拉格朗日中值定理幾種特殊證法

屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):指導(dǎo)教師:專業(yè):系別:完成時(shí)刻：年月學(xué)生誠(chéng)信許諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文《關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法》是我個(gè)人在導(dǎo)師王建珍指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究功效。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究功效，也不包括為取得長(zhǎng)治學(xué)院或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所利用過(guò)的材料。所有合作者對(duì)本研究所做的任何奉獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。簽名：日期：論文利用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解長(zhǎng)治學(xué)院有關(guān)保留、利用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)校能夠發(fā)布論文的全數(shù)或部份內(nèi)容，能夠采用影印、縮印或其他復(fù)制手腕保留論文。簽名：日期：指導(dǎo)教師聲明書本人聲明：該學(xué)位論文是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究功效，已經(jīng)審閱過(guò)論文的全數(shù)內(nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部份中英文內(nèi)容的一致性和準(zhǔn)確性。指導(dǎo)教師簽名：時(shí)亥上拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的一些理論推導(dǎo)中起著重要作用，本論文為了更準(zhǔn)確的理解拉格朗日中值定理，介紹了其幾種特殊的證明方式.第一本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明,其中在分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法，在幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了作差構(gòu)造法、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法;第二，應(yīng)用了區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理證明法對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明;最后，本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻，還將其應(yīng)用到求極限,證明函數(shù)性態(tài)等具體問(wèn)題中.關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理;區(qū)間套定理;巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理SeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematicsTutorWANGJian-zhenAbstractLagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducationsinHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticularmethodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheoremprecisely.Firstofall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliaryfunctiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,originalfunctionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectofgeometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoorconstructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformationmethod;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandtheBanachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smeanvaluetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateandotherissues.KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;TheBanachfixedpointtheorem摘要II拉格朗日中值定理在高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的一些理論推導(dǎo)中起著重要作用，本論文為了更準(zhǔn)確的理解拉格朗日中值定理介紹了其幾種特殊的證明方式.第一本文從分析和幾何的角度構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明,其中在分析法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了推理法、原函數(shù)法、行列式法及弦傾角法，在幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)中應(yīng)用了作差構(gòu)造法、面積構(gòu)造法和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法;第二，應(yīng)用了區(qū)間套定理證明法和巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理證明法對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了證明;最后，本文為能將拉格朗日中值定理表述更為深刻，還將其應(yīng)用到求極限，證TOC\o"1-5"\h\z明函數(shù)性態(tài)等具體問(wèn)題中II\o"CurrentDocument"引言1定理（羅爾中值定理）U］若函數(shù)f知足如下條件：1定理（拉格朗日中值定理）⑵若函數(shù)f知足如下條件：1\o"CurrentDocument"利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)1證明方式（推理法）2證明方式（原函數(shù)法）2證明方式（行列式法）3證明方式（弦傾角法）3利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)4證明方式（作差法）4證明方式（面積法）5證明方式（旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法）55.