不等式的證明及著名不等式知識梳理及典型練習題(含答案)

不等式的證明及著名不等式一、知識梳理1.三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式(1)定理如果a,b,c均為正數(shù)，那么—3+。^fObc、當且僅當時，等號成立.即三個正數(shù)的算術平均■它們的幾何平均.(2)基本不等式的推廣對于n個正數(shù)ai,a2,…，an,它們的算術平均它們的幾何平均，即ai+m;…+an―n/aa7^,當且僅當B寸，等號成立..柯西不等式一、二維形式的柯西不等式定理1(二維形式的小^西不等式)若a,b,c,d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2當且僅當adbc時,等號成立.二維形式的柯西不等式的變式：⑴Ja2b2vc2d2acbda2b2c2d2acbd定理2(柯西不等式的向量形式)設一「是兩個向量，則「一|當且僅當「是零向量，或存在實數(shù)k,使一k一時，等號成立.平面向量坐標代入，得二維形式的柯西不等式(a12a2)(b2b1)(a1ba2b2)2當且僅當a1b2a2bl時，等號成立.將空間向量的坐標代入，得三維形式的柯西不等式：(a；a2a2)(b2b2及)(&ba2b2a3b3)2當且僅當.「共線時，即,0,或存在一個數(shù)k,使得akb(i1,2,3)時，等號成立.定理3(二維形式的三角不等式)設x1,y1,x2,y2R,那么X12y2xfy2,(X1X2)2(y1y2)2三維形式的三角不等式.x2y；z2.x2y2z2..(x1x2)2(yy2)2(zz2)2二、一般形式的柯西不等式定理(一般形式的柯西不等式)設a1,a2,a3,,an,b1,必b3,,bn是實數(shù)，則(a2a；a2)(b2Mb：)(a1bla2b2anbb)2當且僅當b0(i1,2,,n)或存在一個數(shù)k,使得ajkb/i1,2,,n)時，等號成立.三、排序不等式定理(排序不等式或稱排序原理)設aia?an,bib2bn為兩組實數(shù),ci,C2,?是匕,為，，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anba1Ga2c2ancna1bla2b2anbn,即反序和亂序和順序和，當且僅當a1a22「或匕b2bn時，反序和等于順序和..貝努利不等式若xCR,且x>—1,xwQn>1,nCN,則(1+x)n>1+..證明不等式的方法(1)比較法①作差：知道a>b?a—b>0,a<b?a—b<0,因此要證明a>b,只要證明即可，這種方法稱為求差比較法.a②作冏：由a>b>0?b>1且a>0,b>0,因此當a>0,b>0時要證明a>b,只要證明即可，這種方法稱為求商比較法.(2)綜合法與分析法；(3)反證法、放縮法；(4)數(shù)學歸納法.對于一個與自然數(shù)相關的命題集合，如果：①證明起始命題nrt成立；②假設nk時命題成立，證明nk1也成立；那么可以斷定該命題對一切自然數(shù)成立.二、練習.(2013陜西)已知a,b,m,n均為正數(shù)，且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為.答案2解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)Nac+bd)2,當且僅當ad=bc時匚”成立，得(am+bn)(bm+an)?V0mVan+VbmVbn)2=mn(a+b)2=2..［2014陜西卷］設a,b,m,n€R,且a2+b2=5,ma+nb=5,貝Udm'+d的最小值為.［解析］由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)>r<ia+nb)2,即5(0^+啥>2?當且僅當an=bm時，等號成立，所以^/m2+n2^/5..若a,b,c€(0,十°°)且a+b+c=1,則血+?b+&的最大值為.答案審解析(U+，B+加)2=(1>Va+1%Jb+1>Vc)2^12+12+12)(a+b+c)=3.1當且僅當a=b=c=a時，等號成立.o.(2012福建)已知函數(shù)f(x)=m—|x—2|,mCR,且f(x+2))由勺解集為［—1,1］.⑴求m的值;111(2)若a,b,c￡R,且-+就+^=m,求證：a+2b+3c>9.''a2b3c審題破題(1)從解不等式f(x+2)N)出發(fā)，將解集和［—1,1］對照求m；(2)利用柯西不等式證明.