微積分和應用第三章習題解答

..1.〔1===14.03〔22.〔1====<2><3>=<4>3.<1>=<2><3>=<4>=4.<1>==<2>==5.解：6〔1首先判斷函數(shù)的連續(xù)性時連續(xù),時連續(xù),在時,由于所以函數(shù)在處連續(xù)下面判斷可導性在處===由于故函數(shù)在處可導〔2函數(shù)在處不連續(xù),從而在處不可導。<3>由于即所以函數(shù)在處連續(xù)。又由于即所以函數(shù)f<x>在處可導<4>由于所以函數(shù)在處連續(xù)又由于則所以在處不可導7解：時時時所以在處可導且且8解：由于處連續(xù)故又由于在處可導故只需時,函數(shù)在處可導9解：由于又由于在處連續(xù),所以則10解：由于則故在處的切線方程為在法線方程為11解：要使只需即解得和則在和處拋物線12解：在處由于為有界函數(shù),則由于故13.證明：在曲線上任取一點〔,曲線在處的切線方程為令解得令解得所以,切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為由的任意性即證結(jié)論成立練習3.21.求下列函數(shù)的導數(shù)2.〔1.由于所以〔2.由于故<3>.由于故3.4.<1>方程兩邊關(guān)于求導解出得〔2方程兩邊關(guān)于求導解出得〔3方程兩邊關(guān)于求導解出〔4方程兩邊關(guān)于求導解出得5.<1>方程兩邊取自然對數(shù)則〔2方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導則〔3方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導則〔4方程兩邊取自然對數(shù)上式兩邊關(guān)于求導則6.〔1由參變量方程求導法則可得〔2〔3〔47.解：在等式中令,則故由導數(shù)定義得：8.解：由于在處連續(xù),則故又由于有連續(xù)的導數(shù),且當時當時則當時即聯(lián)立求解可得：9.對方程兩邊取自然對數(shù)得對上式兩邊關(guān)于求導解出,可得10.解：由于故11.解：由于又當時當時在處故12.〔1〔2<3><4>13.<1>設可導,且對上式兩邊關(guān)于求導,且由復合函數(shù)的求導法則可得即可知為奇函數(shù)〔2不妨設可導,且為奇函數(shù)。則上式兩邊關(guān)于求導即則函數(shù)為偶函數(shù)〔3不妨設可導且周期為,則對任意的,有對上式兩邊關(guān)于求導,則則知仍為周期函數(shù),且周期為。14.解：設圓的半徑為,則由于與都是時間的函數(shù),且3.41.解：由于所以又由于則故2.〔1〔2〔3〔4〔5對兩邊關(guān)于求導解出則3.〔1〔2〔3〔4〔5〔64.解：由則〔1令,,則〔2令,,〔3令,,〔4令,,5.解：〔1令,,,則當很小時,由近似公式可得〔2解：令,,,則當很小時,由近似公式可得6.解：由于則7.解：令球的半徑為,體積為,則可知是的函數(shù)。,,則由近似公式3.51.證明：由于在上連續(xù),在內(nèi)處處存在,且。故在上滿足羅爾定理。則在內(nèi)至少存在一點,使得即解得證明：由于函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)處處存在,且。則令解得3.證明：由于和在上連續(xù),且和在內(nèi)處處存在,且在內(nèi)恒不等于0.則在上滿足柯西中值定理,且令解出則滿足條件中的4、解：由于在、、內(nèi)連續(xù),且在區(qū)間、、內(nèi)可導,且、、,可見在、、內(nèi)滿足羅爾定理的條件,這由羅爾定理可知,在、、內(nèi)至少存在一個,使得,則可知至少有三個根,又由于是三次方程,故只有三個根。5．〔1令易見在上連續(xù),且在內(nèi)可導,則由拉格朗日中值定理,存在.使得又由于,則即6.令,易見在上連續(xù),在內(nèi)可導,則由拉格朗日中值定理,存在,使得又由于,則即又由于,則即則6.