2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第17講 直線的斜率問(wèn)題（解析版）

第17講直線的斜率問(wèn)題參考答案與試題解析一．解答題（共18小題）1．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．所以，，．所以橢圓的離心率．（Ⅱ）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且垂直于軸，所以可設(shè)，．直線的方程為．令，得．所以直線的斜率．（Ⅲ）直線與直線平行．證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅱ）可知．又因?yàn)橹本€的斜率，所以．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．設(shè)，，，，則直線的方程為．令，得點(diǎn)．由，得．所以，．直線的斜率為：，因?yàn)樗裕C上，直線與直線平行．2．設(shè)橢圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）橢圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)題意得：，即①，把代入橢圓方程得：，把代入①得：，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線與直線平行．證明如下：過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，可設(shè)，，，直線的方程為：，令，得，直線的斜率．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．又直線的斜率，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，令，則點(diǎn)，直線的斜率，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理，得，，，，即；綜上所述，直線與直線平行．3．如圖，，分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，2是與的等差中項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，若過(guò)作直線垂直于，并交直線于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．【解答】（1）解：，，．由2是與的等差中項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)．，解得，，．橢圓的方程為．（2）證明：直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立，化為，，，，，．直線的方程為：，把代入上述方程可得，．，．，，，三點(diǎn)共線．4．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）方法一、時(shí)，橢圓的方程為，，直線的方程為，代入橢圓方程，整理可得，解得或，則，由，可得，由，，可得，整理可得，由無(wú)實(shí)根，可得，即有的面積為；方法二、由，可得，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由．可得直線的斜率為1，直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，，，，，則的面積為；（Ⅱ）直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，（補(bǔ)充求，的縱坐標(biāo)的方法：設(shè)，，則直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，可得，因此的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為即有，，由，可得，整理得，由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，即有，即有，可得，即的取值范圍是，．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于（不同于點(diǎn)的），兩點(diǎn)．試判斷直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意，橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，則，，則．所以橢圓的方程為．（2）根據(jù)題意，①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得，解得．此時(shí)直線的方程為．直線與軸的交點(diǎn)為．②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立得．設(shè)，，，，則，且△，即．而，由題意知，，即，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，滿足．直線的方程為，此時(shí)與軸的交點(diǎn)為．故直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，坐標(biāo)為．6．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，為橢圓的半焦距，且．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，與橢圓分別交于另兩點(diǎn)，，若線段的中點(diǎn)在軸上，求此時(shí)直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，橢圓過(guò)點(diǎn)，可得，解得，，所以橢圓的方程為：．．（4分）（Ⅱ）設(shè)，，，，則，兩式相減得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以，從而可得．（7分）若，則，．因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，所以，所以，得．又因?yàn)椋越獾?，所以，或，．所以直線的方程為．（10分）若，則，，因?yàn)?，所以，得．又因?yàn)?，所以解得或，?jīng)檢驗(yàn)：滿足條件，不滿足條件．綜上，直線的方程為或．（13分）．7．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線的右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）如圖，過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，求直線的方程．【解答】解：（1）由題意，，解得，雙曲線的方程為；（2）由已知直線的斜率存在，設(shè)，則，即，聯(lián)立，得．設(shè)，，，，，解得．，，又，，，，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，，即．，則，得或．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與右頂點(diǎn)重合，不合題意舍去；②當(dāng)時(shí)，代入，解得，滿足條件．直線的方程為或．8．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，且與一條漸近線交于點(diǎn)，又，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）判斷，，三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由；（3）求三角形面積的最小值．【解答】解：（1），，，雙曲線的方程為；（2）由（1）可知，，由題意直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，代入整理得，設(shè)，，，，則，．由韋達(dá)定理知，所以．因?yàn)橄蛄抗簿€，所以，，三點(diǎn)共線．（3）因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于點(diǎn)，，所以，得．，令，則，，，又，所以，即時(shí)，三角形面積的最小值18．9．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解答】解：（1），，與軸垂直，，由，解得或，，或，直線的方程為，，證明：（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，，當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，，當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，，，，則，，直線，的斜率之和為，之和為，由，得，將代入可得，，，從而，故，的傾斜角互補(bǔ)，，綜上．10．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程．（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？（說(shuō)明理由）【解答】解：聯(lián)立，不妨取，，由曲線可得：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，其切線方程為：，化為．同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．存在符合條件的點(diǎn)，下面給出證明：設(shè)滿足．，，，，直線，的斜率分別為：，．聯(lián)立，化為，，．．當(dāng)時(shí)，，直線，的傾斜角互補(bǔ)，．點(diǎn)符合條件．11．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由．【解答】解：（1）聯(lián)立，可得，，或，．，故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即．故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即．故所求切線方程為或．（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)為符合題意的點(diǎn)，，，，，直線，的斜率分別為，．將代入得方程整理得．，．．當(dāng)時(shí)，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故，所以符合題意．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且也是拋物線的焦點(diǎn)，為橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)是否在軸上存在一點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由．【解答】解：（1）也是拋物線的焦點(diǎn)，，，且拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，，，，解得，，橢圓方程為，（2）假設(shè)存在滿足．設(shè)，，，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有，①，其中△恒成立，由（顯然，的斜率存在），故即②，由，兩點(diǎn)在直線上，故，，代入②整理有③，將①代入③即有：④，要使得④與的取值無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)““時(shí)成立，綜上所述存在，使得當(dāng)變化時(shí)，總有．13．一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線相切．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，若軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn)．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，則由拋物線定義易得：點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：（2）設(shè)兩點(diǎn)，，，，設(shè)不垂直于軸的直線：，則有：，所以：，因?yàn)檩S是的角平分線，所以：，即：，即：則：，所以：，，所以直線過(guò)定點(diǎn)14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）若過(guò)點(diǎn)，且，求的斜率；（2）若，且的斜率為，當(dāng)時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍（用表示），并證明的平分線始終與軸平行．【解答】解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入拋物線方程可得，即，所以，但，故直線的斜率存在，設(shè)其方程為．由得，設(shè)，，，，則，所以，解得，所以直線的斜率為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，．得，則．由△，得．又，所以，從而在軸上的截距的取值范圍為．，所以直線，的斜率互補(bǔ)，從而的平分線始終與軸平行．15．如圖，若是拋物線上的一定點(diǎn)不是頂點(diǎn)），動(dòng)弦、分別交軸于、兩點(diǎn)，且．證明：直線的斜率為定值．【解答】證明：設(shè)，，直線的斜率為，方程為．則直線的斜率為，方程為．由點(diǎn)的坐標(biāo)為．（5分）同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以，所以直線的斜率為定值．（10分）16．已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的兩條直線、分別交拋物線于點(diǎn)、和、，線段和的中點(diǎn)分別為、．如果直線與的傾斜角互余，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)直線的方程為，令，，，．聯(lián)立得，，根據(jù)拋物線的定義得，又，又，，．則此拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)直線、的傾斜角分別為、，直線的斜率為，則．由于直線、的傾斜角互余，則，則直線的斜率為．于是直線的方程為，即，聯(lián)立得，，則，，，同理將換成得：，，．則直線的方程為，即，顯然當(dāng)，．所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．17．已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為．（1）設(shè)，，，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值．【解答】解：（1）依題意，直線的方程為，由點(diǎn)到直線間的距離公式得：點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以；?dāng)與時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立；（2）方法一：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去解得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，設(shè)，則，同理可得，，所以．方法二：設(shè)直線、的斜率分別為、，則，所以，，，、，在橢圓上，，即，所以，即，所以．18．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于