概率論與數理統(tǒng)計教案-二維隨機變量及其分布

概率論與數理統(tǒng)計教學初中九外公救等第三章二維隨機變量及其分布教學基本指標教學課題第三章第一節(jié)二維隨機變量及其聯合分布課地類型新知識課教學方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維隨機變量地定義及相應地聯合分布律及聯合密度函數，以及概率計算。教學難點二維隨機變量地定義二維隨機變量有關事件概率地計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解二維隨機變量地定義掌握二維隨機變量地聯合分布函數地定義，性質及計算掌握聯合分布律與聯合密度函數地定義，性質及計算掌握二維隨機變量有關事件概率地計算教學基本內容一,基本概念：1,設有隨機試驗E,其樣本空間為。。假設對Q中地每一個樣本點①都有一對有序實數（X（G）,y（@）與其對應。那么稱（x,y）為二維隨機變量或二維隨機向量。稱（x,Y）地取值范圍為它地值域，記為o（x『）。2,設有隨機試驗反其樣本空間為。。假設對。中地每一個樣本點①都有有序實數列（X2（g）,???,X〃（g））與其對應。那么稱（x，X2,…,x〃）為〃維隨機變量或〃維隨機向量。稱（乂,乂2，???,七）地取值范圍為它地值域,記為O（X，X2，…x〃）°3,設（X,F）為二維隨機變量，對任意地x.yeR，稱

二維隨機變量地條件分布律，條件密度函數以及條件分布函數地定義及計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維隨機變量地條件分布律,條件密度函數以及條件分布函數地定義及計算教學基本■容r4條件密度函數地計算教學重點教學難點.二維離散型隨機變量地條件分布律教學重點教學難點設二維離散型隨機變量(X,y)地聯合分布律為=?。當匕eOy時，在給定條件y=匕｝下X地條件分布律為P(X=x｛丫=%)=",=1,2,3???。

p.j記在給定條件｛y=匕｝下地隨機變量x為x,=匕，其值域記為。卬二、「｛七：P"w。/=i，2,…｝，滿足分布律地兩條性質：=匕)=旦>0』=1,2,3???；(2)ZP(X=xJy=yJ=ZR=l。。P.jiiP.j當看eQx時，在給定條件｛X=七｝下y地條件分布律為P（Y=yj\X=xi）=記在給定條件｛x=七｝下地隨機變量y為y|x=%淇值域記為=｛"：Pijw。J=L2,.??｝,同理也滿足分布律地兩條性質。2,二維離散型隨機變量地條件分布函數稱Fx\Y(x\y)=P(X<x\Y=y)為在給定｛y=y｝條件下X地條件分布函數；稱「X(小)=*丫<y|x=%)為在給定｛x=同條件下y地條件分布函數。^X\Y(4)=匚/鄧(小)為=「。假設(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量,且密度函數為/(%,y)，那么在給定條件｛y=處下x^X\Y(4)=匚/鄧(小)為=「。在給定｛X=*條件下y地條件分布函數為^Y\X^Y\X^Y\X（巾）=E人|X（?。?=匚^^%—8J<+00

.二維連續(xù)型隨機變量地條件密度函數^Y\X設/（%y）為二維連續(xù)型隨機變量地聯合密度函數，那么在給定｛y=y｝條件下X地條件密度函數為y)y)y)y)在給定｛x=耳條件下y地條件密度函數為左以（巾）=勺4，<y<+°°淇中，人（%）>0?Jx\x）二,定理與性質：1,條件密度函數/x|y（x|y）滿足密度函數地兩條性質2,條件分布函數G,（x|y）滿足分布函數地四條性質三、主要例題：0<x<2y,0<y<1;其他.例1把一顆骰子獨立地上拋兩次，設x表示第一次出現地點數，丫表示兩次出現點數地最小值.求（1）｛y=4｝發(fā)生條件下x地條件分布律。（2）0<x<2y,0<y<1;其他.例2設二維隨機變量（x,y）地密度函數為/（x,y）=（1）寫出條件｛x=l｝下y地條件值域為（2）求條件密度函數力^（引1）；（3）求條件密度函數6|x（引"，其中0vx<2;（4）求條件分布函數弓八引1）其中0vx<2.輟錦唐號05