利用巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理證明7求極限8證明不等式9證明等式9證明函數(shù)性態(tài)10估值問(wèn)題10證明級(jí)數(shù)收斂11\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)12\o"CurrentDocument"致謝13關(guān)于拉格朗日中值定理的幾種特殊證法08404141趙夏燕數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

指導(dǎo)教師王建珍引言微分中值定理作為微分學(xué)中的重要定理，是微分學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，是微分學(xué)的核心理論.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，它們是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具，其中拉格朗日中值定理是核心，從這些定理的條件和結(jié)論能夠看出羅爾定理是其特殊情形，柯西定理和泰勒定理是其推行.第一回顧下拉格朗日中值定理和它的預(yù)備定理一羅爾中值定理.定理(羅爾中值定理)［1］若函數(shù)f知足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)；f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得f'G)=0.定理(拉格朗日中值定理)⑵若函數(shù)f知足如下條件：(i)f在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)；(ii)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得f句=竺嚴(yán).b-a講義上給出了拉格朗日中值定理的大體證法，在此基礎(chǔ)上，下面給出了拉格朗日中值定理的幾種特殊證明方式.利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值定理中的兩個(gè)條件與羅爾中值定理中的前兩個(gè)條件相同，二者的區(qū)別僅僅在于區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值是不是相等，基于這種關(guān)系，自然想到構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使它知足羅爾中值定理的條件，從而是不是由羅爾中值定理的結(jié)論導(dǎo)出拉格朗日中值定理的結(jié)論呢?事實(shí)上解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造的那個(gè)輔助函數(shù)F⑴要在[a,b]的端點(diǎn)有相同的函數(shù)值，即F(a)=F(b),以下將對(duì)如何利用分析法構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行深切的分析.證明方式(推理法)由拉格朗日中值定理結(jié)論f'(提=f(b)—f,可知其右端是一個(gè)常數(shù)，故b-a可設(shè)f(b)-f(a)=們則有f(b)-f(a)=k(b-a)，即f(b)-kb=f(a)-ka仔細(xì)觀b-a察其特點(diǎn)，不難發(fā)覺一個(gè)能使F(a)=F(b)的新函數(shù)：F(x)=f(x)-kx,故F(x)就是證明中所要利用的輔助函數(shù).證明進(jìn)程如下：令F(x)=f(x)-kx，其中k=f(b)-f(a),由題設(shè)可知，F(xiàn)(x)在[a,b]上持續(xù),b-a在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),即F(x)知足羅爾中值定理，故在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得F任)=f'(&)-k=0,即f'(&)=f(b)-f(a)證畢.b-a證明方式(原函數(shù)法)這種方式是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù).由拉格朗日中值定理的變形f(b)-f(a)=ff(&)(b-a)得f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,令&=x得ff(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,兩邊積分可得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x+c=0,取c=0得f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x=0,若令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,容易驗(yàn)證F(a)=F(b)=bf(a)-af(b),知F(x)知足羅爾中值定理的條件，所以F(x)就是所求的輔助函數(shù)，證明進(jìn)程如下：令F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,xe[a,b],因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以至少存在一點(diǎn)&e(a,b)，使得

F任)=0,又F'(提=f'(&)(b-a)-[f(b)-f(a)],所以即f'(&)=f(b)—f(")，證b一a畢.證明方式(行列式法)af(a)1由于想取得F(a)=F(b)，故可按照行列式的性質(zhì)⑶，設(shè)F(x)=bf(b)1,xf(x)1所以能夠取得輔助函數(shù)而且知足F(a)=F(b)=0.證明如下：af(a)1設(shè)F(x)=bf(b)1xG[a,b],則由行列式的性質(zhì)可得F(a)=F(b)=0，所xf(x)1以F(x)知足羅爾中值定理，因此至少存在一點(diǎn)&G(a,b)，使得F(提=0，又afaf(a)1a-bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)11f'(x)01f(x)0=f(a)一f(b)+f(x)(b一a),所以F'(&)=f(a)-f(b)+f'(&)(b-a)=0，即f(&)=f(?