěn)性：越大，σ%小，平穩(wěn)性越好。二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線圖3-17和σ%的關(guān)二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

快速性：：0→0.7，ts↓；0.7→2，ts↑；ts最短，且σ℅<5℅，故工程其稱為最佳阻尼比。二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線快速性：：0→0.7，ts二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

穩(wěn)態(tài)精度：ess=0二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線穩(wěn)態(tài)精度：ess=0三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標

1.上升時間tr三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標1.上升時間tr2.峰值時間tp：響應曲線達到第一峰值/最大值所需的時間。

令應取2.峰值時間tp：響應曲線達到第一峰值/最大值所需的時間。3.超調(diào)量σ%超調(diào)量的定義

超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。3.超調(diào)量σ%超調(diào)量的定義超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。4.調(diào)節(jié)時間ts

根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得由于上式較難求出具體解析表達式，故常采用近似計算：由此知，ts與ξωn近似成反比，即調(diào)節(jié)時間與特征根距虛軸的距離近似成反比。4.調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得由例3-2

設(shè)單位負反饋位置隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

當給定位置為單位階躍時，試計算放大器增益KA=200時，輸出位置響應特性的性能指標：峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts和超調(diào)量％。如果將放大器增益增大到KA=1500或減小到KA=13.5，那么對響應的動態(tài)性能有何影響？

例3-2設(shè)單位負反饋位置隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)解：由于系統(tǒng)是單位負反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)對照標準形式

當KA=200時，得到得到解：由于系統(tǒng)是單位負反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)對照標準形式當K故峰值時間

調(diào)節(jié)時間

超調(diào)量如果KA增大到KA=1500，同樣可計算出

則

故峰值時間 調(diào)節(jié)時間超調(diào)量如果KA增大到KA=1500當KA減小到13.5時，可以算出

系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰值和超調(diào)量不復存在，而調(diào)節(jié)時間ts等效為大時間常數(shù)T1的一階系統(tǒng)來計算，得到的值為當KA減小到13.5時，可以算出系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰不同KA時的階躍響應曲線

不同KA時的階躍響應曲線（a）原系統(tǒng)（b）增加速度負反饋（c）增加一階微分環(huán)節(jié)四、二階系統(tǒng)響應性能的改善措施（a）原系統(tǒng)（b）增加速度負反饋（c）增加一階微分環(huán)節(jié)四、二例題解析例題解析3.4高階系統(tǒng)分析

（一）高階系統(tǒng)的單位階躍響應：不妨只考慮互異的極點的情況：3.4高階系統(tǒng)分析（一）高階系統(tǒng)的單位階躍響應：不高階系統(tǒng)的單位階躍響應：上式表明，（1）高階系統(tǒng)單位階躍函數(shù)的響應由穩(wěn)態(tài)值和一系列的衰減指數(shù)曲線及衰減振蕩指數(shù)曲線組成。（2）各指數(shù)項衰減的快慢取決于si和ξkωk，即取決于特征根到虛軸的距離。離虛軸越遠衰減的越快。（3）各指數(shù)項的幅值/系數(shù)(Ai、Bk)跟閉環(huán)零極點有關(guān)。高階系統(tǒng)的單位階躍響應：上式表明，（3）各指數(shù)項的系數(shù)(AiBk)與零極點分布間的關(guān)系： ①若極點遠離虛軸，則相應系數(shù)很??； ②若某極點接近一零點，而又遠離其他極點和零點，則相應系數(shù)也很??； ③若某極點遠離零點又接近原點或其他極點，則相應系數(shù)就比較大；系數(shù)大而衰減慢的這些項將在動態(tài)響應過程中起主要作用。（3）各指數(shù)項的系數(shù)(AiBk)與零極點分布間的關(guān)系：主導極點系統(tǒng)有一個極點（一對復極點）離虛軸最近（且附近無零點存在），而其他極點與虛軸的距離是其距虛軸距離的五倍以上，則可近似認為，系統(tǒng)的動態(tài)特性由這個（這對）極點決定，其他極點引起的瞬態(tài)分量可忽略不計。則這個（這對）極點就稱為高階系統(tǒng)的主導極點。高階系統(tǒng)可利用主導極點降階為一階/二階系統(tǒng)來近似估算其性能指標。偶極子距離很近的零極點其對系統(tǒng)的影響可忽略不計，這樣的一對零極點被稱為偶極子。主導極點例如某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其單位階躍響應為：S2,3就是該系統(tǒng)的主導極點，對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應過程其主要作用。S1為非主導極點。模值之比（到原點的距離之比）：例如某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其單位階躍響應為：S2,3就是該系二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)作業(yè)P1023.2/3.3作業(yè)P1023.5系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的定義

