函數(shù)與方程-課件

函數(shù)與方程函數(shù)與方程函數(shù)與方程函數(shù)與方程知識(shí)梳理1．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)a處的________，即______．則a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).2．方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有______?函數(shù)y＝f(x)有______．3．(1)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；(2)并且滿足__________．那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)c∈(a，b)，使________．滿足上面條件(1)、(2)后，在(a，b)內(nèi)存在的c不一定只有一個(gè)．

知識(shí)梳理交點(diǎn)零點(diǎn)f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函數(shù)值等于零知識(shí)梳理1．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)a處的____知識(shí)梳理

知識(shí)梳理一分為二零點(diǎn)知識(shí)梳理知識(shí)梳理一分為二零點(diǎn)

知識(shí)梳理有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根無實(shí)根有兩個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)二重零點(diǎn)無零點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無交點(diǎn)知識(shí)梳理有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根無實(shí)根有兩要點(diǎn)探究?探究點(diǎn)1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

要點(diǎn)探究[思路]分別確定分段函數(shù)在各段解析式中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[答案]B

要點(diǎn)探究?探究點(diǎn)1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)要點(diǎn)探究[思路]

要點(diǎn)探究[解析]當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x＞0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，選B.[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)(不是點(diǎn))，就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是判斷方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)，有時(shí)也可以根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如：要點(diǎn)探究[解析]當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x

要點(diǎn)探究變式題求函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

[解答]在同一坐標(biāo)系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個(gè)零點(diǎn)．

要點(diǎn)探究變式題求函數(shù)y＝lnx＋2x－?探究點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)位置的判斷

要點(diǎn)探究[思路]對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù)，在區(qū)間[a，b]內(nèi)尋根，往往需要利用零點(diǎn)的存在性定理判斷，即判斷f(a)f(b)<0是否成立．

例2判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．?探究點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)位置的判斷要點(diǎn)探究[思

要點(diǎn)探究[解答](1)方法一：因?yàn)閒(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn)．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函數(shù)f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn)．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零點(diǎn)．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零點(diǎn)．[點(diǎn)評(píng)]零點(diǎn)的存在性定理是判斷連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是否存在零點(diǎn)的定理，該定理只能判斷存在零點(diǎn)，不能判斷區(qū)間[a，b]不存在零點(diǎn)，即如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)f(b)>0，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上也可能存在零點(diǎn)，如：要點(diǎn)探究[解答](1)方法一：因?yàn)閒(1)＝－20＜0

要點(diǎn)探究變式題[2009·天津卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(

)A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)

C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)

D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)要點(diǎn)探究變式題[200

要點(diǎn)探究

[答案]D

[解答]由題意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3，＋∞)上為增函數(shù)，在點(diǎn)x＝3處有極小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故選擇D.要點(diǎn)探究[答案]D[解答]由題意得f′?探究點(diǎn)3二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題

例3已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍．

要點(diǎn)探究[思路]設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制．

?探究點(diǎn)3二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題例3

要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了二次函數(shù)、二次方程以及二次不等式等的基本關(guān)系，有效地訓(xùn)練對(duì)“三個(gè)二次”的整體理解與掌握，解題過程中的數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想方法．

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了二次函數(shù)、二次方程以及二次不

要點(diǎn)探究變式題

求a為何值時(shí)，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實(shí)根．

要點(diǎn)探究變式題求a為何值時(shí)，方程9－|x?探究點(diǎn)4利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

例4(1)若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

要點(diǎn)探究[思路]函數(shù)的類型為初等函數(shù)，因此可以利用方程的思想求解?探究點(diǎn)4利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)例4(1)

要點(diǎn)探究[思路]通過圖象變換法作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．

(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，即|4x－x2|＋a＝0有四個(gè)根，即|4x－x2|＝－a有四個(gè)根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四個(gè)根，那么g(x)與h(x)的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)．故需滿足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范圍是(－4,0)．要點(diǎn)探究[思路]通過圖象變換法作出函數(shù)的圖象

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)形結(jié)合法是解決利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)問題的基本思想，其要點(diǎn)是通過構(gòu)造函數(shù)，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)形結(jié)合法是解決利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

要點(diǎn)探究變式題

已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|－5，當(dāng)方程f(x)＝a有三個(gè)根時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．要點(diǎn)探究變式題已知函數(shù)f(x)＝x|x規(guī)律總結(jié)

規(guī)律總結(jié)1．方程的根(從數(shù)的角度看)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(從形的角度看)、函數(shù)的零點(diǎn)是同一個(gè)問題的三種不同的表現(xiàn)形式．

2．函數(shù)零點(diǎn)的求法：

(1)代數(shù)法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．

(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

(3)二分法：主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．

規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1．方程的根(從數(shù)的角度看)、函數(shù)

