動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解生產(chǎn)及存儲(chǔ)問(wèn)題

動(dòng)態(tài)規(guī)劃一?動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的發(fā)展及其研究?jī)?nèi)容動(dòng)態(tài)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過(guò)程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初美國(guó)數(shù)學(xué)家，提出了著名的最優(yōu)化原理，把多階段問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的單階段問(wèn)題，逐個(gè)求解創(chuàng)立了解決這類(lèi)過(guò)程優(yōu)化問(wèn)題的新方法——?jiǎng)討B(tài)規(guī)劃。1957年出版的他的名著《DynamicProggramming》，這是該領(lǐng)域的第一本著作。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)世以來(lái)，在經(jīng)濟(jì)管理?生產(chǎn)調(diào)度?工程技術(shù)和最優(yōu)控制等方面得到了廣泛的應(yīng)用。例如最短路線(xiàn)?庫(kù)存管理?資源分配?設(shè)備更新?組合?排序?裝載等問(wèn)題，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解比用其他方法更為簡(jiǎn)便。二?動(dòng)態(tài)規(guī)劃法基本概念一個(gè)多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型通常包括以下幾個(gè)要素：1．階段階段（stage）是對(duì)整個(gè)過(guò)程的自然劃分。通常根據(jù)時(shí)間順序或是空間特征來(lái)劃分階段，對(duì)于與時(shí)間，空間無(wú)關(guān)的“靜態(tài)”優(yōu)化問(wèn)題，可以根據(jù)其自然特征，人為的賦予“時(shí)段”概念，將靜態(tài)問(wèn)題動(dòng)態(tài)化，以便按階段的順序解優(yōu)化問(wèn)題。階段變量一般用k=1.2….n.表示。狀態(tài)狀態(tài)(state)是我們所研究的問(wèn)題(也叫系統(tǒng))在過(guò)個(gè)階段的初始狀態(tài)或客觀條件。它應(yīng)能描述過(guò)程的特征并且具有無(wú)后效性，即當(dāng)某階段的狀態(tài)給定時(shí)，這個(gè)階段以后的過(guò)程的演變與該階段以前各階段的狀態(tài)無(wú)關(guān)。通常還要求狀態(tài)是可以直接或者是間接可以觀測(cè)的。描述狀態(tài)的變量稱(chēng)為狀態(tài)變量(StateVirable)用s表示，狀態(tài)變量的取值集合稱(chēng)為狀態(tài)集合，用S表示。變量允許取值的范圍稱(chēng)為允許狀態(tài)集合(setofadmissblestates)用x(k)表示第k階段的狀態(tài)變量，它可以是一個(gè)數(shù)或者是一個(gè)向量。用X(k)表示第k階段的允許狀態(tài)集合。n個(gè)階段的決策過(guò)程有n+1個(gè)狀態(tài)變量，x(n+1)是x(n)的演變的結(jié)果。根據(jù)演變過(guò)程的具體情況，狀態(tài)變量可以是離散的或是連續(xù)的。為了計(jì)算方便有時(shí)將連續(xù)變量離散化，為了分析的方便有時(shí)又將離散的變量視為連續(xù)的。2．決策當(dāng)一個(gè)階段的狀態(tài)確定后，可以做出各種選擇從而演變到下一階段的某個(gè)狀態(tài)，這種選擇手段稱(chēng)為決策(decision)，在最優(yōu)控制問(wèn)題中也稱(chēng)為控制(control)描述決策的變量稱(chēng)為決策變量(decisionvirable)。變量允許取值的范圍稱(chēng)為允許決策集合(setofadmissbledecisions)。用"女(*('))表示第k階段處于階段x(k)的決策變量，它是x(k)的函數(shù)，用;'.11|：表示x(k)的允許決策集合決策變量簡(jiǎn)稱(chēng)決策。叭(兀(切)￡Sg町)。策略決策組成的系列稱(chēng)為策略(policy)。由初始狀態(tài)X1開(kāi)始的全過(guò)程的策略記作戶(hù)ln(*(0).片”(珂))一M(t(1))"(x(2)),A，"”(*("))}.由第k階段的狀態(tài)x(k)開(kāi)始到終止?fàn)顟B(tài)的后部子過(guò)程的策略cw”,兒「(訛))=,"“(?"))}；k=2,…,n-1.可供選擇的策略有一定的范圍，稱(chēng)為允許策略集合(setofadmissblepolices),用片)),'前，胃(*))等表示。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程在確定性過(guò)程中，一旦某階段的狀態(tài)和決策為已知，下階段的狀態(tài)偏完全可以確定。