2022年第十六屆華羅庚金杯賽少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷(小學(xué)組)及

2022年第十六屆華羅庚金杯賽少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷

（小學(xué)組）及（時(shí)間2022年3月19日10：00-11：00）這次華杯賽，除上述十道題目外，南京有的考點(diǎn)還有2道附加題第11題：有6個(gè)時(shí)刻，6:30，6:31，6:32，6:33，6:34，6:35這幾個(gè)時(shí)刻里，時(shí)刻時(shí)針和分針靠得最近，時(shí)刻時(shí)針和分針靠得最遠(yuǎn)。第12題：一個(gè)紙片倒過(guò)來(lái)，0，1，8三個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)180°后不變，6變成9,9變成6，其他數(shù)字轉(zhuǎn)180°后沒(méi)意義。問(wèn)，7位數(shù)轉(zhuǎn)180°后不變的有個(gè)，其中能被4整除的數(shù)有個(gè)，這些轉(zhuǎn)180°后不變的7位數(shù)的總和是.【參考答案及詳解】.任何四個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和一定被4除余2，所以只有102滿足條件?！岸紴楹蠑?shù)”這個(gè)條件可以被無(wú)視了。詢.容易發(fā)現(xiàn)，如果原數(shù)字有n根火柴，則對(duì)應(yīng)數(shù)字7-n。原數(shù)字的火柴數(shù)目依次是2，5，5，4，5，6，3，7，6，6，包含了2，3，4，5，6，7，共6個(gè)不同數(shù)字，所以對(duì)應(yīng)的也有6個(gè)不同的。C.這屬于和倍問(wèn)題，大數(shù)是小數(shù)的6倍，所以它們的和等于小數(shù)的7倍，即小數(shù)為6/7，大數(shù)為36/7，兩數(shù)之積為216/49，兩數(shù)之差為30/7=210/49，所以差為6/49。D口.任何兩人說(shuō)的話都不能同時(shí)為真，所以最多有一個(gè)人說(shuō)的是真話，如果有一個(gè)人復(fù)習(xí)了，那么李說(shuō)的是真話，符合題意；如果沒(méi)有人復(fù)習(xí)了，那么張說(shuō)的是真話，矛盾。B口.看螞蟻所在的列，可知應(yīng)該在中間一列，這列上有N和Q；看螞蟻所在的行，可知應(yīng)該在中間一行，所以是N。B口.增加3臺(tái)計(jì)算機(jī)，時(shí)間變成75%也就是3/4，說(shuō)明計(jì)算機(jī)增加到4/3，增加了1/3，原來(lái)有9臺(tái)；如果減少3臺(tái)計(jì)算機(jī)，減少到2/3，時(shí)間變?yōu)?/2,增加了1/2,所以原定時(shí)間是5/6某2=5/3(小時(shí))。A.如圖所示，有8個(gè)。畫(huà)出其中的兩個(gè)，其余的完全對(duì)稱。8.相遇后，甲還需要3小時(shí)返回甲地。第二次相遇時(shí)，甲距離相遇點(diǎn)的距離等于甲2.5小時(shí)的路程，乙用了3.5小時(shí)走這些路程，所以甲乙速度比為7:5。甲乙相遇需要3小時(shí)，那么乙單獨(dú)到需要180某12+5=432分鐘。432.易知夾在平行線之間的4ABM和4￡尸乂面積相等，4CDN和^EFN面積相等。而4EFM和4EFN的面積之和等于EF某(MO+ON)+2=26,所以空白部分的面積總和為52，所求答案為65。65.顯然華=1?？偣灿?個(gè)數(shù)字,也就是說(shuō)0到9中有一個(gè)不能用,根據(jù)棄九法,5不能用。每進(jìn)一位數(shù)字和減少9,0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36,所以共進(jìn)4位。所以個(gè)位和十位之一需要進(jìn)兩位,有兩種可能：(1)個(gè)位數(shù)字之和為11,十位數(shù)字之和為20,百位數(shù)字之和為8；(2)個(gè)位數(shù)字之和為21,十位數(shù)字之和為9,百位數(shù)字之和為9。為了讓“華杯初賽”盡量大，“杯”應(yīng)盡量大，“十”應(yīng)盡量小?！笆弊钌贋?，優(yōu)先考慮情況(2)，此時(shí)“杯”可以等于7。剩余數(shù)字0，3，4，6，8，9，個(gè)位和為21的顯然是4+8+9，十位和為9的剩下0+3+6，所以最大為1769。不必再考慮(1)了。