如果系統(tǒng)在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后經(jīng)過足夠長的時間系統(tǒng)能重新恢復到原來的平衡狀態(tài)則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。3.5系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的定義如果系統(tǒng)在擾動二、穩(wěn)定性的數(shù)學條件（簡化處理）設(shè)系統(tǒng)處于全零平衡狀態(tài)，特征根均為不同實根，現(xiàn)選單位脈沖信號作為輸入信號，則系統(tǒng)輸出響可寫成：二、穩(wěn)定性的數(shù)學條件（簡化處理）設(shè)系統(tǒng)處于全即單位脈沖響應為：系統(tǒng)穩(wěn)定具有負實部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）都具有負實部，或者說特征根都嚴格位于s左半平面（虛軸左方）。即單位脈沖響應為：系統(tǒng)穩(wěn)定具有負實部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：二階系統(tǒng)：

當均大于零時，均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的充要條件（續(xù)）一階系統(tǒng)：當同號，特征根為負，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性需借助于代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：二階系統(tǒng)：當均大于零時，均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的充3．勞思(Routh)判據(jù)

若系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞思表中第一列所有元素均大于零，如果第一列出現(xiàn)小于零的元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且第一列中數(shù)值符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目。三、代數(shù)判據(jù)3．勞思(Routh)判據(jù)若系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的充

例已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實部根的數(shù)目。解：根據(jù)特征方程的系數(shù)列出勞思表：①第一列元素不同號，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。②第一列中數(shù)值符號改變兩次，所以有兩個正實部的根。0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i例已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并例如特征方程為列寫勞思表：

①用正數(shù)代替第三行第一列的0元素，繼續(xù)計算勞思表。②令0研究勞思表的第一列元素符號。③第一列元素符號:＋－＋改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定。出現(xiàn)這種情況系統(tǒng)肯定不會是穩(wěn)定的，當?shù)谝涣性責o符號改變，表明系統(tǒng)有一對純虛根；有符號改變時，表明系統(tǒng)有s右平面的根。0.7207+1.1656i0.7207-1.1656i-0.6018+1.3375i-0.6018-1.3375i-1.23784．勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

例如特征方程為列寫勞思表：①用正數(shù)代替第三行第一列的0元已知一系統(tǒng)的特征方程為

列寫勞思表：

①s1行全為零。由s2行系數(shù)構(gòu)造輔助方程

F(s)=21s2+63=0求導得用方程代替原來表中的零行，再繼續(xù)計算。

②勞思表第一列有兩次符號變化，因此有兩個實部為正的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

-3.00001.0000+2.4495i1.0000-2.4495i0.0000+1.7321i0.0000-1.7321i已知一系統(tǒng)的特征方程為列寫勞思表：①s1行全為零。由s2例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試求增益K的穩(wěn)定域。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

解：

即

例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求增益K的穩(wěn)定域。系統(tǒng)列勞斯表如下：

所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域為

0<K<14解：s3s2s1s01

4014

40K

40K列勞斯表如下：所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域為解：s31為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，常常希望系統(tǒng)特征根的位置與虛軸之間有一定的距離，該距離通常稱為穩(wěn)定度。確定系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定度a的方法：1.將s=s1-a代入原特征方程，得新的特征方程D（s1）=0。2.列s1變量方程的勞斯表，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.若s1對應系統(tǒng)穩(wěn)定，則變量s對應的系統(tǒng)具有a的穩(wěn)定度。為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，常常希望系統(tǒng)特征根的位置例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求系統(tǒng)的特征根全部位于垂線s=-1的左側(cè)，即穩(wěn)定度a=1，試問增益K的允許范圍？解：取s=s1-1代入特征方程得整理上式，得例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求系統(tǒng)的特征根全部位于垂由穩(wěn)定的充分必要條件①ai>0，則40K-27>0，得

