(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方（2）加法法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。和乘法原理乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）常見排列順序問題（4）隨機(jī)如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這試驗(yàn)和隨機(jī)事件種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示。（5）基本基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。事件、樣本空間和事件一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，（6）事件也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。的關(guān)系與運(yùn)A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳菟愕?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，（7）概率設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若的公理化定滿足下列三個(gè)條件：義1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。1°，2°。（8）古典設(shè)任一事件，它是由組成的，則有概型P(A)==若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同（9）幾何此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱A，概型。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)公式P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）減法當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)公式當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為為事件A發(fā)生條（12）條件概率。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有公式…………。（14）獨(dú)立①兩個(gè)事件的獨(dú)立性性設(shè)事件、滿足的。，則稱事件、是相互獨(dú)立，則有若事件、相互獨(dú)立，且若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。設(shè)事件1°滿足兩兩互不相容，，（15）全概2°，（分類討論的公式則有。設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，（已經(jīng)知道結(jié)果求原因則（16）貝葉斯公式，i=1，2，…n。，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。此公式即為貝葉斯公式。，（，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了次試驗(yàn)，且滿足◆每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；◆次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；（17）伯努否是互不影響的。◆每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與利概型這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機(jī)變量及其分布（1）離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即隨機(jī)變量的事件(X=X)的概率為kP(X=xk)=pk，k=1,2,…，分布律則稱上式為離散型隨機(jī)變量的形式給出：的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續(xù)型設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)隨機(jī)變量的，有分布密度，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)積分元在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與變量的關(guān)系（4）分布函設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°2°；是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有；；3°4°5°，，即是右連續(xù)的；。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，（5）八大分0-1分布。P(X=1)=p,P(X=0)=q布二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為發(fā)生的概率為。事件。發(fā)生的次數(shù)，其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布均勻分布，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b其他，在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。則稱隨機(jī)變量分布函數(shù)為a≤x≤b≤≤0，x<a，1，x>b。當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,0,,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布。或高斯（Gauss）分布，記為具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2°當(dāng)時(shí)，，則為最大值；若的分布函數(shù)為。。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。。（6）分位數(shù)下分位表：上分位表：；。第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分離散型布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2………yj………x1x2p11p21p12p22p1jp2jxipi1……這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）f(x,y)≥0;（2）（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)布函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分離散型布X的邊緣分布為Y的邊緣分布為；。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分離散型布在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：函數(shù)h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1x圖3.1y1O2x圖3.2ydcOabx圖3.3（9）二維正設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為態(tài)分布其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y