〔1證明：令由于在上連續(xù),在內(nèi)可導,且在上由羅爾定理可得又由于故對任意的,,即證?！?令由于在上連續(xù),在內(nèi)可導,且對任意的=0又由于故對任意的7.證明：令由題意在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導,且則,由羅爾定理可得,在內(nèi)存在一點,使得故方程至少有一根介于0與之間?！?證明：令,易見、在上連續(xù),在內(nèi)可導,則由柯西中值定理可得,存在使得即整理可得,即證。8．證明：由于,由題意可得：在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,則由羅爾定理,在內(nèi)至少存在,使得同理,在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,在內(nèi)至少存在一點,使得讓在上應用羅爾定理,則存在,使得,即證。9．解：由于不妨猜想下面用數(shù)學歸納法證明猜想成立。當n=1時,顯然成立。當n=k時,當時==則證猜想成立。故則的n階邁克勞林展示為==習題3.6練習3.61.求下列極限〔1；〔2〔為常數(shù)；〔3；〔4；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10.解<1>從而<2>〔3<4>〔5〔6<7>由于則故有〔8<9>由于則故有<10>〔太難！ 2.求下列極限：〔1；〔2;〔3；〔4；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10.解〔1<2>〔3<4><太難><5>由于則<6><7>由于.<8>由于則<9>由于則<10>3.求下列極限〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6〔.解<1>由于且則<2><3><4>其中<5>由于則<6><太難>4.驗證下列極限存在,但不能用洛必達法則求出.〔1；〔2.證明：由于則但是<2>但是5.求下列極限：〔1；〔2；〔3；〔4解<1><2><3><4>由于則6.設二階可導,且,,,試求.解：習題3.71.〔1函數(shù)的定義域為,令解得用它們把定義域可分成三個區(qū)間：,,利用導數(shù)判定單調(diào)性表.-1300↗↘↗由此可看出,函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.<2>函數(shù)的定義域為令,得用它把定義域可分成兩個區(qū)間：利用導數(shù)判定單調(diào)性表.0↘↗由此可看出,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.〔3函數(shù)的定義域為,令解得用它把定義域可分成四個區(qū)間：利用導數(shù)判定單調(diào)性表.000↗↘↘↗由此可見函數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在,上單調(diào)減少.<4>函數(shù)的定義域為,令解得用它把定義域可分成兩個區(qū)間：利用導數(shù)判定單調(diào)性表.000↗↘↗↘由此可見函數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.<5>函數(shù)的定義域為,令解得用它們把定義域可分成三個區(qū)間：,,利用導數(shù)判定單調(diào)性表.-2000↗↘↗由此可看出,函數(shù)在和內(nèi)單調(diào)增加；在上單調(diào)減少.<6>函數(shù)的定義域為,由于所以函數(shù)在上單調(diào)增加.2.<1>令由于時且則即〔2令由于時且則即<3>令由于且由于當時則在時單調(diào)遞增,又由于則單調(diào)遞增又由于即有〔4令由于則當時單調(diào)遞增,即,則〔5令由于再令由于在時則從而在時從而單調(diào)遞減,則當時,有即3.證：令由于則在[0,1]上單調(diào)遞增.