K>0.675②a1a2-a0a3>0，則1115-(40K-27)>0,得

K<4.8所以滿足要求的K值范圍為0.675<K<4.8顯然，比系統(tǒng)原來的穩(wěn)定域0<K<14要小。由穩(wěn)定的充分必要條件①ai>0，則40K-27>0，得②a例3-8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）試求系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)增益K和阻尼比ξ的取值范圍。（2）取ξ=2，并保證系統(tǒng)極點全部位于s=-1垂線之左，使確定開環(huán)增益K的取值范圍。解：特征方程為例3-8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：特征方程為由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得又因所以開環(huán)增益K和阻尼比的取值范圍要滿足下式由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得又因所以開環(huán)增益K和阻尼比的取值范圍要（2）取ξ=2時，系統(tǒng)特征方程為：將s=s1-1代入上式得由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得故K的取值范圍為（2）取ξ=2時，系統(tǒng)特征方程為：將s=s1-1代入上式得由▲穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的性能指標，用以度量系統(tǒng)的控制精度，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義?！穹€(wěn)態(tài)誤差的定義：（1）從輸入端定義：（2）從輸出端定義：●二者之間的關(guān)系：即●穩(wěn)態(tài)誤差的分類：系統(tǒng)給定誤差、系統(tǒng)擾動誤差。單位反饋時，二者相等3.6穩(wěn)態(tài)精度分析

E(s)▲穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的性能指標，用以度量系統(tǒng)的控制精度，穩(wěn)態(tài)誤差計算的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性（2）求E(s)（3）利用終值定理求取ess.（終值定理應用條件：sE(s)所有極點位于s左半平面，包括原點）。

二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算

穩(wěn)態(tài)誤差計算的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性二、穩(wěn)態(tài)誤差的E(s)可將E(s)寫成

ER(s)為輸入信號引起的誤差信號；

EN(s)為干擾引起的誤差信號。

E(s)可將E(s)寫成ER(s)為輸入信號引起的誤差信號例3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。當輸入信號r(t)=t時，求系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess。

解：穩(wěn)定的系統(tǒng),計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。

第一步，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

例3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。當輸入信號r(t)=t時，求即(1)各項系數(shù)大于零，則K>0。

(2)由得

K<6所以穩(wěn)定性條件為 0<K<6第二步，求E(s)。

由穩(wěn)定性判據(jù)

E(s)即(1)各項系數(shù)大于零，則K>0。(2)由得 輸入信號r(t)=t，所以

則

第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差ess。

(0<K<6)輸入信號r(t)=t，所以則第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當輸入信號r(t)=1(t)，干擾n(t)=1(t)時，求系統(tǒng)總的誤差ess。解：第一步，判別穩(wěn)定性。

系統(tǒng)特征方程為：只要參數(shù)K1、K2大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當輸入信號r(t)=1(t)在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同作用下，系統(tǒng)總的誤差信號為第二步，求E(s)。

R(s)對應的誤差閉環(huán)傳函為：N(s)對應的誤差閉環(huán)傳函為：在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同作用下，系統(tǒng)總第三步，應用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差ess。

第三步，應用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差ess。三、輸入信號r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系

當只有輸入作用時，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為

系統(tǒng)的誤差信號為

三、輸入信號r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系當只有將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式

式中K為開環(huán)增益；為積分環(huán)節(jié)數(shù)目。

則穩(wěn)態(tài)誤差信號為系統(tǒng)根據(jù)開環(huán)傳函含有積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v定義系統(tǒng)的型別。v=0稱為0型系統(tǒng)，v=1稱為I型系統(tǒng)，……將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式式中K為開環(huán)增益；則

由于G(s)H(s)當s趨于零時的極限為K/s

，所以

上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess除了與外作用R(s)有關(guān)外，還與系統(tǒng)的開環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)數(shù)目（系統(tǒng)型別）有關(guān)。

則由于G(s)H(s)當s趨于零時的極限為K/s，所以下面分別討論不同輸入信號r(t)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。1．當輸入信號為階躍作用r(t)=r0·1(t)時，（r0為表示階躍量大小的常數(shù)），則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：下面分別討論不同輸入信號r(t)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：Kp被稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，在求給定輸入為階躍信號時的穩(wěn)態(tài)誤差時，可用上述兩個公式直接求解。令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：Kp被稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對一個2．當輸入信號為斜坡作用r(t)=0t·1(t)時，（

0表示輸入信號的速度），則

穩(wěn)態(tài)誤差令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：2．當輸入信號為斜坡作用r(t)=0t·1(t)時，（3.當輸入信號為等加速度作用r(t)=a0t2/2