⑴解因為f(x+2)=m-|x|,f(x+2)等價于|x|Sn.由|x|Mn有解，得m冷，且其解集為{x|—mq^n}.又f(x+2)W)的解集為［―1,1］,故m=1.111⑵證明由⑴知&+/+無=1，又a,b,cCR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)；以十,",十亞君十—送?=+5.(2013新課標H(理))選修4—5;不等式選講設a,b,c均為正數(shù)，且abc1,證明:(I)abbcca2(n)r1.【答案】(I)由/4b*3lai.從十2td2Mt制。、匕『￡岫中配+rw,由麴設"(a+i+c)JI1即/十爐，/+2時+女=】.所蹴3(訕+理必4■加寧8$；.&rirtTOC\o"1-5"\h\z<1【)因為二十占孑2d.一十京亭筋*—十叮Mie.bca故g-+*—+右■十(4+白寸r)罌之(口十?即已+士一十匚孌。+A**b叁叁ben所以"+Lb毒016.(2013福建(理))不等式選講：31設不等式x2a(aN)的解集為A,且金A,1A.122(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)|xa||x2|的最小值.【答案】解：(I)因為3A,且1A,所以32a,且12a22223解得1a。，又因為aN，所以a12(H)因為|x1||x2||(x1)(x2)|3當且僅當(x1)(x2)0,即1x2時取得等號，所以f(x)當且僅當(x1)(x2)（2013江蘇卷）［選彳4-5:不定式選講］已知ab>0,求證：2a3b32ab2a2b8.12014江蘇卷][選彳4-5:不等式選講]已知x>0,y>0,證明：(1+x+y2)(1+x2+y)>Xy.證明：因為x>0,y>0,c3一所以1+x+y2>3\/xy2>0,1+x2+y>3x2y>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)>^/x73\fx2y=9xy.9.[2014遼寧卷]選彳4-5:不等式選講設函數(shù)f(x)=2|x—1|+x—1,g(x)=16x2—8xf(x)的解集為M,g(x)04的解集為N.(1)求M；(2)當xCMAN時，證明：x2f(x)+x[f(x)]2弓.3x-3,xC[1,+2,解：(1)f(x)=1—x,x€(一00,1).4當x》l時，由f(x)=3x—301得x青，一.4故14ss3；當x<1時，由f(x)=1—x01得x>q故04<1.4所以f(x)&的勺解集M=x0蟲可.。112(2)由g(x)=16x2-8x+104得16x-4<4,…13解得—4w耳，因此N=x-1雙,，3故man=x0.<4.當xCMAN時，f(x)=1—x,于是x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=xf(x)=〃、112Jx(1-x)=4-X-2q.10.[2014新課標全國卷H]選彳4-5:不等式選講設函數(shù)f(x)=x+1+|x—a|(a>0).a⑴證明：f(x)>?(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)證明：由a>0，有f(x)=x+-+|x—a|>x+~—(x—a)=-+a>^aaa，所以f(x)>2.?c1「，(2)f(3)=3+-+|3-a|.a,1,5+x/21當a>3時，f(3)=a+-，由f(3)<5得3<a<一寸一.a2當0<a03時，f(3)=6—a+1,由f(3)<5得1^5<a<3.a2綜上，a的取值范圍是上耍，紅J21.11.[2014全國新課標卷I]選彳4-5:不等式選講若a>0,b>0,且。'^/^.ab(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?請說明理由.解：(1)由?=1+bq|b，得ab》Z當且僅當a=b=/時等號成立.故a3+b3>2爽，當且僅當a=b=加時等號成立.所以a3+b3的最小值為4叵(2)由(1)知，2a+3b>2加相>4g.由于4>/3>6,從而不存在a,b,使2a+3b=6.

不等式經(jīng)典題型專題練習(含答案)班級:姓名:班級:、解答題、解答題解不等式組:13x解不等式組:13x2x11、——5,并在數(shù)軸上表示不等式組的解集.33x2.若不等式組2x(xa2.若不等式組2x(xa2b的解集為-1<x<1,求(a+1)(b-1)的值.3.已知關于x,y的方程組xym的解為非負數(shù)，求整數(shù)m的值.