一f(a)b-a證明方式(弦傾角法)目的是為了取得F(a)=F(),設(shè)連接持續(xù)曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},兩頭點(diǎn)A和8的弦為AB(圖1)，其傾傾斜角為9,則TOC\o"1-5"\h\z兀?！?lt;9<,22cos9b-af(b)cos9-bsin9=cos9b-af(b)cos9-bsin9=f(a)cos9-acos9,也即有所以令F(x)=f(x)cos9-xsin9,如此所取得的輔助函數(shù)F(x)就可以知足要求,證明如下：…WJo,,一~一設(shè)F(x)=f(x)cos0-xsin0,其中曲線L:{(x,f(x))Ia<x<b},如上圖所示,且一土<0v%,則可得F(x)知足羅爾中值定理的條件，故至少存在一點(diǎn)22&e(a,b)，使得F'(提=0，又F'(提=f'(&)cos0-sin0，所以f'(&)=f(b)-f(a)b-a證畢.利用幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著超級(jí)直觀的效果,對(duì)于微分中值定理的證明，利用幾何圖形的特性觀察分析，一樣能夠作出適合的輔助函數(shù),下面用不同的方式來(lái)加以說(shuō)明.證明方式(作差法)因?yàn)榍€L與其弦赫別離在x=a和x=b兩點(diǎn)的高度對(duì)應(yīng)相同(如圖1)，所以不妨考慮過(guò)曲線方程和弦方程的差來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)，于是令F(x)=f(x)-[f(?f(a)(x-a)+f(a)],b-a或F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-b)+f(b)],b-a則可得F(a)=F(b),因此所構(gòu)函數(shù)F(x)知足羅爾中值定理.證明方式如下：設(shè)F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)(x-a)+f(a)],F(x)在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù)，b-aF(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以F(x)知足羅爾中值定理，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使F任)=0,即F'(&)=f(&)-f^f=0,b-a整理可得f(&)=f(b)一f(a).b-a證明方式(面積法)如圖1所示，曲線L上任意一點(diǎn)P3,f(x))與弦A8組成AABP的面積S(x)恰好在區(qū)間[a,b]上知足羅爾中值定理的三個(gè)條件，AABP的面積af(a)1S(x)=2bf(b)1,

xf(x)1而當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或B重合時(shí)，即x=a或x=b時(shí)，S(x)=0,因此加以化解可引入af(a)1輔助函數(shù)F(x)=bf(b)1,xe[a,b],現(xiàn)在F(a)=F(b)=0.證明方式如下：xf(x)1af(a)1令F(x)=bf(b)1,xe[a,b],則由行列式性質(zhì)容易驗(yàn)證F(a)=F(b)=0，xf(x)1所以F(x)知足羅爾中值定理的三個(gè)條件,所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得F0)=0，又af(a)1a一bf(a)-f(b)0F'(x)=bf(b)1=bf(b)1=f(a)-f(b)+f'(x)(b-a),1f'(x)01f'(x)0所以昨)=f(a)-f(b)+f'(^)(b-a)=0,即f0)=f(2—f(a)b一a證明方式(旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸法)如下圖2所示，按弦AB的傾斜角旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，可使新坐標(biāo)系的X軸與原坐標(biāo)系中的弦AB平行,則原曲線的方程在旋轉(zhuǎn)變換下必然知足羅爾中值定理的條件,通過(guò)羅爾中值定理則可得出結(jié)論.證明如下：

fX、=xcos0+jsin0h按照新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系(-.八八，[Y=fX、=xcos0+jsin0h按照新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系(-.八八，[Y=—xsin0+jcos0*令Y(x)=-xsin0+f(x)cos0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，所以函數(shù)Y(x)在閉區(qū)間［a,b］上持續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，又由tan0=f(b)一f0),即如=f(b)-f(。)，可得b—acos0b—a—asin0+f(a)cos0=—bsin0+f(b)cos0,即Y(a)=Y(b),從而由羅爾中值定理可得，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得Y?)=0,即Y'(&)=—sin0+f(&)cos0=0,故)=fb)f.b—a利用閉區(qū)間套定理證明引理1(區(qū)間套定理)⑷若是閉區(qū)間系列｛［',bn］｝知足下列條件則存在唯一實(shí)數(shù)&e[a,b](n=1,2,)，且有l(wèi)ima=&=limb.nnnnnT8nT8引理2［5］若是f(x)在［a,b］上持續(xù)，那么必定存在c,de(a,b)，使得b—ad—c=壬，f(d)一f(c)=f(b)一f(b—a利用引理1和引理2,即可證明拉格朗日中值定理，反復(fù)利用引理2則可得區(qū)間序列｛[a.,bn]｝，知足[a,b]n[a,b]n[a,b]n...,

1122b-a=-2-(b-a),f(b,,-a,,)=f(b)-f(a)b-a由區(qū)間套定理得必有He[a,b]u(a,b)(n=1,2,…),使得因?yàn)閒3）在&處可導(dǎo)，所以由導(dǎo)數(shù)的概念得「f(b)-f&)「f(a)-f(H)〃建、lim—.————=lim————-——=f(H),n—3b—Hn—3a—H從而當(dāng)nT8時(shí)，有f(b「-f(H)=f低)-(bn-H)+。(片一H),f(an)-f(H)=f'(H)?(an-H)+°(an-H),f(b-a)=ff(H)+°(bY)-°(a~H)b-ab-ab-annnnnn又因?yàn)閘im°(b「H)=lim(°(bnY)_b-a八b-HnT3nsrnnslim°(an-g)=lim(°(an_&)n—3b—an—3a—Hnnsa-H)=0,b-a所以從而有l(wèi)imf(叩-f(叩=f(H)，n—3b—af^=f(H).b一a5.利用巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理證明引理3(巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理)［6］在完備的氣宇空間中的緊縮映射必存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).顯然,任意閉區(qū)間在通常的歐幾里得氣宇下是完備的，由此可證在［a,b］上凸或凹的函數(shù)f(x)的拉格朗日中值定理.對(duì)任意小的￡>0,在閉區(qū)間［a+8,b-8］上構(gòu)造自映射Ax=x-f'(x)+f(b)一f⑷.

