清華信號(hào)與系統(tǒng)chapter2.4

§2.4離散系統(tǒng)差§2.4離散系統(tǒng)差分方程立與求差分方程求2006-10-1差分方程求差分方差分方程求差分方程解得分樣值響2006-10-2離散時(shí)間系離散時(shí)間系描述線性時(shí)不變離散時(shí)間系2006-10-3差分方程的建系統(tǒng)框圖差分方程的建系統(tǒng)框圖微分方程實(shí)際問(wèn)題差分方程：遞歸關(guān)系2006-10-4差分方程的建立:系統(tǒng)框圖差分差分方程的建立:系統(tǒng)框圖差分方y(tǒng)(n)ay(n1)x(n)右移序列的差分方y(tǒng)(n1)ay(n)x(n左移序列的差分方2006-10-5差分方對(duì)比一階常系數(shù)線性微分差分方對(duì)比一階常系數(shù)線性微分方程與一階前向差分方dy(t)Ay(t)x(t)y(n1)ay(n)x(x)2006-10-6差分方T，y(nTy(差分方T，y(nTy(n1)Ty(nTdy(t)TAy(n)x(n)y(n1)y(n)T近似差分方程：y(n11ATy(nTx(n)2006-10-7一階后向差分：y(ny(n1y(n)一階前向差分：y(n一階后向差分：y(ny(n1y(n)一階前向差分：y(ny(n)差分方一階導(dǎo)數(shù)近似T二階后差：2y(n)y(n)y(ny(ny(n)2y(n1)y(n2y(n)d2dtT2006-10-8差分方三階后差：3y(ny(n差分方三階后差：3y(ny(n3y(n13y(n2)y(n3y(n)d3dt3T2006-10-9RCdy(t)y(t)x(t)差分RCdy(t)y(t)x(t)差分方RCy(n1)y(n)y(n)y(n1)Tx(n)TT)y(n)舉例差分方程的建立：物理系統(tǒng)差差分方程的建立：物理系統(tǒng)差分方建立下面電阻網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓的差分方程v(n1)v(n)v(n1)v(n2)v(nRRR整理得：v(n3v(n1v(n2)差分方程的建立：物理系統(tǒng)差分方差分方程的建立：物理系統(tǒng)差分方y(tǒng)(n)2y(n2)y(n1)y(n兩個(gè)月前的兔上個(gè)月新生的兔y(n)y(n1)y(n2)Fibonacci費(fèi)班納西序2006-10-差分方程的建立：物理系統(tǒng)差分方差分方程的建立：物理系統(tǒng)差分方y(tǒng)(k)=(1+b)y(k-2006-10-幾：１、差分方程的自變量可以是時(shí)間ｔ，幾：１、差分方程的自變量可以是時(shí)間ｔ，也可是其它的離散變量２、差分方程的一般形式為后向差分NMaky(nk)bkx(nkk0k0響輸2006-10-a0y(n)a0y(n)a1y(n1)aN1y(nNaNy(nN)b0x(n)b1x(n1)bM1x(nM1)bMx(nMaky(nk)brx(nr)NMk0r02006-10-差分方程求迭代直觀：但往差分方程求迭代直觀：但往往不能夠給出閉式時(shí)域經(jīng)典法：齊次解+特解+邊界條分別求零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(卷積和下一z變換變換域方法：第五2006-10-差分方程求解：迭代差分方程求解：迭代特點(diǎn)：方法簡(jiǎn)不容易得解（閉式解答2006-10-y(n1)y(n1)ay(n)(n)y(0)ay(1)(0)y(1)ay(0)y(2)ay(1)a2y(n)ay(n1)any(n)anu(n)差分方程解迭代法舉例2006-10-差分方程求解：經(jīng)典時(shí)差分方程求解：經(jīng)典時(shí)域2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域NMaky(nk)brx(nr)求差分方齊次解krNay(nk)y(n)Ckka差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域NMaky(nk)brx(nr)求差分方齊次解krNay(nk)y(n)CkkaaN0特征方N1N01N特征根1,2,,N無(wú)重根，齊次解CCCnn系數(shù)由邊界條件決 N2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域特征根有重根的情況假設(shè)1是特征方差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域特征根有重根的情況假設(shè)1是特征方程K重根，則對(duì)應(yīng)1的齊次解部分有KKK2 CCnnnCK11211 特解有共軛復(fù)數(shù)時(shí)，齊次解可以是等幅、增幅衰減等形式的正弦（余弦）序2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域特解將x(n)代入差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域特解將x(n)代入方程右端項(xiàng)），觀項(xiàng)形式，確定含有特定系數(shù)的特函數(shù)式，代入方程，再確定特解中的數(shù)DnkDnknkan0Dan1kcos(0n),sin(0n)Pcos(0n)Q2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域例1：Fibonacciy(n)y(n差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域例1：Fibonacciy(n)y(n1)y(n2)1解1155特征根:12222006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域方程的齊次解為n52511y(n)C1C222差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域方程的齊次解為n52511y(n)C1