吉林省長春外國語學校2021-2022學年高一上學期期末考試數(shù)學試題

第16頁/共16頁長春外國語學校2021-2022學年高一年級第一學期期末考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，求指數(shù)函數(shù)值域求集合B，再應用集合的交運算求.【詳解】由題設，或，，所以.故選：D.2.已知角的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】的終邊與單位圓交于點,故，故，所以，故選：B.3.命題“”的否定是（）A. B.，C. D.，【答案】A【解析】【分析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結論否定.【詳解】的否定是故選：A4.一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.5.函數(shù)零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的單調性及零點存在性定理即得.【詳解】由題意，函數(shù)在R上單調遞增，且，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：A.6.下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐項判斷各選項中函數(shù)的奇偶性與單調性，由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，設，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，A選項不滿足條件；對于B選項，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，B選項不滿足條件；對于C選項，設，該函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)、均為上的減函數(shù)，故函數(shù)為減函數(shù)，C選項滿足條件；對于D選項，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在定義域上不單調，D選項不滿足條件.故選：C.7.已知，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】充分性判斷：利用偶函數(shù)的性質，結合和差角正弦公式求；必要性判斷：應用誘導公式化簡并判斷奇偶性，最后由充分、必要性定義確定題設條件間的關系.【詳解】當為偶函數(shù)時，則恒成立，即，；當時，為偶函數(shù)；綜上，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B8.音叉由鋼質或鋁合金材料所制成，由兩個振動臂（叉臂）和一個叉柄組成（如圖1），各種音叉可因其質量和叉臂長短、粗細不同而在振動時發(fā)出不同頻率的純音．敲擊如圖1所示的音叉時，在一定時間內，音叉上點P離開平衡位置的位移y與時間t的函數(shù)關系為．圖2是該函數(shù)在一個周期內的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定的值為（）A.200 B.400 C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用周期公式求出.【詳解】由題可得，，，即，則．故選：D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩項是符合題目要求的.9.下列四個命題中，為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)特殊值法判斷AB；由不等式的性質判斷CD.【詳解】對于A，當時，若，則，故A錯誤；對于B，當時，若，則，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，由不等式的性質可知，若，則，故D正確；故選：CD10.下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)是周期為的奇函數(shù)C.函數(shù)最小正周期為D.若對，滿足，，則函數(shù)周期為【答案】BCD【解析】【分析】A選項，使用進行求解最小正周期；B選項，利用定義判斷出奇偶性；C選項，的最小正周期為；D選項，舉出反例，即.【詳解】的最小正周期，故A選項說法正確；，故為偶函數(shù)，故B說法錯誤；函數(shù)最小正周期為，C說法錯誤；若，此時，則為常數(shù)函數(shù)，任意數(shù)均為周期，D說法錯誤..故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列關于這三個函數(shù)的描述中，正確的是（）A.隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B.隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C.當時，增長速度一直快于D.當時，增長速度有時快于【答案】BD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的圖像特點逐一分析即可．【詳解】如圖對于，從負無窮開始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于，A錯誤，BD正確；由于的增長速度是不變的，當時，大于，當時，大于，再也追不上，增長速度有時快于，C錯誤．故選：BD．12.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則滿足（）A. B.是奇函數(shù)C.在上有最大值 D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法可判斷A選項的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項的正誤；利用函數(shù)單調性的定義可判斷C選項的正誤；利用函數(shù)的單調性解不等式，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，令，可得，解得，A對；對于B選項，函數(shù)的定義域為，令，可得，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，B對；對于C選項，任取、且，則，即，所以，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，在上有最大值，C錯；對于D選項，由于為上的減函數(shù)，由，可得，解得，D對.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域為_____________________.【答案】【解析】【分析】由正切函數(shù)的定義得出定義域.【詳解】由，解得即函數(shù)的定義域為故答案為：14.圓心角為，弧長為的扇形面積是__________________.【答案】##【解析】【分析】利用扇形的面積公式及弧長公式即求.【詳解】由題可得，扇形面積是.故答案為：.15.燕子每年秋天都要從北方到南方過冬，鳥類科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度與耗氧量之間滿足函數(shù)關系.若兩歲燕子耗氧量達倒個單位時，其飛行速度為，則兩歲燕子飛行速度為時，耗氧量達到__________單位．【答案】320【解析】【詳解】因為，因此16.已知函數(shù)，若關于的方程有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________________.【答案】【解析】【分析】畫出的圖象，令，則問題轉化為在上有兩個解，從而得0<b2<4Δ=【詳解】的圖象如圖所示，令，則關于的方程有個不同的實數(shù)根，轉化為方程在上有兩個不同的解，所以0<b2<4所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導公式結合弦化切可求得所求代數(shù)式的值；（2）在所求代數(shù)式上除以，然后利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【小問1詳解】解：原式.【小問2詳解】解：原式.18.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）畫出函數(shù)的圖象，并討論方程的解的個數(shù).【答案】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析；（2）圖象見解析；當時，方程的解為0個；當或時，方程的解為2個；當時，方程的解為4個；當時，方程的解為3個.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義即得；（2）將函數(shù)寫成分段函數(shù)型，即可畫出函數(shù)圖象，方程的解的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，結合函數(shù)圖象可知得解；【小問1詳解】函數(shù)偶函數(shù)，∵，∴的定義域為R，關于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)；【小問2詳解】因為，所以函數(shù)的圖象如下所示：方程的解的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，結合函數(shù)圖象可知：當時，有0個解，當或時，有2個解，當時，有4個解，當時，有3個解.19.某村計劃建造一個室內面積為的矩形蔬菜溫室（如圖）.在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留寬的通道，沿前側內墻保留寬的空地.設矩形溫室的左側邊長為，后側邊長為，蔬菜的種植面積為.（1）用、表示；（2）求蔬菜種植面積的最大值.【答案】（1），，，（2）648【解析】【分析】（1）由矩形的面積公式得出；（2）由基本不等式得出最大值.【小問1詳解】種植蔬菜矩形長為，寬為，則，，，小問2詳解】當且僅當時，取等號，即蔬菜種植面積的最大值為648.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值，并求取最大值時的取值集合；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】（1）函數(shù)最大值為5，的取值集合為（2）單調增區(qū)間，；單調減區(qū)間，【解析】【分析】（1）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最大值及取得最值時相應的的取值集合；（2）令，，求得的范圍，從而可得函數(shù)的單調區(qū)間．【小問1詳解】當時，取得最大值為，此時,即，所以函數(shù)的最大值為5，的取值集合為.【小問2詳解】由，可得，由，可得，所以單調增區(qū)間，；單調減區(qū)間，.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當時，求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象結合正弦函數(shù)的性質得出的解析式；（2）先由圖象的變換得出函數(shù)的解析式，再由正弦函數(shù)的性質得出值域.【小問1詳解】由圖象可知，，則，即由五點作圖法可知，，即【小問2詳解】，即.22.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域；（3）若對任意的，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，進而可得的解析式，由奇偶性的定義，驗證，即可得出答案；