·1(t)時，(a

0為加速度)，則

穩(wěn)態(tài)誤差令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：3.當輸入信號為等加速度作用r(t)=a0t2/2·1(t典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)型別

靜態(tài)誤差系數(shù)

階躍輸入

斜坡輸入

加速度輸入

KpKKa1.系統(tǒng)的型別越高，跟蹤典型輸入信號的無差能力越強。2.Kp，Kv，Ka的取值只有三種：0，∞和K。3.Kp，Kv，Ka越大，ess越小，故Kp，Kv，Ka可以表征系統(tǒng)的控制精度。4.ess的取值也只有三種：∞，0和有限值。5.提高控制精度的方法：增加K或v。典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸例3-11

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號r(t)=1(t)+t+t2/2，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(誤差定義為e=r-c)。

解：第一步，判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)特征方程為：

系統(tǒng)穩(wěn)定

例3-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號r(t)=1(t系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差信號為第二步，求誤差信號。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差信號為第二步，求誤差信號。輸入信號為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為第三步，求穩(wěn)態(tài)誤差。輸入信號為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為第三步，求穩(wěn)態(tài)誤差。例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號r(t)=1(t)+t+t2/2，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(誤差定義為

e=r-c)。

解：第一步，判別穩(wěn)定性。（略）例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號r(t)=1(t)+t+第二步，利用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差。

系統(tǒng)等效開環(huán)傳函為

第二步，利用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)等效開環(huán)傳函為系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為

故輸入信號為r(t)=1(t)+t+t2/2時的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為故輸入信號為r(t)=1(t)+t+t2五、干擾n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)E(s)n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差與G1(s)H(s)有關(guān)，其關(guān)系等同于r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差與GK(s)間的關(guān)系。五、干擾n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系G1(s)圖3-37例3-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

求干擾n(t)=1(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

圖3-37例3-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求干擾n(t)=1(t)六、改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法

1.按干擾補償

輸出c(t)對干擾n(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

六、改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法1.按干擾補償輸出c(t)對若能使CN(s)為零，則干擾對輸出的影響就可消除。

由分子為零，即得對干擾全補償?shù)臈l件為若能使CN(s)為零，則干擾對輸出的影響就可消除。由分2.按指令信號補償

2.按指令信號補償作業(yè)P1033.7(b)3.83.9(1)3.103.13(b)作業(yè)P103本章小結(jié)1.典型輸入信號；2.一階或二階系統(tǒng)單位階躍響應下性能指標的計算；3.高階系統(tǒng)中主導極點和偶極子的概念；4.系統(tǒng)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)；5.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算。本章小結(jié)1.典型輸入信號；時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，直接解出控制系統(tǒng)的時間響應。然后，依據(jù)響應的表達式及其描述曲線來分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度等，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。第三章時域分析法表達式曲線時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，3.1典型輸入信號及性能指標一個系統(tǒng)的時間響應，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而且還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外作用信號有關(guān)。為了分析和比較控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，通常對初始狀態(tài)和外作用信號做一些典型化處理。初始狀態(tài)：零狀態(tài)外作用：應盡可能簡單又能反映實際情況。3.1典型輸入信號及性能指標一個系統(tǒng)的時間響應，不僅一、典型輸入信號1．階躍函數(shù)其表達式為當a=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，則有

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為

一、典型輸入信號1．階躍函數(shù)其表達式為當a=1時，稱為2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）

其表達式為

當a=1時，r(t)=t，稱為單位速度函數(shù)，其拉氏變換為

2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）其表達式為當a=1時，r(t)=3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）

其表達式為

當a=1/2時，稱為單位加速度函數(shù)，其拉氏變換為

3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）其表達式為當a=1/2時，稱4．脈沖函數(shù)

其表達式為

單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學描述為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為

4．脈沖函數(shù)其表達式為單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學描述為5．正弦函數(shù)