用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(statetransferequations)表示這種演變規(guī)律，寫(xiě)作：階段指標(biāo)函數(shù)對(duì)于k階段的狀態(tài)x(k)，當(dāng)執(zhí)行了決策時(shí)，除帶來(lái)系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移之外，還產(chǎn)生第k階段的局部利益，它是總效益的一部分，稱(chēng)為階段指標(biāo)函數(shù)(stageeffectivefuction)，記作1x.過(guò)程指標(biāo)函數(shù)用來(lái)衡量策略或者是子策略執(zhí)行效果的數(shù)量指標(biāo)稱(chēng)為過(guò)程指標(biāo)函數(shù)(processeffectivefuction)，它定義在所有k后部子過(guò)程上，常用用'表示，即Vk=x{k+1)“任仗+1))小，片(心5(工0)))k=1,2，…,n.當(dāng)k=1時(shí)，就是全過(guò)程指標(biāo)函數(shù)。如果狀態(tài)x(k)和子策略/爲(wèi)(玳幻一)給定，那么兒也就被確定了，所以兀是x(k)和fM*))的函數(shù)，記為：兒二『心仗)幾(仙))常見(jiàn)的過(guò)程指標(biāo)函數(shù)是連和形式或連積形式：最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)過(guò)程指標(biāo)函數(shù)「宀匚'廠；U'的最優(yōu)值稱(chēng)為最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)(optimumeffectivefuction),記為f(x(k).它表示，采取了最優(yōu)子策略廠m之后，后部子過(guò)程所獲得的總效益，表示為:7(x(^))=optVk(x(k))\k=12八"opt是optimization的縮寫(xiě)，意為最優(yōu)化，可以根據(jù)具體問(wèn)題去max或min三?動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的最優(yōu)性原理和基本函數(shù)方程在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中起核心作用的是最優(yōu)性原理：“作為整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)，無(wú)論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何，相對(duì)于前面決策所形成的狀態(tài)而言，余下的決策系列必須構(gòu)成最優(yōu)子策略?！眲?dòng)態(tài)規(guī)劃解法的關(guān)鍵在于給出一種遞推關(guān)系，一般把這種關(guān)系稱(chēng)為基本函數(shù)方程，氣(琢),心(工伙)))二q(訛)“心伙)))+匚］(刑+幾佇》(訛)))注意到無(wú)后效性，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)為當(dāng)k=n時(shí)，由于x(n+1)是整個(gè)決策過(guò)程的終止?fàn)顟B(tài)，以后不再做出決策，因此,⑺(心十】＞如)?=0這樣就得到了可以用來(lái)遞推的基本函數(shù)方程：f(x(n+1))=0.類(lèi)似的，可以得到乘法形式的基本函數(shù)方程：=opt{rk+1))hk=J.f(x(n+1))=1.四?建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的基本步驟階段；狀態(tài)變量及可能狀態(tài)集合；決策變量及允許決策集合；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；階段指數(shù)函數(shù)；基本函數(shù)方程；建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型基本上是上面6個(gè)步驟，按上述順序逐步確定1?6的內(nèi)容。五?動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的遞推方向及求解形式1.遞推解法基本方程：-^(x(A)))+/(x(A+1))},k二比"7人丄f(x(n+1))=O狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為計(jì)算步驟是，利用終端條件從k=n開(kāi)始由后向前遞推基本方程，求得各階段的最優(yōu)決策和最優(yōu)函數(shù)，最后算出f(x(1)時(shí)就得到了最優(yōu)決策系列{肌何切,貞杭才⑹/=1"刖}再按照狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程**M+從k=i開(kāi)始確定?*W序列乜仏),k=1,2，…,n}為最優(yōu)軌跡線(xiàn),{x{k)‘才二12AJt)為最優(yōu)策略。順推解法使用順推解法時(shí)，一些概念的含義須做相應(yīng)調(diào)整。狀態(tài)變量x(k)表示第k階段末系統(tǒng)的形態(tài)?狀況，最優(yōu)值函數(shù)f(x(k))表示從第一階段到第k階段總效益的最優(yōu)值，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為基本函數(shù)方程為f(x(0))=0或1求解形式求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，一般有兩種形式：解析形式和表格形式，解析形式是利用函數(shù)的解析表達(dá)式，在每個(gè)階段用經(jīng)典求極值的方法得到最優(yōu)解。