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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知函數(shù),以下結論正確的個數(shù)為()①當時,函數(shù)的圖象的對稱中心為;②當時,函數(shù)在上為單調遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調,則;④當時,在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.43.已知等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.4.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.5.若復數(shù)(是虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.設雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.7.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.78.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.9.已知是等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.2010.若復數(shù)(為虛數(shù)單位)的實部與虛部相等,則的值為()A. B. C. D.11.已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或12.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調遞增區(qū)間是__________.14.已知拋物線的焦點為,斜率為的直線過且與拋物線交于兩點,為坐標原點,若在第一象限,那么_______________.15.不等式的解集為________16.的展開式中,常數(shù)項為______;系數(shù)最大的項是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的極坐標方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫出與的直角坐標方程;(2)在什么范圍內取值時,與有交點.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導數(shù)相等,證明:;(2)若對于任意,直線與曲線都有唯一公共點,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當時,對于任意,當時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.21.(12分)在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大??;(2)若,的平分線與交于點D,與的外接圓交于點E(異于點A),,求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】分析:根據(jù)復數(shù)的運算,求得復數(shù)z,再利用復數(shù)的表示,即可得到復數(shù)對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示,其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.2.C【解析】
逐一分析選項,①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷;②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性;③先求函數(shù)的導數(shù),若滿足條件,則極值點必在區(qū)間;④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對稱中心為原點,根據(jù)平移知識,函數(shù)的圖象的對稱中心為,正確.②由題意知.因為當時,,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調遞減函數(shù),正確.③由題意知,當時,,此時在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因為在上不單調,所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調性,在上的最大值只可能為或.因為,,所以最大值為64,結論錯誤.故選:C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎題型.3.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.4.D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.5.A【解析】
將整理成的形式,得到復數(shù)所對應的的點,從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算,考查了復數(shù)對應的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.6.C【解析】
求得拋物線的焦點坐標,可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.7.B【解析】
先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【點睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎題8.A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎題.9.C【解析】
利用等差通項,設出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎題10.C【解析】
利用復數(shù)的除法,以及復數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】,又的實部與虛部相等,,解得.故選:C【點睛】本題主要考查復數(shù)的除法運算,復數(shù)的概念運用.11.C【解析】
先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當直線的方程為.,綜上,或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時,一般考慮拋物線的定義.12.D【解析】
首先由題意得,當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設為梯形的外接圓圓心,當也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應用,余弦函數(shù)的圖象與性質,屬于中檔題.14.2【解析】
如圖所示,先證明,再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準線的垂線,垂足分別為M,N,過點B作于點E,設|BF|=m,|AF|=n,則|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因為,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案為:2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的定義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15.【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可?!驹斀狻坑傻茫獾?,所以解集是?!军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。16.【解析】
求出二項展開式的通項,令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項;求出項的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解,同時也考查了系數(shù)最大項的求解,涉及展開式通項的應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消參可得直角坐標方程.(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程,與有交點,可得,解不等式即可求解.【詳解】(1)(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程得:與有交點,即【點睛】本題考查了極坐標方程與普通方程的轉化、參數(shù)方程與普通方程的轉化、直線與圓的位置關系的判斷,屬于基礎題.18.(I)見解析(II)【解析】
(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導數(shù)相等,得到,得,由韋達定理得,由基本不等式得,得,由題意得,令,則,令,,利用導數(shù)性質能證明.(2)由得,令,利用反證法可證明證明恒成立.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,由此可求的取值范圍..【詳解】(I)令,得,由韋達定理得即,得令,則,令,則,得(II)由得令,則,,下面先證明恒成立.若存在,使得,,,且當自變量充分大時,,所以存在,,使得,,取,則與至少有兩個交點,矛盾.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,則,得【點睛】本題考查函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算及其應用,同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力屬難題.19.(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導,即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標式進行變形,構造函數(shù),根據(jù)是單調減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結果.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,,,可知,,解得,,可知在,時,,函數(shù)單調遞增,在時,,函數(shù)單調遞減,可知函數(shù)的極小值為,極大值為.(2)可以變形為,可得,可知函數(shù)在上單調遞減,,可得,設,,可知函數(shù)在單調遞減,,可知,可知參數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值,以及對具體函數(shù)極值的求解,涉及構造函數(shù)法,以及利用導數(shù)求函數(shù)的值域;第二問的難點在于對目標式的變形,屬綜合性中檔題.20.(1)(2),.【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關系式,即求解數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法,求得,結合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,解得;當時,可得,即,顯然當時上式也適合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,所以.因為對恒成立,所以,.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解,等差數(shù)列的前n項和公式,以及裂項法求和的應用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.21.(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理轉化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結合,設,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因為,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設,O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知
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