其表達式為

其拉氏變換為

5．正弦函數(shù)其表達式為其拉氏變換為二、階躍響應的性能指標

分析控制系統(tǒng)時的假定條件有： ①單位負反饋 ②初始狀態(tài)為零 ③給定輸入為單位階躍函數(shù)（由假設(shè)條件知，系統(tǒng)的期望輸出為1）對控制系統(tǒng)性能的一般要求：穩(wěn)、快、準。穩(wěn)：即穩(wěn)定性，在響應曲線上的反應是有界輸入產(chǎn)生有界輸出。它是系統(tǒng)固有性質(zhì)，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與外界因素無關(guān)。二、階躍響應的性能指標分析控制系統(tǒng)時的假定條件有：對控制系由單位階躍響應曲線判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性由單位階躍響應曲線判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性0.5td①延遲時間td0.10.9tr②上升時間tr③峰值時間tptp④超調(diào)量%%⑤調(diào)節(jié)時間ts誤差帶ts⑥振蕩次數(shù)N⑦穩(wěn)態(tài)誤差ess控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應ess=1-h()過渡過程性能指標：描述快速性和平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)性能指標：描述準確性。0.5td①延遲時間td0.10.9tr②上升時間tr③峰值3.2一階系統(tǒng)分析

傳遞函數(shù)分母為一次多項式的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型

一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一階系統(tǒng)也稱為慣性環(huán)節(jié)

3.2一階系統(tǒng)分析傳遞函數(shù)分母為一次多項式的系統(tǒng)，稱二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應

單位階躍輸入的拉氏變換為

取C(s)的拉氏變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應

二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍輸入的拉氏變換為取C(則

或?qū)懗?/p>

一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線。響應曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應。css=1代表穩(wěn)態(tài)分量

代表動態(tài)分量

動態(tài)分量即在動態(tài)過程/過渡過程中出現(xiàn)的分量。

初則或?qū)懗梢浑A系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是一條由零開始，按指數(shù)一階系統(tǒng)的階躍響應①沒有超調(diào)量；②調(diào)節(jié)時間

ts=3T(5%)

ts=4T(2%)③沒有穩(wěn)態(tài)誤差，即初T越小系統(tǒng)快速性越好一階系統(tǒng)的階躍響應①沒有超調(diào)量；②調(diào)節(jié)時間③沒有穩(wěn)三、三、五．一階系統(tǒng)的單位脈沖響應五．一階系統(tǒng)的單位脈沖響應通過對不同輸入下的響應進行分析可得：②對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，若輸入信號間呈微分的關(guān)系，則其對應輸出之間也呈微分關(guān)系。微分①穩(wěn)態(tài)輸出取決于輸入。微分穩(wěn)態(tài)輸出01t通過對不同輸入下的響應進行分析可得：②對于線性定常系統(tǒng)，在零例3.1

一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間ts。如果要求ts＝0.1s，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應調(diào)整為何值？解：(1)由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)例3.1一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間從(s)的分母多項式看出時間常數(shù)T=0.1s，故調(diào)節(jié)時間(2)計算ts＝0.1s的反饋系數(shù)值設(shè)反饋系數(shù)為Kh，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)故從(s)的分母多項式看出時間常數(shù)T=0.1s，故調(diào)節(jié)時間要求ts=0.1s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時間要求ts=0.1s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時間3.3二階系統(tǒng)分析

傳遞函數(shù)分母為二次多項式的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

閉環(huán)傳遞函數(shù)一般式

其中：為阻尼系數(shù)為無阻尼自然頻率/固有頻率為系統(tǒng)特征方程，其解為系統(tǒng)特征根。（P61頁3-16式）3.3二階系統(tǒng)分析傳遞函數(shù)分母為二次多項式的系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程為

由二次方程求根公式得系統(tǒng)的特征根為

隨著取值的不同，特征根(閉環(huán)極點)在s平面上的分布有如下特點：其閉環(huán)特征方程為由二次方程求根公式得系統(tǒng)的特征根為隨著二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.過阻尼>1的情況系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根,設(shè)則穩(wěn)態(tài)分量為1，動態(tài)分量為兩項指數(shù)項。二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.過阻尼>1的情況系統(tǒng)閉環(huán)過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（不同于一階系統(tǒng)）速度為0性能指標：①無超調(diào)②無誤差③調(diào)節(jié)時間？過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（不同于一階系統(tǒng)）速度為0性經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間特性:當T1=T2(=1的臨界阻尼情況):ts=4.75T1；當T1=4T2(=1.25)時:ts≈3.3T1；當T1>4T2(>1.25)時:

ts≈3T1。過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間特性:當T1=T2(=1的臨界阻尼2.臨界阻尼=1的情況