又由于在[0,1]上連續(xù),在<0,1>內(nèi)可導,且則由介值定理可知存在,使得即知方程在<0,1>內(nèi)有根,又有單調(diào)性可知有且只有一個根.4.證：令由于則單調(diào)遞減.又由于連續(xù),可導,且則由介值定理可知方程在有根,又有單調(diào)性可知有且只有一個根.？、5.令由于則單調(diào)遞減.6.當時,令解得且即單調(diào)遞增,由于單調(diào)遞減.當時,從而單調(diào)遞增.由此可知在單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.7.<1>函數(shù)的定義域為令得駐點以這些點把定義域分成三個部分,列表如下：2+00+↗極大值28↘極小值1↗<2>函數(shù)的定義域為令得駐點以這些點把定義域分成四個部分,列表如下：+0+00+↗無極值↗極大值↘極小值0↗<3>函數(shù)的定義域為令得駐點函數(shù)在時不可導,以這些點把定義域分成四個部分,列表如下：010+0不可導+↘極小值0↗極大值↘極小值0↗〔4函數(shù)的定義域為令得駐點以這些點把定義域分成兩個部分,列表如下：00↘極小值0↗<5>函數(shù)的定義域為令得駐點以這些點把定義域分成兩個部分,列表如下：+0↗極大值↘<6>函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為令得駐點以這些點把定義域分成三個部分,列表如下：020+0↘極小值0↗極大值↘8.由,由于函數(shù)在和處均取得極值,則解得又由于則從而函數(shù)在出取得極小值,在處取得極大值.9.解：〔1在上連續(xù),且,由得駐點,且,在上的最大值為3,最小值為0.〔2由可得,又,有最小值且無最大值.<3>,即為單減函數(shù),最小值為最大值為〔4令得,又所以的最大值為最小值為.10.解：設圓柱形的底半徑為,高為,由體積可得.則圓柱形的表面積,由得又,底半徑時有極小值,即用料最省,此時,高11.解：設截掉的小正方形的邊長為,則,所得方盒的底邊長為,高為,則其體積為,由得駐點,且,所以,時體積有極大值即最大值為12.解：設圓柱形的底半徑為,則高為,制作這一容器的費用則由得駐點,且,當時容器有極小值即最小值,此時高為13.解：平均成本,則由可得駐點,且,產(chǎn)量時,有最小值,即平均成本最低.14.解：產(chǎn)量,收益,由得駐點,且,即時收益有極大值即最大值,且.15.解：牛仔褲的需求量,收益,成本,則利潤.由得駐點,且,即時利潤有極大值即最大值.16.解：設分批進貨,則手續(xù)費與運輸費為元,庫存費為元,則總費用為由0得,又取值為整數(shù),時,時,,？？？17.解：設稅收為每件元,則總稅收為于是利潤函數(shù)為,令得唯一駐點又所以就是利潤最大時的銷售量；將帶入得,令得,又,所以,時,總稅收額最大. 18.解：略.19.解：,令得,且時,函數(shù)單調(diào)遞增時,函數(shù)單調(diào)遞減,時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,時,有極值時,有極值20.解：21.解：〔1,,令得拐點：,,且在內(nèi)為凸函數(shù),在內(nèi)為凹函數(shù).〔2,對有即在內(nèi),函數(shù)為凸的,且五拐點.〔3,,因此,在內(nèi),函數(shù)為凹的,且五拐點.〔4,令得且,則在內(nèi),函數(shù)為凸的；在內(nèi)函數(shù)為凹的；在內(nèi)函數(shù)為凸的；在內(nèi),函數(shù)為凹的；拐點為.〔5,令得,且在內(nèi)函數(shù)為凸的,在內(nèi),函數(shù)為凹的,拐點為〔6令得且在內(nèi)函數(shù)為凸的,在內(nèi),函數(shù)為凹的,拐點為22.解：證明：〔1令則曲線在內(nèi)是凹的,對,有,即〔2令時,即曲線是凹的,對有,即〔3令則時,曲線是凹的,即對,有,所以,即23.解：.由已知,即①②即③即④聯(lián)立方程①②③④得24解：,令得,此時,時,得拐點,此點處的切線斜率為,法線斜率為,法線方程為,法線過原點可得,即時,得拐點此點處的切線斜率為,法線斜率為,法線方程為,過原點得,即25.