教學基本指標教學課題第三章第五節(jié)二維隨機變量函數地分布課地類型新知識課教學方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維連續(xù)型隨機變量函數地分布相互獨立地隨機變量地最大值最小值分布函數地計算教學難點二維連續(xù)型隨機變量函數地分布函數計算參考高教版，浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維隨機變量函數分布地計算熟練相互獨立地隨機變量地最大值最小值分布函數地計算一,基本概念:1，二維離散型隨機變量函數地分布如果二維離散型隨機變量(x,y)地聯合分布律為P(X=/Y=bj)=Pu，i,j=12?..,那么隨機變量(x,丫)地函數z=g(x,y)地分布律為p(z=g(4也.))=〃".，i,j=12…,且取相同g(q，勺)值對應地那些概率應合并相加。2,二維連續(xù)型隨機變量函數地分布設二維連續(xù)型隨機變量(x,y)地聯合密度函數為〃九》),那么隨機變量(x,y)地二元函數z=g(x,y)地分布函數為B(z)=P(Z4z)=P(g(XM4z)=P((XMc2)=JJ7(%,y^dxdy,D.其中,｛(x,y)e。1是與｛g(x,y)〈z｝等價地隨機事件，而2=｛(%?)超(%?)42｝是二維平面上點集(通常是一個區(qū)域或假設干個區(qū)域地并集)。那么z=g(x,y)地密度函數為七(z)="(z)。二,定理與性質：1,可加性設x?b(風〃),y?b(4〃),且x與y相互獨立，那么X+Y-B(m十幾,p);(2)設x?p(4),y?2(4),且x與y相互獨立，那么x+y?0(4+4)。(3)設x?N(M，b；),y?NJ2。；)，且x與丫相互獨立，那么x+y?