系統(tǒng)具有兩個相等的負實根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反變換，得臨界阻尼下二階系統(tǒng)的單位階躍響應

h(t)曲線單調(diào)遞增至穩(wěn)態(tài)值，且初始速度為0.2.臨界阻尼=1的情況系統(tǒng)具有兩個相等的負實根s1,2=3.欠阻尼0<<1的情況

欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對負實部的共軛復根，時間響應呈衰減振蕩特性，故又稱為振蕩環(huán)節(jié)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

特征根為一對共軛復根3.欠阻尼0<<1的情況欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對負實部的共衰減系數(shù)d阻尼振蕩角頻率特征根為一對共軛復根

阻尼角衰減系數(shù)特征根為一對共軛復根阻尼角當輸入信號為單位階躍作用時

取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

當輸入信號為單位階躍作用時取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二或者寫成

式中

穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動態(tài)分量是一個隨時間t的增長而衰減的振蕩過程。

σ決定了瞬態(tài)分量衰減的快慢，即特征根距虛軸越遠衰減越快；ωd決定了瞬態(tài)分量震蕩的頻率，即特征根距實軸越遠震蕩越劇烈；或者寫成式中穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動態(tài)分量是一個隨時間t的欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線當

=0時，零阻尼響應為

無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為具有頻率為n的不衰減(等幅)振蕩。當=0時，零阻尼響應為無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為具二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

圖3-17和σ%的關(guān)系曲線

平穩(wěn)性：越大，σ%小，平穩(wěn)性越好。二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線圖3-17和σ%的關(guān)二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

快速性：：0→0.7，ts↓；0.7→2，ts↑；ts最短，且σ℅<5℅，故工程其稱為最佳阻尼比。二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線快速性：：0→0.7，ts二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線

穩(wěn)態(tài)精度：ess=0二階系統(tǒng)單位階躍響應的通用曲線穩(wěn)態(tài)精度：ess=0三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標

1.上升時間tr三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應性能指標1.上升時間tr2.峰值時間tp：響應曲線達到第一峰值/最大值所需的時間。

令應取2.峰值時間tp：響應曲線達到第一峰值/最大值所需的時間。3.超調(diào)量σ%超調(diào)量的定義

超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。3.超調(diào)量σ%超調(diào)量的定義超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。4.調(diào)節(jié)時間ts

根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得由于上式較難求出具體解析表達式，故常采用近似計算：由此知，ts與ξωn近似成反比，即調(diào)節(jié)時間與特征根距虛軸的距離近似成反比。4.調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義得由例3-2

設(shè)單位負反饋位置隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

當給定位置為單位階躍時，試計算放大器增益KA=200時，輸出位置響應特性的性能指標：峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts和超調(diào)量％。如果將放大器增益增大到KA=1500或減小到KA=13.5，那么對響應的動態(tài)性能有何影響？

例3-2設(shè)單位負反饋位置隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)解：由于系統(tǒng)是單位負反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)對照標準形式

當KA=200時，得到得到解：由于系統(tǒng)是單位負反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)對照標準形式當K故峰值時間

調(diào)節(jié)時間

超調(diào)量如果KA增大到KA=1500，同樣可計算出

則

故峰值時間 調(diào)節(jié)時間超調(diào)量如果KA增大到KA=1500當KA減小到13.5時，可以算出

系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰值和超調(diào)量不復存在，而調(diào)節(jié)時間ts等效為大時間常數(shù)T1的一階系統(tǒng)來計算，得到的值為當KA減小到13.5時，可以算出系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰不同KA時的階躍響應曲線

不同KA時的階躍響應曲線（a）原系統(tǒng)（b）增加速度負反饋（c）增加一階微分環(huán)節(jié)四、二階系統(tǒng)響應性能的改善措施（a）原系統(tǒng)（b）增加速度負反饋（c）增加一階微分環(huán)節(jié)四、二例題解析例題解析3.4高階系統(tǒng)分析