b一a能夠證明A是一個(gè)緊縮映射［7］,事實(shí)上，對(duì)于x,xe［a+￡,b-8］,不妨設(shè)xvx,1212則有|Ax2-Ax^\=|(x2-xi)-［f'(x2)-f叫)］|,假設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上是凹的，那么f'(x)在區(qū)間［a+8,b-8］內(nèi)單調(diào)增加，所以f(x)-f(x)>0,從而必然存在21一個(gè)數(shù)人e(0,1)，使得0罰(x2-xi)vf'(x2)一f，(xi),因此|Ax2-AxJ<|x2-氣1(11)，所以A是閉區(qū)間［a+8,b-8］上的緊縮映射，由引理3得，存在唯一的一點(diǎn)&e(a,b)，使得Ag=&，于是f(b)-f(a)=f(&)，b-a故定理得證.6.拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理作為中值定理的核心，有著普遍的應(yīng)用，在很多題型中都起到了化繁為簡(jiǎn)的作用.求極限由拉格朗日中值定理指出，若是f在［a,b］持續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則有f(b)-f(a)=f'(&)(b-a)av&vb，因此對(duì)Vxe(a,b)，有f(x)—f(a)=f(&)(x—a)a〈&vx,(1)公式(1)表明，求某些差式的極限，可轉(zhuǎn)化為求積式型的極限，以化簡(jiǎn)極限的計(jì)算或解決某些運(yùn)算,用別的方式求不出極限式子.固然也要具體情形具體分析，并非是所有差式型的極限都能適合于運(yùn)用中值定理，應(yīng)以簡(jiǎn)便為原則選用.問(wèn)題求limn2(%x-n坦:x)(x>0).ns解令f(t)=xt，則對(duì)任何自然數(shù)n,f(t)在［-L,1］上知足拉格朗日中n+1n值定理的條件，而且f(t)=xtlnx是t上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，因此在［-L,1］上由拉n+1n格朗日中值定理，得n2(nx—n+1x)=n2[f(1)—f(」)]=n2f'(&)(1--^-)="2x&lnx，nn+1nn+1n(n+1)—<&<-!-，當(dāng)n—+8時(shí),&—0,n+1n故原極限二lim—n—x&lnx=lnx.n—8n(n+1)證明不等式證明不等式的方式有很多，但對(duì)于某些不等式，用初等解法不必然能解得出來(lái)，例如描述函數(shù)的增量與自變量增量關(guān)系的不等式或中間一項(xiàng)能夠表示成函數(shù)增量形式等的題型.這時(shí)若是考慮用拉格朗日中值定理,會(huì)比變較容易簡(jiǎn)單.問(wèn)題證明|sinx—siny|<|x—y|.證明設(shè)f(x)=sinx，顯然f(x)在［x,y］上知足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以存在&g(x,y)，使得f(x)—f(y)=f'G)(x-y),即sinx—siny=(x—y)cos&,又因?yàn)閨cos&|<1,因此有|sinx—siny|<|x—y|.證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是其應(yīng)用中很重要的一項(xiàng).證明的目標(biāo)在于湊出形式類似于拉格朗日中值定理的式子.問(wèn)題證明當(dāng)|x|<1時(shí)，有arcsinx+arccosx=兀；2.證明設(shè)fG)=arcsinx+arccosx,xeL1,1」，顯然f(x)eC[—1,1],而且f(x)11在(—1,1)上可微，f(x)=(arcsinx+arccosx)=.一.=0，由拉格朗日中值定理的推論可得f(x)=常數(shù)，xel—1,1］，又因?yàn)?e(—1,1),且xeL1,1].f(0)=arcsin0+arccos0=兀2,故arcsinx+arccosxeL1,1].