表格形式是指各階段的計(jì)算過(guò)程均在表格中進(jìn)行，這種形式便于分析和比較，操作過(guò)程直觀且簡(jiǎn)練，適用于沒(méi)有解析表達(dá)式的離散型問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的適用條件適用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問(wèn)題通常應(yīng)滿(mǎn)足如下3點(diǎn)：最優(yōu)化原理(最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì))。如果問(wèn)題的最優(yōu)解所包含的子問(wèn)題的解也是最優(yōu)的，就稱(chēng)該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，即滿(mǎn)足最優(yōu)化原理。由于對(duì)于有些問(wèn)題的某些遞歸式來(lái)講并不一定能保證最優(yōu)化原則，因此在求解問(wèn)題時(shí)有必要對(duì)它進(jìn)行驗(yàn)證。若不能保持最優(yōu)原則，則不可以應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解。在得到最優(yōu)解的遞歸式之后，需要執(zhí)行回溯以構(gòu)造最優(yōu)解。無(wú)后效性。應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的一個(gè)重要條件就是將各階段按照一定的次序排好，階段i的狀態(tài)只能由階段i+1的狀態(tài)來(lái)確定，與其他狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系，尤其是于未發(fā)生的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系。換言之，每個(gè)狀態(tài)都是“過(guò)去歷史的一個(gè)完整總結(jié)”這就是無(wú)后效性。子問(wèn)題的重疊性。子問(wèn)題的重疊性是指在利用遞歸算法自頂向下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，每次產(chǎn)生的問(wèn)題并不總是新問(wèn)題，有些子問(wèn)題可能會(huì)被重復(fù)計(jì)算多次。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法正是利用子問(wèn)題的這種重疊性質(zhì)，對(duì)每一個(gè)問(wèn)題只計(jì)算一次，然后將其計(jì)算結(jié)果保持起來(lái)，當(dāng)再次需要計(jì)算已經(jīng)計(jì)算過(guò)的子問(wèn)題時(shí)，只要簡(jiǎn)單的查看一下以往的計(jì)算結(jié)果，從而獲得較高的解題效率。子問(wèn)題的的重疊性并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果該性質(zhì)無(wú)法滿(mǎn)足，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就無(wú)優(yōu)勢(shì)可言了。解決問(wèn)題的步驟利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解問(wèn)題的算法通常包含如下幾個(gè)步驟。③1分析。對(duì)原始的問(wèn)題進(jìn)行分析，找到問(wèn)題的最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征。③2分解。將所給問(wèn)題按時(shí)間或空間特征分解成相互關(guān)聯(lián)的階段，并確定出計(jì)算局部最優(yōu)解的遞推關(guān)系，這是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解決問(wèn)題的關(guān)鍵和難點(diǎn)所在。需要注意的是，分解后的各個(gè)階段一定是有序的或者是可以排序的，即無(wú)后向性。否則問(wèn)題就無(wú)法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。階段之間相互聯(lián)系方式是通過(guò)狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移體現(xiàn)的。每個(gè)階段通常包含若干個(gè)狀態(tài)，可以描述問(wèn)題發(fā)展到這個(gè)階段時(shí)所處在的一種客觀情況。每個(gè)階段的狀態(tài)都由以前階段的狀態(tài)以某種方式“變化”來(lái)的，這樣的“變化”稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移是導(dǎo)出狀態(tài)的途徑，也是聯(lián)系各階段的方式。解決。對(duì)于每個(gè)階段通過(guò)自底向上的方法求得局部最優(yōu)解。由于這一步驟通常是通過(guò)遞推實(shí)現(xiàn)的，因此，需要遞推終止條件或邊界條件。合并。