高三數(shù)學(xué)必掌握必備知識(shí)點(diǎn)

高三數(shù)學(xué)必掌握必備知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)定義:形如y=x行（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。定義域和值域:當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下： 如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)； 如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。 當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下： 在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。 在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。 而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域性質(zhì):對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù)，則x,p/q）=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+x）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/（x^k），顯然xH0，函數(shù)的定義域是（-g,0）U（0,+x）.因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0,則a可以是任意實(shí)數(shù)；排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)?？偨Y(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.可以看到：(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。⑵當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。顯然冪函數(shù)無(wú)界。高三數(shù)學(xué)必掌握必備知識(shí)點(diǎn)2反三角函數(shù)主要是三個(gè)：y二arcsin(x)，定義域［-1,1］，值域［-n/2,n/2］圖象用紅色線條；y二arccos(x)，定義域［-1,1］，值域［0,n］，圖象用藍(lán)色線條；y=arctan(x)，定義域(-*,+兀)，值域(-n/2,n/2)，圖象用綠色線條；sin(arcsinx)=x，定義域［-1,1］,值域［-1,1］arcsin(-x)二-arcsinx其他公式:三角函數(shù)其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)二n-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)二n-arccotxarcsinx+arccosx二n/2二arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)當(dāng)xG[—n/2,n/2]時(shí)，有arcsin(sinx)=x當(dāng)x$[O,n],arccos(cosx)二xxG(—n/2,n/2),arctan(tanx)=xx$(0,n),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx二n/2-arctanl/x,arccotx類似若(arctanx+arctany)G(—n/2,n/2),則arctanx+arctany二arctan(x+y/l-xy)高三數(shù)學(xué)必掌握必備知識(shí)點(diǎn)3銳角三角函數(shù)公式sina=Za的對(duì)邊/斜邊cosa=Za的鄰邊/斜邊tana=Za的對(duì)邊/Za的鄰邊cota二Za的鄰邊/Za的對(duì)邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A二CosA"2-SinA"2=l-2SinA"2=2CosA"2-ltan2A=(2tanA)/(l-tanA"2)(注：SinA"2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式sin3a=4sina?sin(n/3+a)sin(n/3-a)cos3a=4cosa?cos(n/3+a)cos(n/3-a)tan3a=tana?tan(n/3+a)?tan(n/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina輔助角公式Asina+Bcosa=(A“2+B“2廠(l/2)sin(a+1),其中sint二B/(A"2+B辺廠(1/2)cost二A/(A"2+B辺廠(1/2)tant=B/AAsina+Bcosa=(A“2+B“2廠(1/2)cos(a-t),tant二A/B降冪公式sin^2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2cos^2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2tan"2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))推導(dǎo)公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2a=2cos"2a1-cos2a=2sin"2a1+sina=(sina/2+cosa/2廠2=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3sina-4sin?acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa=4cos?a-3cosasin3a=3sina-4sin?a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(M3/2)?-sin?a]=4sina(sin?60°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina_2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]_2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos?a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(M3/2)?]=4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa_2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]_{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin"2(a/2)=(l-cos(a))/2cos"2(a/2)=(l+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(a+B+Y)二sina?cosB?cosY+cosa?sinB?cosY+cosa?cosB?siny-sina?sinB?sinYcos(a+B+Y)二cosa?cosB?cos丫-cosa?sinB?siny-sina?cosB?siny—sina?sinB?cosYtan(a+B+Y)=(tana+tanB+tany-tana?tanB?tany)/(1-tana?tanB-tanB?tanY-tanY?tana)兩角和差cos(a+B)二cosa?cosB-sina?sinBcos(a-B)二cosa?cosB+sina?sinBsin(a土B)二sina?cosB土cosa?sinBtan(a+B)=(tana+tanB)/(l-tana?tanB)tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tana?tanB)和差化積sinG+sin?=2sin[(9+^)/2]cos[(9-^)/2]sine-sin?=2cos[(G+?)/2]sin[(9-?)/2]

cosG+cos?=2cos[(e+?)/2]cos[(G—?)/2]cosG—cos?=—2sin[(9+?)/2]sin[(9—?)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1—tanAtanB)tanA—tanB=sin(A—B)/cosAcosB=tan(A—B)(1+tanAtanB)積化和差tan(一a)=—tanasin(n/2—a)=cosacos(n/2—a)=sinasin(n/2+a)=cosacos(n/2+a)=—sinasin(n—a)=sinacos(n—a)=—cosasin(n+a)=—sinacos(n+a)=—cosatanA=sinA/cosAtan(n/2+a)=—cotasinasinB[cos(a—B)—cos(a+B)]/2cosacosB[cos(a+B)+cos(a—B)]/2sinacosB[sin(a+B)+sin(a-B)]/2cosasinB[sin(a+B)-sin(a-B)]/2sinasinB[cos(a—B)—cos(a+B)]/2cosacosB[cos(a+B)+cos(a—B)]/2sinacosB[sin(a+B)+sin(a-B)]/2cosasinB[sin(a+B)-sin(a-B)]/2誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式sin(—a—sinasin(—a—sinacos(—a)=cosacos(—a)=cosatan(n/2—a)二cotatan(n—a)=-tanatan(n+a)二tana誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式sina=2tan(a/2)/[l+tan"(a/2)]cosa=[1—tan"(a/2)]/l+tan"(a/2)]tana=2tan(a/2)/[l-tan"(a/2)]其它公式(l)(sina廠2+(cosa廠2=1⑵1+(tana廠2=(seca廠2⑶1+(cota廠2=(csca廠2證明下面兩式，只需將一式，左右同除(sina廠2,第二個(gè)除(cosa廠2即可對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=n—Ctan(A+B)=tan(n—C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)二(tann-tanC)/(1+tanntanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證，當(dāng)x+y+z二nn(n^Z)時(shí),該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(cosA廠2+(cosB廠2+(cosC廠2=l-2cosAcosBcosC(sin