證明函數(shù)性態(tài)因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ頊贤撕瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時(shí)候咱們能夠借助它的導(dǎo)數(shù),研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個(gè)概念域區(qū)間上的整體熟悉.例如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)、單調(diào)性、一致持續(xù)性、凸性等，都可能用到拉格朗日中值定理的結(jié)論.通過(guò)對(duì)函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，是數(shù)學(xué)研究中的一種重要方式.問(wèn)題設(shè)f(x)eC(a,+8),f'(x)在(a,+8)存在,而且f(a)=0,當(dāng)x>a時(shí)，f'(x)>0，求證當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>0.證明Vx1>a，由已知得f(x)在［a,氣］上知足拉格朗日中值定理，毛e［a,氣］,使f(氣)一f(a)=f(&)?-a),因?yàn)閒任)>0,x「a>0,所以f(x「=f(&)(尤］一a)>0,所以Vx1>a，有f'(x「>0,即Vxe(a,+8),有f(x)>0.估值問(wèn)題證明估值問(wèn)題，一般情形下選用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便.專門是二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時(shí).但對(duì)于某些積分的估值,能夠采用拉格朗日中值定理來(lái)證明.問(wèn)題設(shè)f〃(x)在［a,b］上持續(xù)，且f(a)=f(b)=0，試證明』a|f"(x)|dx>—-—max|f(x)|.bb―aa<x<b證明若f(x)三0,不等式顯然成立.若f(x)不恒等于0,存在ce(a,b)，使max|f(x)|=f(c),在［a,c］及［c,b］上別離用拉格朗中值定理，得a<x<b作)=也f)=知,1c-a2c-b從而f(c)(b—a)(b—c)(c—a)jT廣⑴版』&i|f〃⑴dx|盤&1f〃(x)dx=1尸&)-尸(&)1=b&&21再由(f(c)(b—a)(b—c)(c—a)4證明級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題若一正項(xiàng)級(jí)數(shù)芝a(a>0)發(fā)散，s=a+a++a，證明級(jí)數(shù)nnn12nn=1切土(6>0)收斂.S1+8n=1n證明作輔助函數(shù)f(x)=才，則f'(x)=—XL-，當(dāng)n>2時(shí)，在［sn1，七］上用拉格朗日中值定理，可得f(U一f(SQ=f仕)(S<&<S),S—Snn—1nn于是工〈―=-±)，s1+6g1+66s6s6由￡L(上-—)收斂[8],可得所證.6S6S6n=2n—1n7.結(jié)語(yǔ)本文初步探討了拉格朗日中值定理定理的幾種特殊證法，其中給出了分析法構(gòu)造輔助函數(shù)、幾何法構(gòu)造輔助函數(shù)、區(qū)間套定理法和巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理法.幾何法是利用圖形的特征進(jìn)行分析，從而構(gòu)造出需要的輔助函數(shù)，與分析法有異曲同工之妙；區(qū)間套定理法和巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理法，它們不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，也能夠證明，雖說(shuō)是一種專門好的證法，可是比較抽象難懂.最后對(duì)拉格朗日中值定理在求極限、證明不等式、證明等式、證明函數(shù)性態(tài)、估值問(wèn)題、證明級(jí)數(shù)斂散性六方面的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的介紹，從而使咱們加深對(duì)拉格朗日中值定理的熟悉.參考文獻(xiàn)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[