平幾2.三角形五心2外心講師版

2授課方式或線下 （線下填）授課教學(xué)點2：外心到三角形三頂點距離相等，反之亦成立。3：O為ABCO為ABC（1）BOC2A，AOC2B，AOB（2）OB=OC，切BOC4：a,b,c,R,S，則Sabc（由正弦定理得出5：三角形外心到三邊的有向距離（外心與三角形在邊的同一側(cè)為正，異側(cè)為負(fù)）之和等于其外接圓半徑與內(nèi)例1（1990年高中數(shù)賽）四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDPDAPO1、O2、O3、O4OP、O1O3、O2O4三直線共點．DDOC3POA1FB證明∵O為⊿ABCD1D12CPOAF3BO3FDE∴PO3⊥AB，即∴O1O3POO1O3PO的中點．同理，O2O4PO中點．2（1950年匈牙利競賽試題）如圖所示，在△ABC中，AB=ACCAPABQ，使AP=BQ，求證：△ABCOA、P、Q四點共圓。PAPAEFB COBE=AFRt△OPF≌Rt△OQE，于是∠P=∠QO、A、P、Q四點共圓。3在△ABC的邊AB，BC，CAP，Q，S。證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似.O1，O2，O32=12

∠O2O1K=2

2

同理有∠O1O2O3=∠B.CA、CB易證△AEC≌△BFCCA=CBCDDA=DB，CD=CD，1故∠CDA=∠CDB2（360°-1AP=CP=PDP是△ACD的外心。知：∠CDA=180°2∠APCCD交ABO1CO⊥AB，AO=BO=2

2

5

19BD=求證：△ABCBC邊上的旁切圓半徑。注：△ABCBCAB、ACBCNONOIBDMCKra= =aha，故只須證明R= 即可。連AI并延長交⊙O于K，連OK交BC于M，則K、M分

ha

R

IKaBCBCOK⊥BCOK∥ADOK=R，故h=AD=IAIAaKBaha 故只須證IA=

IN⊥ABABN

KB，可證IA=AN（22屆IMO）O的等半徑的圓位于一個給定三角形的內(nèi)部，并且每個圓都相切于這個三角形的兩條邊。求證：這個三角形的內(nèi)心、外心、O點三點共線。MH點M、N分

AFNOFNO KMBEBK=CHOB、OC、OK，∴B、C、HO觀察

sin

KH=3又 ∴MH+NH=MH+KM=KH=33MH3 OOMAH1H2A1A2H1H2∥A1A2，H1H2=A1A2．故四邊形A1A2A3A4≌四邊形A1A2A3A4H1H2H3H4H3H4M1M1O1⊥H3H4，且M1O1=MOO1H1H2H3H4的外接圓圓心． (3(cosβ+cosγ+cos)，3(sinβ+sinγ+sin))、(3(cosγ+cos+cosα)，3(sinα+sin+sinγ)) 從而，⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心依次是而H1、H2、H3、H4點與點O1(cosα+cosβ+cosγ