（一）高階系統(tǒng)的單位階躍響應：不妨只考慮互異的極點的情況：3.4高階系統(tǒng)分析（一）高階系統(tǒng)的單位階躍響應：不高階系統(tǒng)的單位階躍響應：上式表明，（1）高階系統(tǒng)單位階躍函數(shù)的響應由穩(wěn)態(tài)值和一系列的衰減指數(shù)曲線及衰減振蕩指數(shù)曲線組成。（2）各指數(shù)項衰減的快慢取決于si和ξkωk，即取決于特征根到虛軸的距離。離虛軸越遠衰減的越快。（3）各指數(shù)項的幅值/系數(shù)(Ai、Bk)跟閉環(huán)零極點有關(guān)。高階系統(tǒng)的單位階躍響應：上式表明，（3）各指數(shù)項的系數(shù)(AiBk)與零極點分布間的關(guān)系： ①若極點遠離虛軸，則相應系數(shù)很小； ②若某極點接近一零點，而又遠離其他極點和零點，則相應系數(shù)也很小； ③若某極點遠離零點又接近原點或其他極點，則相應系數(shù)就比較大；系數(shù)大而衰減慢的這些項將在動態(tài)響應過程中起主要作用。（3）各指數(shù)項的系數(shù)(AiBk)與零極點分布間的關(guān)系：主導極點系統(tǒng)有一個極點（一對復極點）離虛軸最近（且附近無零點存在），而其他極點與虛軸的距離是其距虛軸距離的五倍以上，則可近似認為，系統(tǒng)的動態(tài)特性由這個（這對）極點決定，其他極點引起的瞬態(tài)分量可忽略不計。則這個（這對）極點就稱為高階系統(tǒng)的主導極點。高階系統(tǒng)可利用主導極點降階為一階/二階系統(tǒng)來近似估算其性能指標。偶極子距離很近的零極點其對系統(tǒng)的影響可忽略不計，這樣的一對零極點被稱為偶極子。主導極點例如某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其單位階躍響應為：S2,3就是該系統(tǒng)的主導極點，對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應過程其主要作用。S1為非主導極點。模值之比（到原點的距離之比）：例如某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其單位階躍響應為：S2,3就是該系二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)作業(yè)P1023.2/3.3作業(yè)P1023.5系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的定義

如果系統(tǒng)在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后經(jīng)過足夠長的時間系統(tǒng)能重新恢復到原來的平衡狀態(tài)則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。3.5系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的定義如果系統(tǒng)在擾動二、穩(wěn)定性的數(shù)學條件（簡化處理）設(shè)系統(tǒng)處于全零平衡狀態(tài)，特征根均為不同實根，現(xiàn)選單位脈沖信號作為輸入信號，則系統(tǒng)輸出響可寫成：二、穩(wěn)定性的數(shù)學條件（簡化處理）設(shè)系統(tǒng)處于全即單位脈沖響應為：系統(tǒng)穩(wěn)定具有負實部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）都具有負實部，或者說特征根都嚴格位于s左半平面（虛軸左方）。即單位脈沖響應為：系統(tǒng)穩(wěn)定具有負實部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：二階系統(tǒng)：

當均大于零時，均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的充要條件（續(xù)）一階系統(tǒng)：當同號，特征根為負，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性需借助于代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：二階系統(tǒng)：當均大于零時，均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的充3．勞思(Routh)判據(jù)

若系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞思表中第一列所有元素均大于零，如果第一列出現(xiàn)小于零的元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且第一列中數(shù)值符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目。三、代數(shù)判據(jù)3．勞思(Routh)判據(jù)若系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的充

例已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實部根的數(shù)目。解：根據(jù)特征方程的系數(shù)列出勞思表：①第一列元素不同號，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。②第一列中數(shù)值符號改變兩次，所以有兩個正實部的根。0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i例已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并例如特征方程為列寫勞思表：

①用正數(shù)代替第三行第一列的0元素，繼續(xù)計算勞思表。②令0研究勞思表的第一列元素符號。③第一列元素符號:＋－＋改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定。出現(xiàn)這種情況系統(tǒng)肯定不會是穩(wěn)定的，當?shù)谝涣性責o符號改變，表明系統(tǒng)有一對純虛根；有符號改變時，表明系統(tǒng)有s右平面的根。0.7207+1.1656i0.7207-1.1656i-0.6018+1.3375i-0.6018-1.3375i-1.23784．勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

例如特征方程為列寫勞思表：①用正數(shù)代替第三行第一列的0元已知一系統(tǒng)的特征方程為

列寫勞思表：

①s1行全為零。由s2行系數(shù)構(gòu)造輔助方程

F(s)=21s2+63=0求導得用方程代替原來表中的零行，再繼續(xù)計算。

②勞思表第一列有兩次符號變化，因此有兩個實部為正的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

-3.00001.0000+2.4495i1.0000-2.4495i0.0000+1.7321i0.0000-1.7321i已知一系統(tǒng)的特征方程為列寫勞思表：①s1行全為零。由s2例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試求增益K的穩(wěn)定域。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

