專題17 銳角三角函數(shù)-2022年《三步?jīng)_刺中考數(shù)學(xué)》之第1步重課本理考點(原卷版)

專題17銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的重難點知識，中考中多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能，知識點之間相互轉(zhuǎn)化與穿插，在解幾何體往往是某些數(shù)量關(guān)系的突破口，難度系數(shù)較難。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等。掌握銳角三角函數(shù)的概念及特殊角的三角函數(shù)值.學(xué)會解直角三角形.3.能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題.1.直角三角形的邊角關(guān)系（如圖）（1）邊的關(guān)系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；（2）角的關(guān)系：∠A+∠B=∠C=900；（3）邊角關(guān)系：①：②：銳角三角函數(shù)：∠A的正弦=；∠A的余弦=,∠A的正切=注：三角函數(shù)值是一個比值．2.特殊角的三角函數(shù)值．3.三角函數(shù)的關(guān)系(1)互為余角的三角函數(shù)關(guān)系．sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinAtan（90○－A）=cotAcot（90○－A）=tanA(2)同角的三角函數(shù)關(guān)系．①平方關(guān)系：sin2A+cos2A=l②倒數(shù)關(guān)系：tanA×cotA=1③商數(shù)關(guān)系：4.三角函數(shù)的大小比較(1)同名三角函數(shù)的大小比較①正弦、正切是增函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而增大，隨角的減小而減?。谟嘞?、余切是減函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而減小，隨角的減小而增大。(2)異名三角函數(shù)的大小比較①tanA＞SinA，由定義，知tanA=，sinA=；因為b＜c，所以tanA＞sinA②cotA＞cosA．由定義，知cosA=，cotA=；因為a＜c，所以cotA＞cosA．③若0○＜A＜45○，則cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，則cosA＜sinA，cotA＜tanA。5.解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

知識要點：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知的值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，知識要點：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.一、單選題1．（2021·云南·中考真題）在中，，若，則的長是（）A． B． C．60 D．802．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，底邊上的高為，底邊上的高為，則有（）A． B． C． D．以上都有可能3．（2021·廣西桂林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（）A． B． C． D．4．（2020·湖北荊門·中考真題）中，，D為的中點，，則的面積為（）A． B． C． D．5．（2020·四川涼山·中考真題）如圖所示，的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為（）A． B． C．2 D．6．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，過點作交于點．若的面積為5，則的值為（）A． B． C． D．7．（2020·河南·中考真題）如圖，在中，．邊在軸上，頂點的坐標(biāo)分別為和．將正方形沿軸向右平移當(dāng)點落在邊上時，點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．（2021·廣東深圳·中考真題）在正方形中，，點E是邊的中點，連接，延長至點F，使得，過點F作，分別交、于N、G兩點，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題9．（2021·湖北荊門·中考真題）計算：_____．10．（2021·遼寧朝陽·中考真題）已知⊙O的半徑是7，AB是⊙O的弦，且AB的長為7，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為__________．11．（2021·海南·中考真題）如圖，的頂點的坐標(biāo)分別是，且，則頂點A的坐標(biāo)是_____．12．（2021·湖南邵陽·中考真題）如圖，在矩形中，，垂足為點．若，，則的長為______．13．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內(nèi)一點，則的最小值為____________．14．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，點P在邊AC上運(yùn)動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長的最大值為__．15．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費(fèi)馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點是其三條高的交點）．若，P為的費(fèi)馬點，則_________；若，P為的費(fèi)馬點，則_________．三、解答題16．（2021·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，的平分線交邊于點，于點．已知，．（1）求證：．（2）若，求的面積17．（2021·廣東·中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．18．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．19．（2021·湖南永州·中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．20．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，過點A作射線AM交射線BC于點D，將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AN，過點C作交直線AN于點F，在AM上取點E，使．（1）當(dāng)AM與線段BC相交時，①如圖1，當(dāng)時，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)時，寫出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）當(dāng)，時，若是直角三角形，直接寫出AF的長．21．（2021·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．二、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

