復變函數與積分變換：第2講

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§3復數的乘冪與方根1、乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2.注意其幾何意義.2結論

兩個復數的商的模等于它們的模的商，兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差.32、冪與根2.1定義z的n次冪：則有—---棣美弗公式.2.2定義z的n次根：若有wn=z,則稱w為z的n次根，記為定義4如何求z的n次根呢？5注：1．任一非零復數開n次方，有且僅有n個不同的根；

2．它們均勻分布在以原點為中心，r1/n為半徑的圓周上.

xyo6例2.例1.78§4區(qū)域，單連通，多連通1、區(qū)域的概念1.1鄰域：復平面上以z0為中心，半徑為δ的圓內所有點組成的集合稱為z0的一個鄰域,記為去心鄰域：由不等式0<|z-z0|<δ所確定的點集。以下設G為一平面點集.1.2內點為G中一點，若存在的某個鄰域，該鄰域內的所有點都屬于G，則稱為G的一個內點.

91.3開集

若G內的每一點都是內點，則稱G是開集.連通是指1.4區(qū)域

設D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區(qū)域.D-區(qū)域內點外點1.5邊界與邊界點

若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；D的所有邊界點組成D的邊界.P101.6閉區(qū)域:區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域，記作.1.7有界域與無界區(qū)域：如果區(qū)域D可以包含在一個以原點為中心的圓里面，則稱D為有界的；否則稱為無界的.例如表示一個閉區(qū)域.例如112、簡單曲線（或Jordan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b

有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線.2.1122.2重點設連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點.

2.3定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jordan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線.

z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線133.單連通域與多連通域2.4簡單閉曲線的性質

任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部外部邊界定義

復平面上的一個區(qū)域B，如果B內的任何簡單閉曲線的內部總在B內，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域.14

例|z|<1是單連通區(qū)域；而|z|>1是多連通區(qū)域.注：1.多連通區(qū)域的一個顯著特點：內部含有洞或裂縫.2.任一簡單閉曲線將復平面分為內、外兩部分，內部單連通，外部多連通.3.屬于單連通區(qū)域D內的任何一條簡單閉曲線，在D內可以經過連續(xù)的變形而縮成一點.單連通區(qū)域多連通區(qū)域15§5復變函數的極限與連續(xù)性1、復變函數的定義定義設G是一個復數z=x+iy的集合,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數z,就有一個或幾個復數w=u+iv與之對應,則稱復變數w是復變數z的函數(簡稱復變函數),記作：

w=f(z).

如果z的一個值對應著w的一個值,則函數f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數值集合.16

在以后的討論中,定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數均為單值函數.

由于給定了一個復數z=x+iy就相當于給定了兩個實數x和y,而復數w=u+iv亦同樣地對應著一對實數u和v,所以復變函數w和自變量z之間的關系w=f(z)相當于兩個關系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數.17如:2、映射：映射是現代數學中的一個常用概念.

ABab。。

定義：若對集合A中的任一元素a，按照某種對應關系f，總有集B中的元素b相對應，則稱f是集合A到集合B的一個映射，記為f:a→b，a、b分別稱為映射的原象和象.18oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數值集合zw=f(z)w19例1考察的映射性質.解：記原象點，則象點

因此，象點與原象點相比，模是原來的平方，幅角是原來的二倍.除此而外,我們還不難發(fā)現，這一映射還具有這樣的特性：

將頂點在原點的角形域映成角形域，只不過夾角擴大為二倍.如：將z平面第一象限映成w平面一、二象限,即上半平面;將單位圓映成單位圓.所以在該映射下,20圖示oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=421例2.函數把z平面上的曲線映成w平面什么曲線?解：原曲線的方程為：記則----這就是象曲線的實參數方程.消去參數，得這是一個圓周.于是象曲線方程為：思考:曲線在映射的像是何圖形?22

3、復變函數的反函數定義設w=f(z)的定義集合為G,函數值集合為G*,G*中的每一個點w必將對應著G中的點.按照函數的定義，在G*上就確定了一個單值（或多值）函數，它稱為w=f(z)

的反函數，也稱為映射w=f(z)逆映射.則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數（逆映射）.當它們都是單射時,稱為一一對應.234、函數的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中.24注：從形式上來看，復變函數的極限定義與一元實函數是完全類似的，但實際上二者有很重要的區(qū)別.主要是因為在復平面上，變量z趨于z0的方式有無窮多種，可以從不同的方向，既可以沿直線，也可以沿曲線.這一點跟二元函數的極限有相似之處.

所以，如果僅憑某幾個特殊方向，還不能判斷極限存在。如果方向不同，變化趨勢也不一樣，則極限一定不存在.例如討論當時25相關性質定理的重要意義在于將復變函數的極限問題轉化為兩個二元實函數的極限問題，這是在高等數學中已經討論過的問題.26證明：27反過來285、函數的連續(xù)性

定理229由此，復函數的連續(xù)性問題也轉化為相應的實問題.本定理的證明可根據定理1立即得到.相關性質30根據定理2和定理3還可推得:定理4.1)連續(xù)函數的和、差、積、商(分母不為零)

仍是連續(xù)函數.2)