將各個(gè)階段求出的解合并為原問(wèn)題的解，即構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論的設(shè)計(jì)，特別是遞推關(guān)系的建立，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。整個(gè)求解過(guò)程就可以使用一個(gè)最優(yōu)決策表的二維數(shù)組來(lái)描述，其中行表示決策的階段，列表示問(wèn)題狀態(tài)，表格需要填寫(xiě)的數(shù)據(jù)一般對(duì)應(yīng)此問(wèn)題的在某階段某個(gè)狀態(tài)下的最優(yōu)值，如最短路徑，最長(zhǎng)公共子序列，最大價(jià)值等。填表的過(guò)程就是根據(jù)遞推關(guān)系從1行1列開(kāi)始，以行或者列優(yōu)先的順序，依次填寫(xiě)表格。最后根據(jù)整個(gè)表格的數(shù)據(jù)通過(guò)簡(jiǎn)單的取舍或者運(yùn)算求得問(wèn)題的最優(yōu)解?？傊瑒?dòng)態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余，是一個(gè)以空間換時(shí)間的技術(shù)，所以它的空間復(fù)雜度要大于其他的算法。六?動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題在問(wèn)題中的具體實(shí)現(xiàn)例如：動(dòng)態(tài)規(guī)劃規(guī)劃在生產(chǎn)存儲(chǔ)中的運(yùn)用生產(chǎn)存儲(chǔ)問(wèn)題是生產(chǎn)活動(dòng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。大批量生產(chǎn)可以降低成本，但當(dāng)產(chǎn)量大于銷(xiāo)量時(shí)就會(huì)造成產(chǎn)品積壓而增加庫(kù)存費(fèi)用；單純按市場(chǎng)要求安排生產(chǎn)也會(huì)因?yàn)殚_(kāi)工不足或加班加點(diǎn)造成生產(chǎn)成本增加。因此合理利用存貯資源調(diào)節(jié)產(chǎn)量，滿(mǎn)足要求是十分有意義的。生產(chǎn)與存貯問(wèn)題是一個(gè)生產(chǎn)部門(mén)如何在已知生產(chǎn)成本，存貯費(fèi)用和各階段市場(chǎng)要求的條件下，決定各個(gè)生產(chǎn)階段的產(chǎn)量，使得計(jì)劃期內(nèi)的費(fèi)用之和最小?，F(xiàn)設(shè)有一個(gè)生產(chǎn)部門(mén)，生產(chǎn)計(jì)劃周期為n個(gè)階段，已知最初庫(kù)存量為x1，階段需求量為dk，單位產(chǎn)品的消耗費(fèi)用是Ik，單位產(chǎn)品的階段庫(kù)存費(fèi)用為hk，倉(cāng)庫(kù)容量為mk，階段f,產(chǎn)重=0生產(chǎn)能力為bk，生產(chǎn)固定成本為，產(chǎn)量＞°問(wèn)如何安排現(xiàn)階段的產(chǎn)量，使計(jì)劃期內(nèi)的費(fèi)用綜合為最??？該問(wèn)題本身就是一個(gè)多階段決策問(wèn)題，設(shè)狀態(tài)變量為xk為k階段初的庫(kù)存量，由于計(jì)劃期初的庫(kù)存量x1已知，計(jì)劃期末的庫(kù)存量通常也是給定的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定x(n+1)=0，于是狀態(tài)變量xk的約束條件是：0￡ha€min{Mj十/屮+…I決策變量uk選為階段k的產(chǎn)量，它滿(mǎn)足的約束條件是：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為—叭7，它滿(mǎn)足無(wú)后效性的要求。階段效用由兩階段組成，一部分為生產(chǎn)費(fèi)用，另一部分為存貯費(fèi)用，即：動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：七.設(shè)計(jì)題目：某機(jī)床廠根據(jù)合同，在一至四月份為客戶(hù)生產(chǎn)某種機(jī)床。工廠每月的生產(chǎn)能力為10臺(tái)，機(jī)床可以庫(kù)存，存儲(chǔ)費(fèi)用為每臺(tái)每月0.2萬(wàn)元，每月需要的數(shù)量及每臺(tái)機(jī)床的生產(chǎn)成本如下表。試確定每月的生產(chǎn)量，要求既能滿(mǎn)足每月的需求，又能使生產(chǎn)成本和存儲(chǔ)費(fèi)用之和達(dá)到最小。表需求量及生產(chǎn)成本月份1234需求（臺(tái)）67126生產(chǎn)成本（萬(wàn)元/臺(tái)）77.287.6構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型階段變量k把每個(gè)月作為一個(gè)階段，k=1,2,3,4狀態(tài)變量8選擇每個(gè)階段的庫(kù)存量為狀態(tài)變量耳，可滿(mǎn)足無(wú)后效性，由已知條件可知：x仁x5=0，單位為臺(tái)②決策變量叫設(shè)每個(gè)階段的生產(chǎn)量為決策變量叫，由已知條件得0W叫w10臺(tái)，④狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：耳"1二耳+叫、血「血］是第k階段的市場(chǎng)需求量）階段指標(biāo)人第k階段的指標(biāo)費(fèi)用：幾（令，"巧=0.2衛(wèi)+y（i）叫（叫>0）i=1,2,3,4.