電動(dòng)力學(xué)21標(biāo)勢(shì)和其方程課件

本章研究的主要問(wèn)題：本章內(nèi)容：電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的情況：電荷靜止，相應(yīng)的電場(chǎng)不隨時(shí)間而變化的情況。在給定的自由電荷分布以及周?chē)臻g介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場(chǎng)。第二章靜電場(chǎng)本章研究的主要問(wèn)題：本章內(nèi)容：電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的11.引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系2.唯一性定理3.分離變量法4.鏡像法5.格林函數(shù)法6.電多級(jí)矩本章具體內(nèi)容：1.引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系本章具體內(nèi)容：2§2.1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以靜電場(chǎng)的理論基礎(chǔ)就是：§2.1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以靜電場(chǎng)3靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，電場(chǎng)強(qiáng)度E可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示，和力學(xué)中用勢(shì)函數(shù)描述保守力場(chǎng)的方法一樣。一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)1.電勢(shì)差和電勢(shì)所以，靜電場(chǎng)對(duì)電荷作功與路徑無(wú)關(guān)。設(shè)C1和C2為連接P1和P2點(diǎn)的兩條不同路徑，則靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，電場(chǎng)強(qiáng)度E可以4將單位正電荷由P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的功為：這功就定義為P1和P2兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。即如果，則和分別為P1點(diǎn)和P2點(diǎn)的電勢(shì)。所以任意一點(diǎn)P的電勢(shì)為將單位正電荷由P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的功為：這功就定5注意：(1)由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，某點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。(2)某點(diǎn)電勢(shì)的具體數(shù)值與零勢(shì)點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以必須指明零勢(shì)點(diǎn)的位置。(3)零勢(shì)點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，可以選無(wú)窮遠(yuǎn)的電勢(shì)為零。(4)一個(gè)具體問(wèn)題中只能選一個(gè)零勢(shì)點(diǎn)。注意：(1)由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，某點(diǎn)上的62.電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系(1)任意一點(diǎn)P的電勢(shì)給出了電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系，例如：真空中點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為所以，若取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。則任意一點(diǎn)的電勢(shì)為：2.電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系(1)任意一點(diǎn)P的電勢(shì)給出了電勢(shì)7同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：8所以由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)均可求出。但實(shí)際情況往往并不是所有電荷都能預(yù)先給定，因此，必須電荷與電場(chǎng)相互作用的微分方程。(2)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系由可得：而所以由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電9二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。其中ρ為自由電荷密度。1.泊松（Poisson)方程在簡(jiǎn)單介質(zhì)中有：將上式代入得：泊松方程是靜電勢(shì)滿(mǎn)足的基本微分方程。給出邊界條件就可以確定電勢(shì)的解。在數(shù)學(xué)上這稱(chēng)為邊值問(wèn)題。二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。其中ρ為自由電102.邊值關(guān)系將電場(chǎng)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)必須滿(mǎn)足邊值關(guān)系?；癁橛秒妱?shì)表示的邊值關(guān)系。如圖把電荷沿法線(xiàn)方向移動(dòng)時(shí)，切線(xiàn)分量不做功。沿法線(xiàn)方向做功為零。該式與等價(jià)。2.邊值關(guān)系將電場(chǎng)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)必須滿(mǎn)足邊11將代入另一邊值關(guān)系得：即：n從1指向2!將代入另一邊值關(guān)系得：即：n從1指向2!12①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊性，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有它特點(diǎn)：設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為σ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為ε，導(dǎo)體表面的邊界條件為2.導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系②導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；③導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線(xiàn)方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。