2018年全國2卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案

201 201 8 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試201 201 8 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、選擇題:本題共題目要求的。,12i1. 1-2i3.i52.已知集合6.在^ABC中,全國2卷數(shù)學(xué)（理科）12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是復(fù)合3i5C.-354.-i

5D.-34i55i2 2一x+v<3,C.5B.8D.43.函數(shù)fx=Ab滿足，4.已知向量aC.2B.3D.B.D.2b>0）的離心力為后，則其漸近線方程為ab=-1,則a(2a-b)=(y=.3xywZ},則A中元素的個數(shù)為（A.y=2x25.雙曲線—axwZ,24=1a>0b2C.y」x2x ,xe-0一一2—的圖象大致是xA=《x,C5cos—二——2 5'BC=1,AC=5,則AB=()、30C. 29D.2.511 111 111 111 1117.為計算S=1——+-99100,設(shè)計了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入（8.A.B.C.D.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如3)73.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是（ ）B-114C.B-114C.15D-1189.在長方體ABCD—ABC19.在長方體ABCD—ABC1D1中，AB=BC=1,AA1=43,則異面直線Ad與DB1所成角的余弦值為A.bT6C.D.10.若f(x)=cosx-sinx在I-a,a］是減函數(shù)，則a的最大值是（JiB.—2C.D.A.bT6C.D.10.若f(x)=cosx-sinx在I-a,a］是減函數(shù)，則a的最大值是（JiB.—2C.D.11.已知f（x）是定義域為（㈤，+8）的奇函數(shù)，滿足f(1-x尸f(1+x).若f(1)+f(2)+f{3戶…+f(50)=()-500C.D.502 212.已知F1,右焦點交點， A是C的左頂點，點P在過A且F12.已知F1,右焦點交點， A是C的左頂點，點P在過A且斜率為立的直線上，△PF1F2為等腰三角形， /F1F2P=120口，則C的離心率為（ ）61B.一2二、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分..曲線y=2ln(x+1作點(0,0)處的切線方程為.x2y-5>0.若x,y滿足約束條件以一2y+3>0,則2=*+丫的最大值為x-5<0已知sina+cosp=1,cosot+sinp=0,則sin(u+P)=已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為7,SA與圓錐底面所成角為45°,若4SAB8的面積為5尺,則該圓錐的側(cè)面積為.17~21題為必考題。每個試題三、解答題：共7017~21題為必考題。每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(12分)記Sn為等差數(shù)列｛4｝的前n項和，已知&=，，S3=—15.(1)求K｝的通項公式；(2)求&,并求&的最小值.(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.投資額*20022^320022^3FUTM2007即hS201^2(1102u]I20122O132O142OI5201ft：「；上240220200180160140120%案1為了預(yù)測改地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2, 7)建立模型①：y=邙0.4+13.5t:根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,，，，,7)建立模型②：y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.(12分)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點。AB=8.(1)求l的方程；(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.(12分)如圖，在三棱錐P_ABC中，AB=BC=2、?2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.(1)證明：PO_L平面ABC；(2)若點M在^葭BC上，且二面角M_PA_C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明：當x>0時，f(x戶1;(2)若f(x取(0,+a尸有一個零點，求a.