高中數(shù)學(xué) 3.1.4 概率的加法公式 新人教B必修3

3.1.4概率的加法公式

編輯ppt一、互斥事件、事件的并、對立事件1．互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件（或稱為互不相容事件）;2．事件的并：由事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生）所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并（或和）。記作C=A∪B（或C=A+B）。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所組成的集合。編輯ppt3．對立事件：不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互為對立事件。事件A的對立事件記作.例1.拋擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”.已知P(A)=，P(B)=，求“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率。這里的事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，這種不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件編輯ppt設(shè)事件C為““出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”或2點(diǎn)”，它也是一個(gè)隨機(jī)事件。事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個(gè)發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和)編輯ppt設(shè)事件C為““出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”或2點(diǎn)”，它也是一個(gè)隨機(jī)事件。事件C與事件A、B的關(guān)系是：若事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A，B中至少有一個(gè)發(fā)生，我們稱事件C為A與B的并(或和)如圖中陰影部分所表示的就是A∪B.編輯ppt例2.判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明理由。某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。編輯ppt解：（1）是互斥事件；（2）不可能是互斥事件；（3）不可能是互斥事件；（4）是互斥事件；編輯ppt例3.判斷下列給出的每對事件，（1）是否為互斥事件，（2）是否為對立事件，并說明理由。從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1~10各4張）中，任取1張：（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”。編輯ppt解：（1）是互斥事件，不是對立事件；（2）既是互斥事件，又是對立事件；（3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件；所以對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件。編輯ppt假定事件A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。二、互斥事件的概率加法公式證明：假定A、B為互斥事件，在n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為n1，事件B出現(xiàn)的頻數(shù)為n2，則事件A∪B出現(xiàn)的頻數(shù)正好是n1+n2，所以事件A∪B的頻率為編輯ppt如果用μn(A)表示在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率，則有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.編輯ppt在求某些較為復(fù)雜事件的概率時(shí)，先將它分解為一些較為簡單的、并且概率已知（或較容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功效，但需要注意的是使用該公式時(shí)必須檢驗(yàn)是否滿足它的前提條件“彼此互斥”.編輯ppt例1中事件C：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率是事件A：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”的概率與事件B：“出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例4.在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和小明考試及格的概率.編輯ppt解：分別記小明的成績在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件是彼此互斥的.根據(jù)概率的加法公式，小明的考試成績在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考試及格的概率為P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.編輯ppt對立事件的概率若事件A的對立事件為A，則P(A)=1－P(A).證明：事件A與A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，而由必然事件得到P(Ω)=1,故P(A)=1－P(A).編輯ppt在上面的例題中，若令A(yù)=“小明考試及格”,則A=“小明考試不及格”如果求小明考試不及格的概率，則由公式得P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.即小明考試不及格的概率是0.07.編輯ppt例5.某戰(zhàn)士射擊一次，問：（1）若事件A=“中靶”的概率為0.95，則A的概率為多少？（2）若事件B=“中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0.7，那么事件C=“中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率為多少？（3）事件D=“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”的概率是多少？編輯ppt解：因?yàn)锳與A互為對立事件，（1）P(A)=1－P(A)=0.05；（2）事件B與事件C也是互為對立事件，所以P(C)=1－P(B)=0.3；（3）事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率減去未中靶的概率，即P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25編輯ppt例6.盒內(nèi)裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，設(shè)事件A為“取出1只紅球”，事件B為“取出1只黑球”，事件C為“取出1只白球”，事件D為“取出1只綠球”.已知P(A)=，P(B)=,P(C)=，P(D)=，求：（1）“取出1球?yàn)榧t或黑”的概率；（2）“取出1球?yàn)榧t或黑或白”的概率.編輯ppt解：（1）“取出紅球或黑球”的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=；（2）“取出紅或黑或白球”的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=。又（2）A∪B∪C的對立事件為D，所以P(A∪B∪C)=1－P(D)=即為所求.編輯ppt例7.某公務(wù)員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具去開會(huì)的概率為0.5，請問他有可能是乘何種交通工具去的？編輯ppt解：記“他乘火車去”為事件A，，“他乘輪船去”為事件B，“他乘汽車去”為事件C，“他乘飛機(jī)去”為事件D，這四個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們彼此互斥，（1）故P(A∪C)=0.4；（2）設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P=1－P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火車或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機(jī)去。編輯ppt練習(xí)題：1．每道選擇題有4個(gè)選擇項(xiàng)，其中只有1個(gè)選擇項(xiàng)是正確的。某次考試共有12道選擇題，某人說：“每題選擇正確的概率是1/4，我每題都選擇第一個(gè)選擇項(xiàng)，則一定有3題選擇結(jié)果正確”這句話（）（A）正確（B）錯(cuò)誤（C）不一定（D）無法解釋B編輯ppt2．從1，2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)。在上述事件中，是對立事件的是（）（A）①（B）②④（C）③（D）①③C編輯ppt3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是,乙獲勝的概率是，則甲不勝的概率是（）A.B.C.D.B編輯ppt4.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C編輯ppt5.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）A.至多兩件次品B.至多一件次品C.至多兩件正品D.至少兩件正品B編輯ppt6.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)(g)范圍內(nèi)的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68C編輯ppt7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03、丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（）A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96D編輯ppt8.某射手射擊一次擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.3，0.3，0.2，那么他射擊一次不夠8環(huán)的概率是

。0.29.某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

.兩次都不中靶編輯ppt10.我國西部一個(gè)地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：年降水量/mm［100，150）［150