常量①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊13場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線(xiàn)性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為：三、靜電場(chǎng)的能量所以由和得場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線(xiàn)性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為14式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：所以積分區(qū)域V為ρ≠0的區(qū)域。注意：(1)上式只能用于計(jì)算靜電場(chǎng)的總能量。(2)不是能量密度。式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：所以積分區(qū)域15解：例1求均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)。均勻電場(chǎng)每一點(diǎn)強(qiáng)度E0相同，其電場(chǎng)線(xiàn)為平行直線(xiàn)。選空間任一點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)該點(diǎn)上的電勢(shì)為φ0，那么任一點(diǎn)P處的電勢(shì)為其中x為P點(diǎn)的位矢。注意均勻電場(chǎng)可以看作由無(wú)窮大平行板電容器產(chǎn)生，其電荷分布不在有限區(qū)域內(nèi)，因此不能選無(wú)窮遠(yuǎn)電勢(shì)為零。解：例1求均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)。均勻電場(chǎng)每一點(diǎn)強(qiáng)度E0相同，16若選?0=0，則有例2解：均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電荷線(xiàn)密度為τ，求電勢(shì)。如圖，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)P到導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離為R，電荷元τdz,到P點(diǎn)的距離為若選?0=0，則有例2解：均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電荷線(xiàn)密度17積分結(jié)果無(wú)窮大，無(wú)窮大的出現(xiàn)是由于電荷不是分布于有限區(qū)域內(nèi)。則計(jì)算兩點(diǎn)P和P0的電勢(shì)差可以不出現(xiàn)無(wú)窮大。設(shè)P0點(diǎn)與導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離為R0，則P點(diǎn)和P0點(diǎn)的電勢(shì)差為積分結(jié)果無(wú)窮大，無(wú)窮大的出現(xiàn)是由于電荷不是分布于有限區(qū)域內(nèi)。18則若選P0點(diǎn)為參考點(diǎn)，規(guī)定，則若選P0點(diǎn)為參考點(diǎn)，規(guī)定19取的負(fù)梯度得：所以取的負(fù)梯度得：所以20例3求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)總能量。整個(gè)導(dǎo)體為等勢(shì)體,導(dǎo)體球的電荷分布于球面上，由書(shū)中（1.14）式最方便。球面上的電勢(shì)為解：因此靜電場(chǎng)總能量為例3求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)總能量。整個(gè)導(dǎo)體為21靜電場(chǎng)總能量也可以由書(shū)中（1.13）式求出。因?yàn)榍騼?nèi)電場(chǎng)為零，故只須對(duì)球外積分作業(yè)：1.靜電場(chǎng)總能量也可以由書(shū)中（1.13）式求出。因?yàn)榍騼?nèi)電場(chǎng)為零22本章研究的主要問(wèn)題：本章內(nèi)容：電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的情況：電荷靜止，相應(yīng)的電場(chǎng)不隨時(shí)間而變化的情況。在給定的自由電荷分布以及周?chē)臻g介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場(chǎng)。第二章靜電場(chǎng)本章研究的主要問(wèn)題：本章內(nèi)容：電磁場(chǎng)的基本理論應(yīng)用到最簡(jiǎn)單的231.引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系2.唯一性定理3.分離變量法4.鏡像法5.格林函數(shù)法6.電多級(jí)矩本章具體內(nèi)容：1.引入標(biāo)勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系本章具體內(nèi)容：24§2.1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以靜電場(chǎng)的理論基礎(chǔ)就是：§2.1靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)及其微分方程若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以靜電場(chǎng)25靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，電場(chǎng)強(qiáng)度E可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示，和力學(xué)中用勢(shì)函數(shù)描述保守力場(chǎng)的方法一樣。一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)1.電勢(shì)差和電勢(shì)所以，靜電場(chǎng)對(duì)電荷作功與路徑無(wú)關(guān)。設(shè)C1和C2為連接P1和P2點(diǎn)的兩條不同路徑，則靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，電場(chǎng)強(qiáng)度E可以26將單位正電荷由P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的功為：這功就定義為P1和P2兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。即如果，則和分別為P1點(diǎn)和P2點(diǎn)的電勢(shì)。所以任意一點(diǎn)P的電勢(shì)為將單位正電荷由P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場(chǎng)對(duì)它所作的功為：這功就定27注意：(1)由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，某點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。(2)某點(diǎn)電勢(shì)的具體數(shù)值與零勢(shì)點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以必須指明零勢(shì)點(diǎn)的位置。