規(guī)律總結(jié)3．要注意對(duì)于在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)，若x0是f(x)的零點(diǎn)，卻不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0僅是f(x)在[a，b]上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件．

4．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)．

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變，也可能改變．

5．用二分法求零點(diǎn)的近似解時(shí)，所要求的精確度ε不同，得到的結(jié)果也不同．精確度為ε是指在計(jì)算過程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，若其長(zhǎng)度小于ε，即認(rèn)為已達(dá)到所要求的精確度，可停止計(jì)算．精確度為0.001與精確到0.001是不同的．

規(guī)律總結(jié)3．要注意對(duì)于在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)

函數(shù)與方程函數(shù)與方程函數(shù)與方程函數(shù)與方程知識(shí)梳理1．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)a處的________，即______．則a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).2．方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有______?函數(shù)y＝f(x)有______．3．(1)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；(2)并且滿足__________．那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)c∈(a，b)，使________．滿足上面條件(1)、(2)后，在(a，b)內(nèi)存在的c不一定只有一個(gè)．

知識(shí)梳理交點(diǎn)零點(diǎn)f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函數(shù)值等于零知識(shí)梳理1．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)a處的____知識(shí)梳理

知識(shí)梳理一分為二零點(diǎn)知識(shí)梳理知識(shí)梳理一分為二零點(diǎn)

知識(shí)梳理有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根無實(shí)根有兩個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)二重零點(diǎn)無零點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無交點(diǎn)知識(shí)梳理有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根無實(shí)根有兩要點(diǎn)探究?探究點(diǎn)1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

要點(diǎn)探究[思路]分別確定分段函數(shù)在各段解析式中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[答案]B

要點(diǎn)探究?探究點(diǎn)1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)要點(diǎn)探究[思路]

要點(diǎn)探究[解析]當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x＞0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，選B.[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)(不是點(diǎn))，就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是判斷方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)，有時(shí)也可以根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如：要點(diǎn)探究[解析]當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x

要點(diǎn)探究變式題求函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

[解答]在同一坐標(biāo)系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個(gè)零點(diǎn)．

要點(diǎn)探究變式題求函數(shù)y＝lnx＋2x－?探究點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)位置的判斷

要點(diǎn)探究[思路]對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù)，在區(qū)間[a，b]內(nèi)尋根，往往需要利用零點(diǎn)的存在性定理判斷，即判斷f(a)f(b)<0是否成立．

例2判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．?探究點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)位置的判斷要點(diǎn)探究[思

要點(diǎn)探究[解答](1)方法一：因?yàn)閒(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn)．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函數(shù)f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn)．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零點(diǎn)．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零點(diǎn)．[點(diǎn)評(píng)]零點(diǎn)的存在性定理是判斷連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是否存在零點(diǎn)的定理，該定理只能判斷存在零點(diǎn)，不能判斷區(qū)間[a，b]不存在零點(diǎn)，即如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)f(b)>0，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上也可能存在零點(diǎn)，如：要點(diǎn)探究[解答](1)方法一：因?yàn)閒(1)＝－20＜0

要點(diǎn)探究變式題[2009·天津卷]設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(

)A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)

C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)

D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)要點(diǎn)探究變式題[200

要點(diǎn)探究

[答案]D

[解答]由題意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3，＋∞)上為增函數(shù)，在點(diǎn)x＝3處有極小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故選擇D.要點(diǎn)探究[答案]D[解答]由題意得f′?探究點(diǎn)3二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題

例3已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍．

要點(diǎn)探究[思路]設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制．

?探究點(diǎn)3二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題例3

要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了二次函數(shù)、二次方程以及二次不等式等的基本關(guān)系，有效地訓(xùn)練對(duì)“三個(gè)二次”的整體理解與掌握，解題過程中的數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想方法．

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了二次函數(shù)、二次方程以及二次不

要點(diǎn)探究變式題

求a為何值時(shí)，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有實(shí)根．

要點(diǎn)探究變式題求a為何值時(shí)，方程9－|x?探究點(diǎn)4利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

例4(1)若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

要點(diǎn)探究[思路]函數(shù)的類型為初等函數(shù)，因此可以利用方程的思想求解?探究點(diǎn)4利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)例4(1)

要點(diǎn)探究[思路]通過圖象變換法作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．

(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，即|4x－x2|＋a＝0有四個(gè)根，即|4x－x2|＝－a有四個(gè)根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四個(gè)根，那么g(x)與h(x)的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)．故需滿足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范圍是(－4,0)．要點(diǎn)探究[思路]通過圖象變換法作出函數(shù)的圖象

要點(diǎn)探究[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)形結(jié)合法是解決利