1769第11題這是一道典型時(shí)鐘問(wèn)題，以鐘表里的一小格為一個(gè)單位為，則在6:30，時(shí)針和分針相差5/2=2.5格分針一分鐘走一格，速度為1格/分，時(shí)針1小時(shí)走5小格，則速度為1/12格/分則每過(guò)一分鐘，分針比時(shí)針多走11/12格故可列出下表：時(shí)間間隔6:306:316:326:336:346:352.519/128/123/1214/1225/25可見(jiàn)6:33靠的最近，6:30分靠的最遠(yuǎn)第12題首位可以是1、6、8、9中的一個(gè)，4種選擇；第二位可選0、1、6、8、9中的一個(gè)，5種選擇；第三位可選0、1、6、8、9中的一個(gè)，5種選擇；第四位是七位數(shù)中間的數(shù)，轉(zhuǎn)180度后不變位置，所以只能從0、1、8中選擇，3種。所以一共有4某5某5某3=300個(gè)。2、是4的倍數(shù)，只需考慮末兩位即可。由題意可得，末兩位只能是96、16、08、68、88共5種；末兩位確定后，前兩位也確定下來(lái)，只剩三、四、五位，第四位即中間一位只能從0、1、8中選擇，所以有3種選擇；第三、五位相對(duì)應(yīng)，只需要確定一位即可，可以從0、1、6、8、9中選擇，5種。所以能被4整除的數(shù)有：5某5某3=75種。3、所有這些數(shù)中，第七位只能是1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/4=75次，和為：(1+8+6+9)某75某1000000=1800000000；第六位可以是0、1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/5=60次，和為：(0+1+8+6+9)某60某100000=144000000；第五位可以是0、1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/5=60次，和為：(0+1+8+6+9)某60某10000=14400000；第四位可以是0、1、8，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/3=100次，和為：(0+1+8)某100某1000=900000；第三位可以是0、1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/5=60次，和為：(0+1+8+6+9)某60某100=144000；第二位可以是0、1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/5=60次，和為：(0+1+8+6+9)某60某10=14400；第六位可以是1、8、6、9，每一個(gè)數(shù)共出現(xiàn)300/4=75次，和為：(1+8+6+9)某75某1=1800；所以所有數(shù)的和為：1800000000+144000000+14400000+900000+144000+14400+1800=1959460200第一題：考察的是數(shù)論里面質(zhì)數(shù)合數(shù)的基本知識(shí)，容易知道這四個(gè)數(shù)是24,25,26,27,故和為102,選C第二題：有點(diǎn)類似于新定義運(yùn)算，給出了我們一個(gè)規(guī)則，然后讓我們進(jìn)行分析。根據(jù)前面的條件，去掉一根火柴，我們可以得到9這個(gè)數(shù)字，此時(shí)稱9對(duì)應(yīng)1，即為去掉火柴得到的數(shù)字對(duì)應(yīng)去掉火柴的根數(shù)，而我們知道數(shù)字8由7根火柴構(gòu)成可見(jiàn)，最多可以去掉5根（再多就沒(méi)法構(gòu)成數(shù)字了）那么我們可以列出下表：第三行的數(shù)字即為對(duì)應(yīng)的數(shù)字，有0?5,六個(gè)，選C注意到題目里面的規(guī)定8對(duì)應(yīng)0也要算上，不少同學(xué)漏了吧8對(duì)應(yīng)0，實(shí)際上就是不去掉火柴的情況，一定要注意第三題：公開(kāi)題，不解釋，有不會(huì)的請(qǐng)面壁思過(guò)簡(jiǎn)單和倍問(wèn)題可求出兩個(gè)數(shù)分別為36/7,7/6,然后簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算~選D第四題：明顯可見(jiàn)張必定說(shuō)假話，如果張為真，那么無(wú)人復(fù)習(xí)，但復(fù)習(xí)了的人說(shuō)真話，矛盾后面依次進(jìn)行真假假定，可見(jiàn)只有李說(shuō)了真話，故只有一個(gè)人去了復(fù)習(xí)第五題：很多同學(xué)應(yīng)該一上來(lái)就開(kāi)始逐個(gè)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算線段數(shù)了，但是此題不需要我們求出具體的路程，只要知道誰(shuí)是最短路線即可，故可以選擇一個(gè)點(diǎn)位基準(zhǔn)點(diǎn)，其余的點(diǎn)都跟它比較即可選取M點