高階偏導(dǎo)數(shù)課件

第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要講兩個(gè)問題：一、什么是高階偏導(dǎo)數(shù)二、在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要講兩個(gè)問題：一、什么是高階偏導(dǎo)數(shù)1多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一2即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱為高階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)3二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二階偏導(dǎo)數(shù).二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二4二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項(xiàng)二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共225二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)6二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).7例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解8例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時(shí),例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等9當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),10顯然顯然11問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù),則這樣以來,如果二元函數(shù)對求次,對求次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對自變量求偏導(dǎo)時(shí)可不分順序,它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類似.問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù)12例2設(shè)求解例2設(shè)求解13例3所確定的函數(shù)求解則故例3所確定的函數(shù)求解則故14第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件15例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍為抽象復(fù)合函數(shù).例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高16例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),17令則令則18例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解19例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記20例7設(shè)求解例7設(shè)求解21第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件22例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由23第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件24將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得25例9設(shè)求解例9設(shè)求解26第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件27例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則28例11設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解記則例11設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解記則29第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件30小結(jié)：一、二階以及二階以上的稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、若和在點(diǎn)處連續(xù),則小結(jié)：一、二階以及二階以上的稱為高階二、若和在點(diǎn)31第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要講兩個(gè)問題：一、什么是高階偏導(dǎo)數(shù)二、在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要講兩個(gè)問題：一、什么是高階偏導(dǎo)數(shù)32多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一33即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱為高階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)34二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二階偏導(dǎo)數(shù).二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二35二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項(xiàng)二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共2236二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)37二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).38例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解39例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時(shí),例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等40當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),41顯然顯然42問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù),則這樣以來,如果二元函數(shù)對求次,對求次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對自變量求偏導(dǎo)時(shí)可不分順序,它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類似.問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù)43例2設(shè)求解例2設(shè)求解44例3所確定的函數(shù)求解則故例3所確定的函數(shù)求解則故45第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件46例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍為抽象復(fù)合函數(shù).例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高47例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),48令則令則49例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解50例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記51例7設(shè)求解例7設(shè)求解52第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件53例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由54第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件55將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得56例9設(shè)求解例9設(shè)求解57第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)課件58例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則59例11