或幾（沖,叫）=0.2沖+0（叫=0）其中y仁7,y2=7.2,y3=8,y4=7.6，單位為萬(wàn)元建立基本方程設(shè)最優(yōu)值函數(shù)仇5〕是從第k階段的8狀態(tài)出發(fā)到過(guò)程終結(jié)的最小費(fèi)用，按動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的逆序解基本方程又：人（文J=minUFF*丁已A.,（T...）勺廣上彳，毛）+川5心］（k=4,3,2,1）F5（x5）=0逆序逆推計(jì)算①k=4時(shí)按照問(wèn)題的各種約束條件，確定狀態(tài)變量x4的取值范圍。按窮舉法的思路，在量化的精度內(nèi)，確定狀態(tài)變量x4的全部可能取值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x5=x4+u4-d4又x5=0,d4=6所以有x4+u4=6又因?yàn)槊總€(gè)月的最大生產(chǎn)能力為10臺(tái)。第1,2,3月的需求量為6,7,12臺(tái)，故x4=0,1,2,3,4,4臺(tái)②對(duì)x4的的確定取值，分別求出決策變量u4的取值范圍當(dāng)x4=0,u4=6;x4=3,u4=3x4=1,u4=5;x4=4,u4=2x4=2,u4=4;x4=5,u4=1由此可知x4與u4是一一對(duì)應(yīng)的，即對(duì)于每個(gè)確定的狀態(tài)，只有一種決策，故這唯一決策的結(jié)果是最優(yōu)的。利用第四階段的基本方程進(jìn)行計(jì)算：F4(x4)=min[v4(x4,u4)+f5(x5)]=min[v4(x4,u4)]=v4(x4,u4)=0.2x4+7.6u4(u4>0)或=0.2x4(u4=0)計(jì)算結(jié)果列表1表1k=4時(shí)②k=3時(shí)A+06045.6045.615038.2038.224030.8030.833023.4023.4420160165108.608.6因?yàn)閐3=12,d4=6,x1=x5=0,d1=7.每月的最大生產(chǎn)能力為10臺(tái)，故2三x3三7當(dāng)x3=2,u3=10x3=3，u3=10，x3=4，u3=10，9,x3=5，u3=10，9,8,x3=6，u3=10，9,8,7,x3=7,u3=10,9,8,7,6,5狀態(tài)變量x3的一個(gè)取值,對(duì)應(yīng)決策變量u3的六個(gè)可能取值,要求分別計(jì)算出各個(gè)u3取值相應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)值，再挑選其中的最小值為這個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)值，f3(0).F面利用第三階段的基本方程進(jìn)行計(jì)算。F3(x3)=min【v3(x3,u3)+f4(x4)】其中v3(x3,u3)=0.2x3+8u3(u3>0)或v3(x3,u3)=0.2x3(u3=0)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x4=x3+u3-12計(jì)算結(jié)果位于表2表2表2k=3時(shí)卩上+十沖Qhi>210080.445.6126310180.638.2118.89072.645.6118.2410280.830.8111.69172.838.21118064.845.6110.4

③k=2時(shí)51038123.4104.4927330.8103.8816538.2103.2705745.6102.6610481.21697.29373.223.496.68265.230.8967157.238.295.46049.245.694.8710581.48.6909473.41689.48365.423.488.87257.430.888.26149.438.287.65041.445.687確定x2的取值范圍因?yàn)閤1=0,0三uiw10,且d仁6,且x3三2因此0三x2三4即x2=0,1,2,3,4.對(duì)于x2的每個(gè)確定值，分別求出u2的可能取值X2=0時(shí)，u2=10,9X2=1時(shí)，u2=10,9,8X2=2時(shí)，u2=10，9，8，7X2=3時(shí)，u2=10，9，8，7，6X2=4時(shí)，u2=10，9，8，7，6，5基本方程f2(x2)=min[v2(x2,u2)+f3(x3)]其中v2(x2,u2)=0.2x2+7.2u2(u2>0)或v2(x2,u2)=0.2x2(u2=0)狀態(tài)方程x3=x2+u2-3注：對(duì)上面的u2取值解釋。本來(lái)x2=0時(shí)，u2可取值為10，9，8，7.但由于每個(gè)月的最大生產(chǎn)能力為10臺(tái)且d3=12，所以x3必須大于2臺(tái)，因此u2取值只能為10，9.同理對(duì)于x3取其他可能值，也應(yīng)考慮到x3必須大于2臺(tái)，計(jì)算結(jié)果如下表3.表3k=2

人+010372118.2190.29264.8126190.8110472.2110.4182.69365118.2183.28257.8126183.6210572.4102.61759465.2110.4175.68358118.2176.27250.8126176.8310672.694.8167.49565.4102.61688458.2110.4168.673511