解：,由得即即得曲線的拐點為26.證明：,由可得,即解得,,即得3個拐點,,,即,即三點在一直線上.27.解：〔1時,,為鉛直漸近線,時,,為水平漸近線；〔2時,,為鉛直漸近線,時,,為斜漸近線；〔3時,,為鉛直漸近線,由為斜漸近線；〔4時,,為水平漸近線,時,,為鉛直漸近線.28.略.29略.練習3.81.求下列函數(shù)的邊際函數(shù)〔1；〔2.解<1>函數(shù)的邊際函數(shù)為<2>函數(shù)的邊際函數(shù)為2.設生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位的總成本為：,求當時的總成本、平均成本及邊際成本,并解釋邊際成本的經(jīng)濟意義.解總成本平均成本邊際成本邊際成本的經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為10個單位時,再增加一個單位,成本將增加5個單位.3.某商品的價格關(guān)于需求量的函數(shù)為,求：〔1總收益函數(shù)、平均收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)；〔2當個單位時的總收益、平均收益和邊際收益.解：<1>收益函數(shù)平均收益函數(shù)為邊際收益函數(shù)<2>當個單位時的總收益、平均收益和邊際收益分別為：4.設巧克力糖每周的需求量〔單位：公斤是價格〔單位：元的函數(shù)求當元時,巧克力糖的邊際需求量,并說明其經(jīng)濟意義.解：由于,其經(jīng)濟意義為：巧克力糖的價格由原來的10元在增加1元,則需求量將減少0.432公斤.5.某企業(yè)的總利潤函數(shù)為,其中表示總利潤,單位：元,表示每月的產(chǎn)量,單位：噸,試確定每月生產(chǎn)20噸,25噸,35噸的邊際利潤,并作出經(jīng)濟解釋.解：由于邊際利潤函數(shù)為每月生產(chǎn)20噸,25噸,35噸的邊際利潤分別為經(jīng)濟解釋為：當產(chǎn)量為每月20噸時,再增加1噸,利潤將增加50元；當產(chǎn)量為每月25噸時,再增加1噸,利潤不變；當產(chǎn)量為每月35噸時,再增加1噸,利潤將減少100元.6.設某產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為,,其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量,求：〔1邊際成本函數(shù),邊際收入函數(shù)、邊際利潤函數(shù)；〔2已生產(chǎn)并銷售25個單位產(chǎn)品,第26個單位產(chǎn)品會有多少利潤？解：<1>邊際成本函數(shù),邊際收入函數(shù)邊際利潤函數(shù)<2>已生產(chǎn)并銷售25個單位產(chǎn)品,第26個單位產(chǎn)品會利潤為145個單位.7.求下列函數(shù)的彈性函數(shù)：〔1；〔2；<1>彈性函數(shù)為<2>彈性函數(shù)為8.設供給函數(shù)為：求供給彈性函數(shù)及時的供給彈性,并說明的經(jīng)濟意義.解：供給彈性函數(shù)時的供給彈性其經(jīng)濟意義為：當價格時,若價格上漲〔或下跌1﹪則供給量將增加〔或減少約3.3﹪.9.設某商品的需求函數(shù)為.=1\*GB2⑴求需求的價格彈性函數(shù)；=2\*GB2⑵求時的需求的價格彈性,并說明其經(jīng)濟意義.解：〔1需求的價格彈性函數(shù)<2>表示當價格時,若價格上漲〔或下跌1﹪則需求量將減少〔或增加0.6﹪；表示當價格時,若價格上漲〔或下跌1﹪則需求量將減少〔或增加1﹪；表示當價格時,若價格上漲〔或下跌1﹪則需求量將減少〔或增加1.2﹪；10.設某城市化纖布的恩格爾函數(shù)為：〔單位：米/人季問：當人均每季收人為多少時,需求收入彈性大于1？解：11.設某商品的需求函數(shù)為,試求：〔1需求的價格彈性函數(shù)；〔2當時的需求的價格彈性,并說明其意義；〔3當時,若價格上漲1%,其總收益是增加還是減少？將變化百分之幾解：