初二數學第2與三角形有關講義教師版

掌握三角形的內角及內角和、外角及外角和的性質，并能夠進行相關的計算掌握直角三角形的各個角的特點，并能夠進行相關的角度計算掌握折疊的規(guī)律，并能夠在幾何計算中熟練應用會根據角的特點判斷三角形的形狀三角形中，角的度數的綜合計算問題幾何找規(guī)律問題的理解三角形的內角及其內角和1、三角形內角的概三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0且小于180．2、三角形內角和定理：三角形內角和是3、三角形內角和定理的證4、三角形內角和定理的應用：主要用在求三角形中角的度數直接根據兩已知角求第三個角依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角例1.如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，則∠C等于 【答案】【解析】解：由三角形內角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，故選練習1.已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，則 【答案】【解析】解：由∠B－∠C＝40°得根據三角形內角和是180，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40＋∠C＋∠C＝180，把∠A＝40代入，求得∠C＝50，進而求得∠B＝90練習2.在△ABC中，∠A+∠B=134°，∠B+∠C=136°，則△ABC的形狀是 【答案】【解析】解：∵在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°②，①﹣②得，∠B=90°，∴△ABC的形狀是直角三角形，故選已知一個三角形其中某兩個角或者某一個角及其另外兩個角的關系即可利用三角形內角和等于80°求解各個角的具體度數，其思想是三角形內角和等于180°為求解角度提供了一個等量關系. A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．等腰直角三角【答案】【解析】解：設三角形的三個內角的度數之比 x、2x、x+2x+3x=180°，解得，x=30°∴這個三角形一定是直角三角形練習1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度數之比為2：3：4，則∠B的度數為 【答案】【解析】解∴設∴2x+3x+4x=180°，解得∴∠B的度數為：60°．故選練習2.如果三角形的三個內角的度數比是2：3：4，則它是 A．銳角三角 B．鈍角三角 C．直角三角形D．鈍角或直角三角【答案】【解析】解：設三個內角分別為2k、3k、4k，則2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角為4×20°=80°，所以，三角形是銳角三角形．故選已知三角形三個內角之間的比例關系，即可設出三個內角的度數（用未知數表示），體現了“見比設參”的思想，再利用三角形內角和等于180°，即可解出相應的未知數，從而求出各 D．三角形的內角都大于60°【答案】【解析】解：A、直角三角形中有兩個銳角，故本選誤C、三角形的內角中最多有一個直角，故本選項正確D、若三角形的內角都大于60°，則三個內角的和大于180°，這樣的三角形不存在，故本練習1.任何一個三角形的三個內角中至少有 A．一個角大于 B．兩個銳 C．一個鈍 D．一個直【答案】【解析】解：根據三角形的內角和是180°，知：三個內角可以都是60°，排除A；三個內角可以都是銳角，排除C和D；三角形的三個內角中至少有兩個銳角，不可能有兩個鈍角或兩個直角．故B．三角形的外角及其外角和1、三角形外角的定三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．在計算三角形外角和時，只計算其中的三個，即每個頂點取一個.2、三角形的外角性三角形的外角和為三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角3、若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質（2）將它們轉化到一個三角形中去 D．以上都【答案】A錯誤，∠ADB+∠ADE=180，無法判斷其大小關系；B錯誤，∠ADB=∠1+∠2+∠3；C正確，∵∠ADB=∠1+∠2+∠3，∠ADB＞∠1+∠2；D錯誤．故C．練習1.下列圖形中一定能說明∠1＞∠2的是 ．A．B．C．【答案】【解析】解：A中∠1=∠2，故錯誤；B中∠1和∠2的關系不能確定，故錯誤；C∠2，故正確；D中∠1和∠2的關系不能確定，故錯誤；故選練習2.已知∠2是△ABC的一個外角，那么∠2與∠B+∠1的大小關系是 D．無法確【答案】【解析】解：∵∠2＞∠ADC，∠ADC=∠B+∠1，∴∠2＞∠B+∠1，故 例2.知，如圖，△ABC中，∠B=∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關系是 D．不能確【答案】【解析】解：由三角形的外角性質∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠ADC．故 練習1.如圖在△ABC中∠A=80°．點D是BC延長線上一點，∠ACD=150°，則 【答案】【解析】解：由三角形的外角的性質可知，∠B=∠ACD﹣∠A=70°，故選練習2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=140°，延長BC至點D，則∠ACD等于 【答案】【解析】解：∵AB=AC，∠A=140°，∴∠B=∠ACB=∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣20°=160°．故選例3.如果三角形三個外角度數之比是3：4：5，則此三角形一定是 A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．不能確【答案】【解析】解：∵三角形三個外角度數之比是設三個外角分別是α，β，γ，則α=360°×∴此三角形一定是直角三角形．故選練習1.如果一個三角形的三個外角的度數之比是2：3：4，那么與之對應的三個內角的度之比是 【答案】【解析】解：設三個外角的度數分別是由題意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，則故三個內角分別為：100°，60°，20°100°：60°：20°=5：3：1，故選：D．練2.如圖所示：∠1=110°，∠2=125°，那么∠3=（） 【答案】【解析】解：根據三角形的外角和可得，∠3的鄰補角等于125°，所以∠3=55°，故選在三角形的角度計算中，如果涉及到的外角比較多時，常會考慮用“三角形的外360°”這一性質直角三角形的性質1、有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形2、在直角三角形中，兩個銳角互余注：在進行角度的計算時，直角三角形銳角互余的性質也是一個常用的倒角方法.反之，我們也常用“兩銳角互余”的性質來判定一個三角形是否是直角三角形.345453060°，在三角板中的角度計算類問題中要將以上度數當成已知度數來使用.例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，則∠A的度數為 A．80°B．70°C．60°【答案】【解析】解又∠A﹣∠B=70°，∴∠A=（90°+70°）=80°．