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，設(shè)七只螞蟻?zhàn)叩組點(diǎn)一共要走a條方格邊那么口對(duì)于N點(diǎn)，從左邊數(shù)第一只螞蟻要比到M點(diǎn)多走一段方格邊，第二只也要多走一段方格邊以此類推，七只螞蟻?zhàn)叩絅點(diǎn)共要走a+1+1+1-1-1-1-1=a-1同理，七只螞蟻?zhàn)叩絇點(diǎn)共要走a+1-1+1+1-1-1+1=a+1七只螞蟻?zhàn)叩絈點(diǎn)共要走a+2+0+2+0-2-2+0=a所以總和最小的格點(diǎn)為N，選B口第六題：可見(jiàn)，錄同一部書(shū)稿，計(jì)算機(jī)越多，錄入用的時(shí)間越少，增加三臺(tái)計(jì)算機(jī)后，錄入時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的75%與原來(lái)的時(shí)間比即變?yōu)?:4，所以其錄入計(jì)算機(jī)數(shù)量比為4:3，故原來(lái)錄入用的計(jì)算機(jī)數(shù)量為3+(4-3)某3=9臺(tái)口減少三臺(tái)的話，變成了9-3=6臺(tái)，計(jì)算機(jī)數(shù)量比變?yōu)?:2，故錄入時(shí)間比為2:3，減少3臺(tái)錄入時(shí)間多用了5/6小時(shí)則原定錄入時(shí)間即為5/6+(3-2)某2=5/3小時(shí)，選A第七題：如圖，可將正六邊形分割為6個(gè)面積為1的小正三角形，如果要以這些六邊形為頂點(diǎn)連接面積為4的正三角形，則這些正三角形的邊和高都應(yīng)該是面積為1的正三角形的2倍那么在直線AD上，只有AC,BD兩條線段的長(zhǎng)度為小正三角形的2倍。另外，通過(guò)六邊形的端點(diǎn)作平行線，可見(jiàn)圖中的四條平行線中，相鄰的兩條平行線之間的距離都是小正三角形的高，故若以AC,BD為底，則正三角形的另外一個(gè)頂點(diǎn)必定在中間第三條線上的端點(diǎn)，可見(jiàn)此時(shí)三角形ACb，BDc滿足條件同理，反過(guò)來(lái)看三角形acB,bdC也滿足條件?？诹硗庖灾虚g的平行線ac為軸，可見(jiàn)圖形上下對(duì)稱所有一共有2某2某2=8個(gè)正三角形符合條件第八題：典型的相遇往返問(wèn)題，此題關(guān)鍵在于作好線段圖，從中尋找等量關(guān)系由題意，甲乙行程圖如下：那么由圖可見(jiàn)：3V甲=3V乙+0.5V甲+0.5V乙可得V甲：V乙=7:5口所以相遇的時(shí)候，甲乙走的路程比為：S甲：S乙=7:5口所以相遇后乙走完剩下的路需要用的時(shí)間為：3+5某7=4.2小時(shí)所以乙從A到B需用時(shí)3+4.2=7.2小時(shí)口一定要注意到甲往回走用的時(shí)間跟一開(kāi)始是一樣的，另外甲在往回走的時(shí)候，乙依然在走所以等量關(guān)系為3V甲=3V乙+0.5V甲+0.5V乙而不是3V甲=0.5V甲+0.5V乙口第九題：梯形ABCD面積知道，那么只要求出空白部分的面積就可以得到陰影面積由題可知中間空白部分EMFN的面積為（13某4）+2=26而EF把梯形ABCD分割成兩個(gè)梯形ABEF和EFCD，由蝴蝶定理可知口三角形ABM面積=三角形EMF面積，三角形DNC面積=三角形EFN面積口所以三角形ABM面積+三角形DNC面積二三角形EMF面積+三角形EFN面積二四邊形EMFN面積=26所以空白部分的面積總和為：26+26=52所以陰影部分面積為117-52=65平方厘米對(duì)角線垂直要注意到可通過(guò)將四邊形分割成兩個(gè)等底三角形求面積，然后有梯形存在，應(yīng)該要想到蝴蝶定理的運(yùn)用，基本定理熟練掌握即可得解第十題：個(gè)位數(shù)一共有0~9十個(gè)數(shù)，而豎式中一共有九個(gè)不同的數(shù)字，那么必有一個(gè)數(shù)字沒(méi)有用到，設(shè)為N那么九個(gè)漢字的數(shù)字和為：45-N進(jìn)行加法后得到的得數(shù)的數(shù)字和為：2+0+1+1=4所以數(shù)字和減少了41-%而在十進(jìn)制里面，逢十進(jìn)一，即每進(jìn)一次位，數(shù)字和減少10-1=9所以41-N必定能被9整除，可見(jiàn)只有N=5的時(shí)候,41-N=36能被9整除，即在豎式里面發(fā)生了四次進(jìn)位再觀察豎式，可見(jiàn)“十”+“杯”尾數(shù)為0，必定發(fā)生了一次進(jìn)位，故“華”字一定為1要四位數(shù)“華杯初賽”最大，則首先要考慮“杯”的取值由于豎式里個(gè)位加和，十位加和的尾數(shù)均為1，則十位個(gè)位都發(fā)生了至少一次進(jìn)位，那么十位可向百位進(jìn)1或者進(jìn)2，此時(shí)“十”+“杯”=9或者8，又因?yàn)椤笆睘槿粩?shù)的首位