C22212222006-10-§2.4.2差分方程求解經(jīng)典時(shí)域1由此求出：C,C1255n5n51111y§2.4.2差分方程求解經(jīng)典時(shí)域1由此求出：C,C1255n5n51111y(n)55222006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(n)2y(n1)2y(n2)2y(n3)y(n4)已知：y(11y(2)0y(31y(5特征方程：4232221特征根：12重3j,4共軛復(fù)2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(n)(Cn)(1)nC差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(n)(Cn)(1)nC(j)n(j)n1234j2j2C1nC2CnCPcosnQsinn1222,Q是待定系注意：PC3C4Qj(C3C42006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域1y(1)差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域1y(1)C1C20y(2)P1y(3)3C11y(5)5C1QQP1,Qy(n)1cosn22006-10-差分方程求解:經(jīng)典差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(n)2y(n1)x(n)x(n已知激勵(lì)函數(shù)：x(nn且已知：y(1C(2)n2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域(2)將激勵(lì)信號(hào)x(nn2代入方程右邊差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域(2)將激勵(lì)信號(hào)x(nn2代入方程右邊項(xiàng)n2n1)22n1得選擇特解形式：D1nD2，代入方程DnD2D(n1)(n2n1212對(duì)比方程兩端系數(shù)3D1D191D23D22006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域2n差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域2n完全解的表達(dá)式：y(nC(2)n(3)代入邊界條件：y(11C(2)12393C992006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域差分方程的完全解差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域差分方程的完全解為y(n)8(2)n2n939響強(qiáng)迫響2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域由邊界條件確定待定系差分方程的完全解差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域由邊界條件確定待定系差分方程的完全解y(n)CCCD(n)nnn 已知邊界條件y(0),y(1),,y(Ny(0)C1C2CNy(1)C11C22CNny(N1)CCCNNND(N111 NN2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(0)111差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域y(0)11112N2y(N1)D(NNNN111CN12Ny(k)D(k)CV1Y(k)D(k)2006-10-差分方程求解:經(jīng)典時(shí)差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域邊界條件邊界條件不一定由y(0),y(1),,y(N，如果給定了邊界條件：y(1),y(2),,y(N則了一通過(guò)迭代方法得出y(0),y(1),,y(N2006-10-差分方程求解:經(jīng)差分方程求解:經(jīng)典時(shí)域邊界條件2006-10-差分方程求解：卷差分方程求解：卷積和利用卷積和（卷積）（下一節(jié)重點(diǎn)介紹2006-10-差分方程求解：變差分方程求解：變換域第五章介2006-10-線性時(shí)不變系統(tǒng)完全響應(yīng)可以分解為?響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全響應(yīng)可以分解為?響應(yīng)分量與強(qiáng)迫響NCn kD(n)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響2006-10-y(k)yzi(y(k)yzi(k)yzs(kVCC(k分別應(yīng)的定系V(k)D(kV1[Y(k)(k)D(kCCzi2006-10-NkCD(n)ny(n) 響強(qiáng)迫響NNCC D(n)nNkCD(n)ny(n) 響強(qiáng)迫響NNCC D(n)nn kk零輸入響零狀態(tài)響NNk(CkCCn 2006-10-零狀態(tài)下的邊界零狀態(tài)下的邊界條件零狀態(tài)的邊界條件：y(1),y(2),,y(N得到y(tǒng)(0),y(1),,y(N1)的值，作為求解差分2006-10-零輸入的邊界條件零輸入的邊界條件y(y(),,y(N為什么2006-10-例：已知系統(tǒng)的差分方程例：已知系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式y(tǒng)(n)0.9y(n1)如果邊界條件：y(1)0，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)如果邊界條件：y(11，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)解：(1)y(n)C(0.9)n將D代入方程：D(10.9):D2006-10-y(1)：y(0)0.05u(0)y(1)：y(0)0.05u(0)0.9y(1)由邊界條件則由方代入完全解：0.05y(0CC0.05D求得則完全響應(yīng)：y(n響強(qiáng)迫響這是系統(tǒng)的零狀態(tài)響2006-10-2006-10-2006-10-2006-10-2006-10-y(n)0.9y(n1)y(n)0.9y(n1)入響應(yīng)，然后采兩者之間進(jìn)行疊則零輸入響應(yīng) (0.9)n再由邊界條件：y(1 