解直角三角形【知識精講+高效備課】 九年級數(shù)學下冊 課件（人教版）

人教版九年級數(shù)學下冊第28章銳角三角函數(shù)28.2.1解直角三角形

學習目標1.了解并掌握解直角三角形的概念.2.理解直角三角形中的五個元素之間的聯(lián)系.會解直角三角形.設塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過B點向垂直中心線引垂線，垂足為點C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.問：傾斜角∠A是多少？利用計算器可得∠A≈5.48°ABC解：回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜度的問題復習回顧在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形.將上述實際問題抽象為數(shù)學問題，就是已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數(shù).新知探究1.直角三角形除直角外的五個元素有哪些？有幾類？這些元素之間有幾類關(guān)系？2.直角三角形邊與邊的關(guān)系有哪些？直角三角形邊與角的關(guān)系有哪些？直角三角形中角與角的關(guān)系有哪些？3.只知道角可以求出其他元素嗎？只知道邊可以求出其他元素嗎？4.想一想至少要知道幾個條件才能解直角三角形？思考ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.如圖，在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角），其中∠C=90°.c290°復習回顧30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：

銳角α三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα1復習回顧ABC解：例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，，解這個直角三角形.（∠A、∠B、AB）已知兩條直角邊，可以解直角三角形一、已知兩邊解直角三角形新知探究變式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，分別是的對邊，已知，解這個直角三角形.解：CBA（∠A、∠B、b）已知一條直角邊和一條斜邊，可以解直角三角形一、已知兩邊解直角三角形變式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，分別是

的對邊，已知，解這個直角三角形.CBA解：方法一（∠B、b、c）二、已知一銳角和一邊解直角三角形新知探究解：方法二已知一銳角和它的對邊，可以解直角三角形變式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，分別是

的對邊，已知，解這個直角三角形.（∠B、b、c）二、已知一銳角和一邊解直角三角形CBA變式3：在Rt△ABC中，∠C=90°，

分別是

的對邊，已知，解這個直角三角形.CBA解：（∠A、b、c）二、已知一銳角和一邊解直角三角形方法一解：方法二變式3：在Rt△ABC中，∠C=90°，

分別是

的對邊，已知，解這個直角三角形.（∠A、b、c）二、已知一銳角和一邊解直角三角形CBA解：已知一銳角和它的鄰邊，可以解直角三角形方法三變式3：在Rt△ABC中，∠C=90°，

分別是

的對邊，已知，解這個直角三角形.（∠A、b、c）二、已知一銳角和一邊解直角三角形CBA變式4：在Rt△ABC中，，分別是的對邊，已知，解這個直角三角形.CBA解：方法一方法二（∠A、a、b）已知一銳角和斜邊，可以解直角三角形二、已知一銳角和一邊解直角三角形已知兩角能否解直角三角形？

新知探究解直角三角形必備條件已知兩邊解直角三角形已知一個銳角和一邊解直角三角形只要知道五個元素中的兩個元素就可以求出余下的三個未知元素（至少有一個是邊）歸納總結(jié)1.在Rt△ABC中，有下列情況，則直角三角形可解的是（）A.已知B.已知C.已知D.已知D針對訓練2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB的長為()A．4B．6C．8D．10D3.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長是(

)

A．10B．20C．40D．28C4.如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長.ACB解：設在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.∴AB的長為（舍去）5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形：a=30,b=20;解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解這個直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).ABCbca35°解：7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c=14.根據(jù)條件解直角三角形.

(參考數(shù)據(jù)：

)ABCbac解：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列各式正確的是(

)A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosA

C2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

AB=8，則BC的長是()

DACB當堂鞏固3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，則AC=

.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).4.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長為

.

243.755.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個直角三角形.解：∵

AD平分∠BAC，DABC6解：過點A作AD⊥BC于點D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC的長.DABC圖①提示：題目中沒有給出圖形，注意分類討論.1.在△ABC中，AB=，AC=13，cosB=，求BC的長.解：∵cosB=，∴∠B=45°.當△ABC為鈍角三角形時，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5.∴BC=BD-CD=12-5=7；能力提升圖②當△ABC為銳角三角形時，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的長為7或17.2.如圖，已知AC=4，求AB和BC的長．提示：作CD⊥AB于點D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長，從而求解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2.3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，兩直角邊的和為14，求這兩條直角邊的長.ABC1.（4分）（2021?云南4/23）在△ABC中，∠ABC=90°．若AC=100，

，則AB的長是（

）A．B．C．60 D．80【分析】利用三角函數(shù)定義計算出BC的長，然后再利用勾股定理計算出AB長即可．【解答】解：∵AC=100，

，∴BC=60，∴

，故選：D．感受中考2.（6分）（2021?北京22/28）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB，求BF和AD的長．【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【分析】（1）證AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出結(jié)論；（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分線的性質(zhì)得EC＝EF＝3，最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：∵∠