5x3y31x2y14.由方程組得到的x、y的值都不大于1,求a的取值范圍.x2ya

-2)-405.解不等式組：，2x+1并寫出它的所有的整數(shù)解.----1②」…，5x2y11a18,……，6.已知關于x、y的方程組y的解滿足x>0,y>0,求實數(shù)a的取2x3y12a8值范圍.x206.求不等式組x6.求不等式組x1x32.求適合不等式-1K-2a-5<3的a.求適合不等式-1K-2a-5<3的a的整數(shù)解..已知關于x的不等式組的整數(shù)解共有5個，求a的取值范圍.x2yk…9,若二元一次方程組｛的解xx2y4y,x2yk…9,若二元一次方程組｛的解xx2y4y,求k的取值范圍5x13x410.解不等式組1并求它的整數(shù)解的和.-x<2x211.已知x,y均為負數(shù)且滿足:2xym3D…/士*用,求m的取值范圍.xy2m②12.解不等式組2x2x53(x2)13x.12,把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來,并寫出不等式組的非負整數(shù)集.若方程組2xym2的解是一對正數(shù)，則:xy2m5(1)求m的取值范圍(2)化簡：m411m2.我市一山區(qū)學校為部分家遠的學生安排住宿，將部分教室改造成若干間住房.如果每間住5人，那么有12人安排不下；如果每間住8人，那么有一間房還余一些床位，問該?？赡苡袔组g住房可以安排學生住宿？住宿的學生可能有多少人？.某賓館一樓客房比二樓少5間，某旅游團有48人，如果全住一樓，若按每間4人安排，則房間不夠；若按每間5人安排，則有的房間住不滿5人.如果全住在二樓，若按每間3人安排，則房間不夠；若按每間4人安排，則有的房間住不滿4人，試求該賓館一樓有多少間客房？.3個小組計劃在10天內生產(chǎn)500件產(chǎn)品（計劃生產(chǎn)量相同），按原先的生產(chǎn)速度,不能完成任務；如果每個小組每天比原先多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，就能提前完成任務。每個小組原先每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？.學校將若干間宿舍分配給七年級一班的女生住宿，已知該班女生少于35人，若每個房間住5人，則剩下5人沒處?。蝗裘總€房間住8人，則空一間房，并且還有一間房也不滿；則學校有多少間宿舍，七年級一班有多少名女生？.為了參加2011年西安世界園藝博覽會，某公司用幾輛載重為8噸的汽車運送一批參展貨物.若每輛汽車只裝4噸，則剩下20噸貨物；若每輛汽車裝滿8噸，則最后一輛汽車不空也不滿.請問：共有多少輛汽車運貨？.某校選派一部分學生參加“六盤水市馬拉松比賽”，要為每位參賽學生購買一頂帽子.商場規(guī)定：凡一次性購買200頂或200頂以上，可按批發(fā)價付款；購買200頂以下只能按零售價付款.如果為每位參賽學生購買1頂，那么只能按零售價付款，需用900元；如果多購買45頂，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需用900元.問：(1)參賽學生人數(shù)x在什么范圍內？(2)若按批發(fā)價購買15頂與按零售價購買12頂?shù)目钕嗤?，那么參賽學生人數(shù)x是多少？.實驗中學為了鼓勵同學們參加體育鍛煉，決定為每個班級配備排球或足球一個，已知一個排球和兩個足球需要140元，兩個排球和一個足球需要230元.(1)求排球和足球的單價.(2)全校共有50個班，學校準備拿出不超過2400元購買這批排球和足球，并且要保3證排球的數(shù)量不超過足球數(shù)量的7,問：學校共有幾種購買方案？哪種購買方案總費用最低？.5月12日是母親節(jié)，小明去花店買花送給母親，挑中了象征溫馨、母愛的康乃馨和象征高貴、尊敬的蘭花兩種花，已知康乃馨每支5元，蘭花每支3元，小明只有30元，希望購買花的支數(shù)不少于7支，其中至少有一支是康乃馨.(1)小明一共有多少種可能的購買方案？列出所有方案；(2)如果小明先購買一張2元的祝福卡，再從(1)中任選一種方案購花，求他能實現(xiàn)購買愿望的概率..學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎品.已知甲圖書的單價是乙圖書單價的1.5倍；用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本.(1)甲、乙兩種圖書的單價分別為多少元？(2)若學校計劃購買這兩種圖書共40本，且投入的經(jīng)費不超過1050元，要使購買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量，則共有幾種購買方案？.為了提高服務質量，某賓館決定對甲、乙兩種套房進行星級提升，已知甲種套房提升費用比乙種套房提升費用少3萬元，如果提升相同數(shù)量的套房，甲種套房費用為625萬元，乙種套房費用為700萬元.(1)甲、乙兩種套房每套提升費用各多少萬元？(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套，市政府籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級提升，市政府對兩種套房的提升有幾種方案？哪一種方案的提升費用最少？(3)在(2)的條件下，根據(jù)市場調查，每套乙種套房的提升費用不會改變，每套甲種套房提升費用將會提高a萬元(a>0),市政府如何確定方案才能使費用最少？.如圖，用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力1也越來越大.當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次一.已2知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊(木塊足夠厚)，且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2cm,若鐵釘總長度為acm,求a的取值范圍..關于x的不等式組：{32xa0(1)當a=3時，解這個不等式組；(2)若不等式組的解集是xv1,求a的值.27.某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房的成本和售價如表：AIf成本《萬丁一套廠iF督價￡力」■建)|30|34(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種方案？(2)該公司如何建房獲利利潤最大？(3)根據(jù)市場調查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a0),且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何