即到系統(tǒng)的0.9(0.9)n第二個(gè)邊界條件的完全響應(yīng)2006-10-將上兩部分結(jié)果疊加，則得到完全響將上兩部分結(jié)果疊加，則得到完全響應(yīng)y(n)0.50.48零狀態(tài)響0.9零輸入響0.45響強(qiáng)迫響2006-10-響應(yīng)波2006-10-響應(yīng)波2006-10-2y(n)12y(n2y(n)12y(n1)24y(n2)16y(n3)x(n)激勵(lì)信號(hào)：x(n2初始條件：y(01y(11y(28列寫(xiě)系統(tǒng)的特征方程2312224162(p2)3所以：y(nCCnCn21232006-10-由于輸入信號(hào)x(n)=2(由于輸入信號(hào)x(n)=2(n在n時(shí)加入系統(tǒng)所以y(0中已經(jīng)包含了輸入引起的變化必須剔除,y(3)是在n0之前就有的,故此可以2006-10-對(duì)于原方程：n0，2y(0)12y(1)24y(2)16對(duì)于原方程：n0，2y(0)12y(1)24y(2)16y(3)y(3)1y(0)6y(1)12y(2)8利用y(11y(211y(38共同求解系數(shù)：C0C512344：y(0)5n(2)n3n2442006-10-2006-10-2006-10-與I(1I)N還金額計(jì)算公式：RP(1與I(1I)N還金額計(jì)算公式：RP(1I)N12006-10-y(ny(n1RIy(n1n1整理后：y(n1Iy(n1)Rn1起始條件：y(0)P終止邊界條件2006-10-(2)求解y(n)齊次解為：C(1I(2)求解y(n)齊次解為：C(1I)n特解為特解滿(mǎn)足：D1I)DR，可求得：D1Iy(n)C(1I)n1R,n(3則I由起始條件y(0)P可以求則：C(1I1R1I)PICP1I2006-10-則y(n)的完全解為y(n)1再由N個(gè)月還清本息，即：y(則y(n)的完全解為y(n)1再由N個(gè)月還清本息，即：y(N)1I1RNP1R：II(1I)N于是可求得：RP(1I)N12006-10-還款的表達(dá)式，再由終止條件y(N)=0其中所帶有的系數(shù)思考題：考慮利息零時(shí)情況I(1I)NP1l2006-10-???2006-10-???2006-10-樣值響應(yīng)：定定義信號(hào)(n)激樣值響應(yīng)：定定義信號(hào)(n)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)h(n)說(shuō)明沖擊響應(yīng)h(t)相對(duì)階躍響應(yīng)與連續(xù)線性系統(tǒng)同理也可以定義2006-10-?迭代方時(shí)域經(jīng)典?迭代方時(shí)域經(jīng)典方法:等效成初始條變換與方2006-10-舉例：使用迭代方法求解系統(tǒng)樣舉例：使用迭代方法求解系統(tǒng)樣值響應(yīng)y(n)1y(n1)x(n)22006-10-y(1h(10h(0)1h(1)(0)012h(1)1y(1h(10h(0)1h(1)(0)012h(1)1h(0)(1)10222h(2)1h(1)(2)1024411h(n) h(n1)(n) 1n樣值響應(yīng)為：h(n2n2006-10-舉例：通過(guò)求解差分方程的解得樣值響應(yīng)y(n)舉例：通過(guò)求解差分方程的解得樣值響應(yīng)y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)x(x)(1)列寫(xiě)系統(tǒng)的特征方特征根：123三重1對(duì)應(yīng)的齊次解：Cn2Cn123(2)確定零狀態(tài)起始條件：h(2h(1：h(0)(0)通過(guò)迭等效成為初始條2006-10-10CC12304C10CC12304CC123可解得：C1 3C123221(n2nn系統(tǒng)樣值響應(yīng)：h(n2006-10-項(xiàng)為x(n)多項(xiàng)式情舉例：右y(n)項(xiàng)為x(n)多項(xiàng)式情舉例：右y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)3x(n(n)3(n)系統(tǒng)的齊次解為：C3n12(2)假定系統(tǒng)右端只有x(n)項(xiàng)左右，不考3x(n2)項(xiàng)的左右是的響應(yīng)為1(n2006-10-由樣值激勵(lì)等效成初始條由樣值激勵(lì)等效成初始條10131212CC12nn1(n)2006-10- 只考慮由3x(n 只考慮由3x(n2)項(xiàng)作用引起的響應(yīng)為h2則由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性可知h2(n)3h1(n2n1nn注意：時(shí)間起始(4)h(n)1(n)h22n1)u(n)3(3n12n1)u(n2006-10-：h(n)(3n1：h(n)(3n12n1)[(n)(n1)u(n3(3n12n1)u(n(n)5(n1)3n32n1)u(n(n)5(n1)(22n1)u(n2006-10-果，最后通過(guò)合并求取最后的結(jié)果2006-10-思考題如果想一步思考題如果想一步到位，求出(n)3(n１、h(1h(0)、h(0４、h(22006-10-思考題如果想一步到位思考題如