合肥工業(yè)大學(xué)電磁場與電磁波孫玉發(fā)版答案

/102（r,） [1L（a）3]E°rcos2 0r空腔內(nèi)、外的電場為E1 1（r,）￡-2空腔表面的極化電荷面密度為-E。，E202(r,)E0打0)E0(a)3[er2cosresin]30(2-0）E0cos04.17一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度P。P（1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于 一；0（2）證明：球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子 P產(chǎn)生同 4R3冋，丁。解（1）當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分

所求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生的場。 由于是均勻極化，不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極度為nP2ra ( 0)e" E2rP化電荷面密題4.17的電場相布，本題中介質(zhì)球體內(nèi)球內(nèi)、外的pPnPer介質(zhì)球內(nèi)、外的電位限值；② 2（r,） 0（rPcos1和2滿足的邊界條件為①）；1(0,)為有③ 1(R,)2（R,）；0(1r◎rRrPcos因此，可設(shè)球內(nèi)、由條件③，有解得外電位的通解為ARR,A旦30，i(r,)A1rcos2(r,B12cosro(AiBi詈)PR337內(nèi)的電位i(r,Prcos30P

z

30的電場為Ei_Pez30 30介質(zhì)球外的電位為4R3P―2 cos0r32orcos，其中4R33為介質(zhì)球的體積1 P。故介質(zhì)球外的電場為 E2 2（r,） er 2e——24/（e^cos esin）rrr4 0r可見介質(zhì)球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子 P產(chǎn)生的電場相同。4.20一個(gè)半徑為a的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與xy平面重合，中心在原點(diǎn)上，環(huán)上總電荷量為Q，如題4.20圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為2rP2(cosa43r ,Ri(cos)L8aTV2——P2(cos2r4)3— P4(cos8r(ra)(ra)解以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面解，并利用4.20題a把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個(gè)場域的通函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷 Q表示成球面面密度（cos）條件確定系數(shù)。ra內(nèi)、外的電位分別為1（r,）和2（r,），則1(0,2(r,）為有限值;）0（r③ 1(a,)0( 1 2)rr根據(jù)條件①和②，可得1(r,) ArnR(cos)n02(a,Q2a21(r,)和(cos2(r,）的通解為(1)，2(r,Bnrn01Fn(cos)(2)代入條件③，有AnanBnan1(3) [Anan1n0Bn(n1)a2]Pn(COSQ2oa(cos)(4)將式（4）兩端同乘以Pm（cos）sin，并從0到對進(jìn)行積分，得AnnanBn(nn21)a(2n1)Q4 0a0(cos)Pn(cos)sin(2n 1)Q40a2Pn(0)(5)其中0Pn(0) (1)n2135L(n1)246LnLL由式（3）和（5），解得代廠%卞0），40aBnQan4 0Pn(0)，代入式（1）和（2），即得到Q “1r、 3r11P2(cos)-P4(cos )L40a2a8a24Q1a3a21——P2(cos)—P4(cos)L40r2r8r24(ra)(ra)★【4.22］如題4.22圖所示，一個(gè)點(diǎn)電荷q放在60的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)（1,1,0）處求：（1）所有鏡像電荷的位置和大?。唬?）點(diǎn)x2,y1處的電位。解（1）這是一個(gè)多重鏡像的問題，共有5個(gè)像電荷，分布在以點(diǎn)電荷q到角域頂點(diǎn)的距離為半徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平面對稱，其電荷量的大小等于 q，且正負(fù)電荷交錯(cuò)分布，其大小和位置分別為yqsq4題4.22X12cos750.366q1q,q2q,y1、2sin751.366X3、、2cos1951.366q3q,y3、、2sin1950.366X4、、2cos2850.366q4q,y4、、2sin2851.366X5-2cos3151q5q,y5、一2sin3151x2 .2cos1651.366y2 ,2sin165 0.366qgqg生生広生