知識要點：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.例如：

3．解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.一、單選題1．（2022·山東萊蕪·九年級期末）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩高，斜坡的坡比為，則斜坡（）A．13m B．8m C．18m D．12m2．（2022·江蘇通州·九年級期末）如圖，要測量山高，可以把山坡“化整為零”地劃分為和兩段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡長，，測得坡角，，則山高為（）A． B．C． D．3．（2021·重慶南開中學(xué)九年級期中）如圖，為測量觀光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D點測得塔頂A的仰角為52°，斜坡CD長為26米，C到塔底B的水平距離為9米．圖中點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，則觀光塔AB的高度約為（）米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米4．（2021·重慶市萬州高級中學(xué)九年級期中）四面山是國家5A級風(fēng)景區(qū)，里面有一個景點被譽(yù)為亞洲第一巖--土地神巖，土地神巖壁畫高度從石巖F處開始一直豎直到山頂E處，為了測量土地神巖上壁畫的高度，小明從山腳A處，沿坡度i=1：0.75的斜坡上行65米到達(dá)C處，在C處測得山頂E處仰角為26.5°，再往正前方水平走15米到達(dá)D處，在D處測得壁畫底端F處的俯角為42°，壁畫底端F處距離山腳B處的距離是12米，A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，A、B在同一水平線上，EB⊥AB，根據(jù)小明的測量數(shù)據(jù)，則壁畫的高度EF為（）米（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）A． B． C． D．5．（2022·遼寧望花·九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜120°）得到△AB'C'，B'C'與BC、AC分別交于點D、點E，設(shè)CD+DE＝x，△AEC'的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象大致為（）A．B．C．D．二、解答題6．（2022·山東槐蔭·九年級期末）如圖，小明想測量塔CD的高度．他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50米至B處，測得仰角為60°．(1)求證：AB＝BD；(2)求塔高CD．（小明的身高忽略不計，結(jié)果保留根號）7．（2022·山東商河·九年級期末）一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿CD的位置來調(diào)節(jié)躺椅舒適度，假設(shè)AB所在的直線為地面，已知，當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的的位置時，由變?yōu)椋?1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？（參考數(shù)據(jù)：，）(2)已知點O為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點O到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適．請你求出此時枕部E到地面的高度．8．（2021·廣東花都·二模）一輛小汽車在某城市道路上自西向東行駛，某“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動小組在距路邊20米的點C處放置了“檢測儀器”，測得該車從北偏西60°方向的點A行駛到東北方向的點B，所用時間為6秒．(1)求AB的長；(2)求該車的速度約為多少米/秒？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）9．（2022·廣東·興寧市實驗學(xué)校九年級期末）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一座古塔的高度，在古塔左側(cè)的A點處測得古塔頂端D的仰角為30°，然后向古塔底端C前進(jìn)30米到達(dá)點B處，測得古塔頂端D的仰角為45°，且點A、B、C在同一水平直線上，求古塔CD的高度．10．（2022·安徽全椒·九年級期末）如圖，一艘快艇A在小島B的西南方向上相距海里處，另-艘快艇C在快艇A的正東方向上，而小島B在快艇C的北偏東32°的方向上，已知快艇A的速度是海里/時，若快艇A、C同時出發(fā)且同時到達(dá)小島B，求快艇C的速度（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，）11．（2022·河南·鄭州市第七十三中學(xué)九年級期末）如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中折斷倒下，未折斷樹桿AB與地面仍保持垂直的關(guān)系，而折斷部分AC與未折斷樹桿AB形成53°的夾角．樹桿AB旁有一座與地面垂直的鐵塔DE，測得米，塔高米．在某一時刻的太陽照射下，未折斷樹桿AB落在地面的影子FB長為4米，且點F，B，C，E在同一條直線上，點F，A，D也在同一條直線上．求這棵大樹沒有折斷前的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）12