(3)零勢(shì)點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，可以選無(wú)窮遠(yuǎn)的電勢(shì)為零。(4)一個(gè)具體問(wèn)題中只能選一個(gè)零勢(shì)點(diǎn)。注意：(1)由定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，某點(diǎn)上的282.電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系(1)任意一點(diǎn)P的電勢(shì)給出了電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系，例如：真空中點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為所以，若取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零。則任意一點(diǎn)的電勢(shì)為：2.電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系(1)任意一點(diǎn)P的電勢(shì)給出了電勢(shì)29同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢(shì)為：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：30所以由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)均可求出。但實(shí)際情況往往并不是所有電荷都能預(yù)先給定，因此，必須電荷與電場(chǎng)相互作用的微分方程。(2)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的微分關(guān)系由可得：而所以由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電31二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。其中ρ為自由電荷密度。1.泊松（Poisson)方程在簡(jiǎn)單介質(zhì)中有：將上式代入得：泊松方程是靜電勢(shì)滿(mǎn)足的基本微分方程。給出邊界條件就可以確定電勢(shì)的解。在數(shù)學(xué)上這稱(chēng)為邊值問(wèn)題。二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。其中ρ為自由電322.邊值關(guān)系將電場(chǎng)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)必須滿(mǎn)足邊值關(guān)系?；癁橛秒妱?shì)表示的邊值關(guān)系。如圖把電荷沿法線(xiàn)方向移動(dòng)時(shí)，切線(xiàn)分量不做功。沿法線(xiàn)方向做功為零。該式與等價(jià)。2.邊值關(guān)系將電場(chǎng)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢(shì)必須滿(mǎn)足邊33將代入另一邊值關(guān)系得：即：n從1指向2!將代入另一邊值關(guān)系得：即：n從1指向2!34①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊性，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有它特點(diǎn)：設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為σ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為ε，導(dǎo)體表面的邊界條件為2.導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系②導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；③導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線(xiàn)方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。常量①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊35場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線(xiàn)性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為：三、靜電場(chǎng)的能量所以由和得場(chǎng)的總能量可以用電荷和電勢(shì)表示，在線(xiàn)性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的總能量為36式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：所以積分區(qū)域V為ρ≠0的區(qū)域。注意：(1)上式只能用于計(jì)算靜電場(chǎng)的總能量。(2)不是能量密度。式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：所以積分區(qū)域37解：例1求均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)。均勻電場(chǎng)每一點(diǎn)強(qiáng)度E0相同，其電場(chǎng)線(xiàn)為平行直線(xiàn)。選空間任一點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)該點(diǎn)上的電勢(shì)為φ0，那么任一點(diǎn)P處的電勢(shì)為其中x為P點(diǎn)的位矢。注意均勻電場(chǎng)可以看作由無(wú)窮大平行板電容器產(chǎn)生，其電荷分布不在有限區(qū)域內(nèi)，因此不能選無(wú)窮遠(yuǎn)電勢(shì)為零。解：例1求均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)。均勻電場(chǎng)每一點(diǎn)強(qiáng)度E0相同，38若選?0=0，則有例2解：均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電荷線(xiàn)密度為τ，求電勢(shì)。如圖，設(shè)場(chǎng)點(diǎn)P到導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離為R，電荷元τdz,到P點(diǎn)的距離為若選?0=0，則有例2解：均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電荷線(xiàn)密度39積分結(jié)果無(wú)窮大，無(wú)窮大的出現(xiàn)是由于電荷不是分布于有限區(qū)域內(nèi)。則計(jì)算兩點(diǎn)P和P0的電勢(shì)差可以不出現(xiàn)無(wú)窮大。設(shè)P0點(diǎn)與導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離為R0，則P點(diǎn)和P0點(diǎn)的電勢(shì)差為積分結(jié)果無(wú)窮大，無(wú)窮大的出現(xiàn)是由于電荷不是分布于有限區(qū)域內(nèi)。40則若選P0點(diǎn)為參考點(diǎn)，規(guī)定，則若