2,設隨機變量(X,y)地聯合密度函數為，且X地邊緣密度函數為￡(x)，丫地邊緣密度函數為%(丁)。那么隨機變量(x,y)地函數z=x+y地密度函數為特別地，當隨機變量x與y相互獨立時，Z?(z)=人(z-%)d%或/z(z)=J：/x(z-y)/y(y)dy3.最大值與最小值地分布設連續(xù)型隨機變量X與y互相獨立，且X地分布函數為Fx(x)，丫地分布函數為Fy(y)o那么(1)隨機變量U=max(X,丫)地分布函數為Fv(u)=Fx(〃)FY(〃);(2)隨機變量V=min(X,F)地分布函數為———%”))。三,主要例題：例1為分析一個年級地成績分布，引入隨機變量0,0,數學不為優(yōu).0,數學不為優(yōu).0,語文不為優(yōu).X=]l,數學為優(yōu)；y=fl,語文為優(yōu)；數學為優(yōu)地占0.2,語文為優(yōu)地占0.1,都為優(yōu)地占0.08o討論總成績Z=X+y分布情況,求0,數學不為優(yōu).0,語文不為優(yōu).例2設二維隨機變量(x,y)地聯合密度函數為/(xy)=/(xy)=/(xy)=。，其他,/、0<x<^<1計算z=x+y地密度函數fz(z)。/(xy)=。，其他例3(XI)?(1,2,3,4,0),求2=—*+2丫+3地密度函數。例4設X與X2是獨立同分布地隨機變量，且X1?石(4)?2?￡(4),記t/=max(XpX2),V=min(X],X2)。試求U,V地密度函數。方（x，V）=P（X<x.Y<J7）,-oo<x<+oo,^x）<y<+co.為隨機變量（x,y）地聯合分布函數。4,設（X],??x〃）為〃維隨機變量，對任意地王,???，怎￡R,稱=P（X[<X],…,X1t<xM）為隨機變量（X],??.,X〃）地聯合分布函數?！?<七,???,乙<8。5,如果二維隨機變量（x,y）僅可能取有限個或可列無限個值，那么稱（x,y）為二維離散型隨機變量。6,稱。（乂=七1=匕）=々，。/=1,2,???，為二維隨機變量（x,y）地聯合分布律。其中，%之。工，=1，2,…,XX%=1。ij7,設二維隨機變量（X,y）地分布函數為b（x,y），如果存在一個二元非負實值函數/（x,y），使得對于任意九,y￡R有?（%，，）=J：〕：/（工?）辦公成立，那么稱（x,y）為二維連續(xù)型隨機變量,/（%?）為二維連續(xù)型隨機變量（x,y）地聯合（概率）密度函數。8,設〃維隨機變量（X「???,X〃）地分布函數為尸（七,???,怎）,如果存在一個〃元非負函數/（不??.,％〃）,使得對任意地王,???/〃wR有尸（4…公1…4成立，那么稱（X，???,X〃）為〃維連續(xù)型隨機變量,/（七,???,王）為〃維連續(xù)型隨機變量（X，??.,X〃）地聯合（概率）密度函數。二,定理與性質1,（聯合分布函數地性質）設b（x,y）是二維隨機變量（X,y）地聯合分布函數。那么（2）當固定y值時，尸（乂?。┦亲兞康胤菧p函數；當固定x值時,b（x,y）是變量y地非減函數;（3limy）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=l;X-'J3'->-00'7X—\/X->+8\'y—>+ooy—>+ooy—>+ooy—?-ooy—>+oo（4）當固定y值時，尸（羽?。┦亲兞縳地右連續(xù)函數；當固定x值時,b（x,y）是變量y地右連續(xù)函數；（5）<x<w，y<丫<%）=/（%，％）一廠（％2，%）一尸（石，%）+/（％i，y）。2,（聯合密度函數地性質）設/（x,y）為二維連續(xù)型隨機變量（X,丫）地聯合密度函數，那么（1）非負性/（x,y）>0,-oo<x,y<+oo；（2）規(guī)范性/：］：/（羽丁世力=1。3,（連續(xù)型隨機變量地性質）設二維連續(xù)型隨機變量（X,F）地聯合分布函數為b（x,y）,密度函數為（1）對任意一條平面曲線"有p（（x,y）￡L）=o；（2）/（羽y）為連續(xù)函數，在地連續(xù)點處有d2F（x,y）dxdy（3）對xoy平面上任一區(qū)域。（如圖3.11所示）有P（（X,y）￡O）=公力oD三,主要例題：例1現有將一顆骰子獨立地上拋兩次地隨機試驗E,觀察兩次出現地點數。討論第一次出現地點數以及兩次出現點數地最小值.請根據問題（1）給出隨機試驗后地樣本空間。；（2）引入二維隨機變量（x,y）,并寫出例2為分析一個年級地成績分布，引入隨機變量1,1,數學為優(yōu);0,數學不為優(yōu).1,數學為優(yōu);1,數學為優(yōu);0,數學不為優(yōu).1,語文為優(yōu);0,語文不為優(yōu).數學為優(yōu)地占0.2,語文為優(yōu)地占0.1,都為優(yōu)地占0.08o求(1)(x,y)地聯合分布律；⑵(x,y)地聯合分布函數；⑶概率p(x<y)。例3把一顆骰子獨立地上拋兩次，設x表示第一次出現地點數，丫表示兩次出現點數地最小值.試求：(i)x與y地聯合分布律；⑵p(x=丫)與p(x2+產<8).例4設二維隨機變量(x,y)地密度函數為cy1,0<x<2y,0<1;0,其他.計算(1)常數c;(2)聯合分布函數(3)概率P(|X|￡Y)。就錦序號S教學基本指標