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一部分計分?！具x修4-4:坐標系與參數(shù)方程】（10分）,一， x=2cos x=1+lcosa在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為14s.:（9為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為| *s-na（l為參數(shù)）.（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1,2）,求l的斜率.23.【選修4-5:不等式選講】（10分）設(shè)函數(shù)fx=5-|x-a|-|x-2|.（1）當a=1時，求不等式f（x戶0的解集;（2）若f（x尸1,求a的取值范圍.xx〔 x2參考答案部分、選擇題123456789101112DABBAABCCACD12.解：：pF2=2c,攻=^3^,,e=l6a2c4二、填空題1TOC\o"1-5"\h\z13.y=2x14. 9 15.- 16. 402二216.設(shè)母線長為a，S&BS=：a2sin/ASB=5芯=a2=80,所以O(shè)A=(2a1 2：,.12Sfi0=-aC=——a=402二2 2三、填空題17.解：(1)由&=—15可得：3a1+3d=—15,所以d=2,所以4=2n—9(2)S=(a1+an)n=n2_8n,當n=4時,S0取最小值-16n2 n18.解：(1)①y=20.4+13.5*19=226.1,y=99+17.5*9=256.5a(2)對于模型①，當年份為 2016年時，y=-30.4+13.5*17=199.1a對于模型②，當年份為2016年時，y=99+17.5*7=221.5比較而言，②的準確度高，誤差較小，所以選擇②2=419.解：(1).F(1,0),設(shè)直線y=k(x—1),聯(lián)立」y—x=k2x2—(2k2+4)x+k2=0j=k(x-1)'+2k2+4*'X2 k2 ，=AB|=必+m+2=8,「.k=1,所以直線方程x—y—1=0x1x2=1(2)設(shè)AB的中點為N(xN,yN),設(shè)圓心為M(a,b),所以圓的半徑r=a+1因為所以即:xnyNMN-3,所以MN的方程為y=_1(x—3)+2,即=%/(a-3)2+(b-2)2=v2(x-a)2,由垂徑定理：r2(a+12=16+2(a—3)2因為所以即:xnyNMN-3,所以MN的方程為y=_1(x—3)+2,即=%/(a-3)2+(b-2)2=v2(x-a)2,由垂徑定理：r2(a+12=16+2(a—3)2解得：a=3或a=11xy一5二0所以圓的方程為：(x—3)2+(y—2)2=16和(x—11)2+(y+6)2=14420.證明：連接BQ因為AB=BC貝UBOLAC,所以BO=2又因為在^PAC中，PA=PC=4所以POhAC,且PO=2j3,因為PO2+OB2=PB2,所以POLBO,從而PO_L平面ABC；(2)以O(shè)B為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)P為z軸，設(shè)BM=，“BC,B(2,0,0)C(0,2,0)A(0,-2,0)P(0,0,273),設(shè)M(x,y,0)，所以BM=(x-2,y,0)，前=(—2,2,0),所以M(2-2-,2',0)設(shè)平面pac的法向量為n1=(1,0,0)設(shè)平面MPA的法向量為n2=(x1,y1,z1),PAn2=0PA=(0,-2,-2j3),MA=(2%-2,-2-2兒0)所以《?MAn2=0x2_1-九y2Z2--3=.3 p-因為二面角M—PA—C為30：所以cos300=」產(chǎn)3=—得九=2設(shè)PC與平面PAM所成角為9,所以sine=PCn2PC〕n221解：(1)當a=1,f(x)=ex—x2,f(x)=ex—2x,f(x)=ex—2x<ln2,f'(x)單調(diào)遞減，x>ln2,f'(x)單調(diào)遞增，所以f'(x)之f'(ln2)=2—2ln2a0ex(x-2)所以f(x)在［0,y)是單調(diào)遞增，所以f(x)之f(0)=1ex(x-2). ，、一e一.e⑶令f(x)=0=下一a=。，令g(x)==一a,g(x)=x x當x<2時，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，x>2時，g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增2e所以g(x)=g(2)min=一-a4e2「①當a時，g(X)minA0,g(X)無布點2②當a=J時，g(X)min=0,g(X)只有一個零點42-e③aA一時，g(X)min<042 2(1)曲線C的直角坐標方程： —+-y-=14 16直線L直角坐標方程：y=tanot(X—1)+2⑵聯(lián)立X2+J=1與⑵聯(lián)立X2+J=1與『T+lcosa4 16y=2，lsina2 .2 2(4cosa+sina)t+(8cosa+4sina)t—8=0所以t1t2所以t1t2