故選1.AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交H點，∠C=50°【答案】解：∵AD是△ABC的高垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數是（ A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【解析】解：∵AD是斜邊BC上的高∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個數是3，故選③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C，能確定△ABC為直角三角 A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【解析】解：①、 是直角三角形，故小題正確④∵設∠C=x，則∠A=∠B=2x，∴2x+2x+x=180°，解 x=36°，∴2x=72°，故本小題錯誤綜上所述，是直角三角形的是①②③共3個．故選 B．∠A+∠B=∠C 【答案】【解析】解：A、∴∠A=∠B=72°，∠C=36°，∴此時 為銳角三角形B∴∠C=90°，∴此時 為直角三角形C∴∠A=18°，∠B=72°，∠C=90°，∴此時 為直角三角形D、∴∠C=90°，∴此時△ABC為直角三角形．故選A．判斷一個三角形是不是直角三角形的方法很多，就現學的知識而言，主要有：（1）兩個內角之和為90°；（2）其中兩個內角的和等于第三個內角；（3）其中某一個角等于90°；三個內角的比例關系中，兩個內角比例之和等于第三個內角所占的比例等 3.將一副三角尺按如圖所示的方式疊放（兩條直角邊重合），則∠α的度數 【答案】【解析】解∴∠DEB=∠D+∠DAE=45°+30°=75°，即∠α的度數 75°．故答案為練 1.一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數是 【答案】【解析】解：給圖中標上∠1、∠2，如圖所示又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故選練習2.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的條直角邊重合，則∠1的度數為 【答案】【解析】解：∵∠2=90°﹣45°=45°（直角三角形兩銳角互余∴∠3=∠2=45°，∴∠1=∠3+30°=45°+30°=75°．故 目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同時兩個三角板的四個銳角的度數是固定的，分別為：45453060°，在三角板中的角度計算類問題中要將以上度數當成已知度數來使用.三角形倒角計算綜合.通過倒角，可以計算角的度數，從而判斷三角形的形狀例1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是 A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．正三角【答案】【解析】解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=∴三角形△ABC是銳角三角形．故選練習1.若一個三角形三個內角度數的比為2：7：4，那么這個三角形是 A．直角三角 B．銳角三角 C．鈍角三角 D．等邊三角【答案】【解析】解：依題意，設三角形的三個內角分別為∴這個三角形是鈍角三角形．故選：練 2.三角形的外角大于和它相鄰的這個內角，這個三角形為 A．銳角三角 B．鈍角三角 C．直角三角 D．無法確【答案】按照角度的大小來分類，三角形分為：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種類型.要判（）即可. 之間有一種數量關系始終保持不變．請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現的規(guī)律是 【答案】【解析】解理由：∵在四ADA′E中則2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2練習1.如圖，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一點．將△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ 【答案】【解析】解由折疊的性質∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故選練習2.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=110°，則∠1+∠2的度數為（ 【答案】【解析】解：連接∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故 例3.如圖，在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則 【答案】【解析】解：∵在△ABC中 中，∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=118°，故選 A．B． 【答案】【解析】解∵∠B，∠C的平分線相交于點∴∠PBC+∠PCB=∴∠BPC=180°﹣ x°，故選于點F，則∠CDF的度數為（ 0°B．80°C．85°【答案】【解析】解∴∠ACE=∵CD⊥AB∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCE=80°．故選④∠BDC=∠BAC．其中正確的結論有 B．2個C．3個D．4【答案】【解析】解：①∵AD平分△ABC的外∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正確②由（1）可知∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正確∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°﹣∠ABD，故③正確④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，∴∠BAC+∠ABC=∵∠BDC+∠DBC=∠ACF，∴∠BAC+誤．故選C．的知識有：角平分線的性質、兩直線平行的性質、三角形內角和、三角形的外角的性質、三角形的外角和、互余與互補、對頂角的性質等與角的大小相關的性質及定理.較難的題型會涉及到多個知識的結合考查，需要在平時的練習中逐步建立幾何分析能力.例4.如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得A2017，則 【答案【解析解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1= 練習1.（1）如圖1，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點，若∠A=α，∠BOC=90°+；如 2，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則（用α表示（2）如圖3，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC= 【答案】 120°﹣【解析】解：（1）如圖2，在△OBC中∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+（2）如圖③，在△OBC中∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣故答案為：120°+α；120°﹣練習2.如圖在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與