解：

即

例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求增益K的穩(wěn)定域。系統(tǒng)列勞斯表如下：

所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域為

0<K<14解：s3s2s1s01

4014

40K

40K列勞斯表如下：所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域為解：s31為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，常常希望系統(tǒng)特征根的位置與虛軸之間有一定的距離，該距離通常稱為穩(wěn)定度。確定系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定度a的方法：1.將s=s1-a代入原特征方程，得新的特征方程D（s1）=0。2.列s1變量方程的勞斯表，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.若s1對應系統(tǒng)穩(wěn)定，則變量s對應的系統(tǒng)具有a的穩(wěn)定度。為了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，常常希望系統(tǒng)特征根的位置例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求系統(tǒng)的特征根全部位于垂線s=-1的左側(cè)，即穩(wěn)定度a=1，試問增益K的允許范圍？解：取s=s1-1代入特征方程得整理上式，得例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求系統(tǒng)的特征根全部位于垂由穩(wěn)定的充分必要條件①ai>0，則40K-27>0，得

K>0.675②a1a2-a0a3>0，則1115-(40K-27)>0,得

K<4.8所以滿足要求的K值范圍為0.675<K<4.8顯然，比系統(tǒng)原來的穩(wěn)定域0<K<14要小。由穩(wěn)定的充分必要條件①ai>0，則40K-27>0，得②a例3-8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）試求系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)增益K和阻尼比ξ的取值范圍。（2）取ξ=2，并保證系統(tǒng)極點全部位于s=-1垂線之左，使確定開環(huán)增益K的取值范圍。解：特征方程為例3-8已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：特征方程為由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得又因所以開環(huán)增益K和阻尼比的取值范圍要滿足下式由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得又因所以開環(huán)增益K和阻尼比的取值范圍要（2）取ξ=2時，系統(tǒng)特征方程為：將s=s1-1代入上式得由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件得故K的取值范圍為（2）取ξ=2時，系統(tǒng)特征方程為：將s=s1-1代入上式得由▲穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的性能指標，用以度量系統(tǒng)的控制精度，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義?！穹€(wěn)態(tài)誤差的定義：（1）從輸入端定義：（2）從輸出端定義：●二者之間的關(guān)系：即●穩(wěn)態(tài)誤差的分類：系統(tǒng)給定誤差、系統(tǒng)擾動誤差。單位反饋時，二者相等3.6穩(wěn)態(tài)精度分析

E(s)▲穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的性能指標，用以度量系統(tǒng)的控制精度，穩(wěn)態(tài)誤差計算的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性（2）求E(s)（3）利用終值定理求取ess.（終值定理應用條件：sE(s)所有極點位于s左半平面，包括原點）。

二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算

穩(wěn)態(tài)誤差計算的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性二、穩(wěn)態(tài)誤差的E(s)可將E(s)寫成

ER(s)為輸入信號引起的誤差信號；

EN(s)為干擾引起的誤差信號。

E(s)可將E(s)寫成ER(s)為輸入信號引起的誤差信號例3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。當輸入信號r(t)=t時，求系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess。

解：穩(wěn)定的系統(tǒng),計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。

第一步，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

例3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。當輸入信號r(t)=t時，求即(1)各項系數(shù)大于零，則K>0。

(2)由得

K<6所以穩(wěn)定性條件為 0<K<6第二步，求E(s)。

由穩(wěn)定性判據(jù)

E(s)即(1)各項系數(shù)大于零，則K>0。(2)由得 輸入信號r(t)=t，所以

則

第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差ess。

(0<K<6)輸入信號r(t)=t，所以則第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當輸入信號r(t)=1(t)，干擾n(t)=1(t)時，求系統(tǒng)總的誤差ess。解：第一步，判別穩(wěn)定性。

系統(tǒng)特征方程為：只要參數(shù)K1、K2大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當輸入信號r(t)=1(t)在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同作用下，系統(tǒng)總的誤差信號為第二步，求E(s)。

R(s)對應的誤差閉環(huán)傳函為：N(s)對應的誤差閉環(huán)傳函為：在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同