教學課題第三章第二節(jié)常用地二維隨機變量課地類型新知識課教學方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維均勻分布教學難點二維均勻分布地概率求解問題參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維均勻分布了解二維正態(tài)分布地密度函數教學基本內容1,二維均勻分布設二維隨機變量（x,y）地聯合密度函數為(x,(x,y)eG;其余.(x,y)(x,y)eG;其余./(x,y)=1G的面積

0其中G是xoy平面上地某個區(qū)域。那么稱（X,7）服從區(qū)域G上地二維均勻分布。2.二維正態(tài)分布N（4，〃2，b；,b；,Q）ro〈羽yv+oo,貝1J稱如果（X,ro〈羽yv+oo,貝1J稱2go2也-2(1_Q)a2（x,y）服從二維正態(tài)分布,并記為（x,y）?N（4[,〃2，b；,b；,夕）.其中一00<〃],以2〈以必,%。二主要例題：例1設二維隨機變量（X,y）服從區(qū)域G上地均勻分布,G={（x,y）:0<xv1且0<y<2x}（1）寫出（x,y）地聯合密度函數；（2）計算概率p（yvx）。<^44os教學基本指標教學課題第三章第三節(jié)邊緣分布課地類型新知識課教學方法講授，課堂提問，討論，啟發(fā)，自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二維隨機變量地邊緣分布函數地計算兩個隨機變量相互獨立地判別方法教學難點二維隨機變量地邊緣分布函數地計算參考高教版,浙大版《概率論與梳理統(tǒng)計》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握二維隨機變量地邊緣分布函數地定義及計算熟練兩個隨機變量相互獨立地定義及判別方法了解〃個隨機變量相互獨立地定義及判別方法理解隨即變量獨立地概念掌握隨機變量獨立地判斷方法教學基本內容—,基本概念：.邊緣分布函數設二維隨機變量（X,Y）地聯合分布函數為F（x,y），稱Fx（x）=P（X<x）=P（X<x,Y4+00）=尸（%,+00）,-00<%V+00為乂地邊緣分布函數;稱4（V）=<V）=P（X<<y）=F（+oc,y）,-oovy<+oo為y地邊緣分布函數。其中機⑺在維情形下表示長度，在二維情形下表示面積，在三維情形下表示體積。.二維離散型隨機變量地邊緣分布律設二維離散型隨機變量（x,y）地聯合分布律為p（x=x「Y=bj）=Pij,。./=12???，稱概率/\P（X=xi）=PX=x^\jY=yj=ZP（x=Xj,y=x）=E與為隨機變量X地邊緣分布律，記為化.，并\J7jj有p”P（X=%）=工Pij"=1,2,???。稱概率p（y=%）（j=1,2,…）為隨機變量Y地邊緣分布律，記為p.j,i并有P.j=P（Y=b）=￡pg,/=1,2,…。J.二維連續(xù)型隨機變量地邊緣密度函數設二維連續(xù)型隨機變量（X,y）地聯合密度函數為那么X地邊緣密度函數為fx（力=匚〃%，-。y地邊緣密度函數為衣（、）=—/（%，y）一。4.隨機變量地獨立性設（X,y）為二維隨機變量，假設對任意兒yeR,都有■（羽加一（%）耳（?。┏闪?，那么稱隨機變量X與y相互獨立。其中方（陽y）為（X,y）地聯合分布函數,G（x）與耳（y）分別為X與y地邊緣分布函數。5,多維隨機變量設（X1…X〃）為〃維隨機變量，假設對任意司…,都有■/（王，…，居）=n。（七）

i=\成立，那么稱隨機變量X,..,x”相互獨立。其中產（不為（X],...,X,J地聯合分布函數,弓（引為X,地邊緣分布函數,i=o當（X,..,X〃）為離散型隨機變量時，隨機變量X1,…,X”相互獨立地充要條件是對任意地xigQxJ=l,2,---,?，都有P（X]=石,…,X”—%"）=][2區(qū).—西）

Z=1成立淇中P（X1=不...,乂〃=七7）為（乂,??.2〃）地聯合密度函數,2（乂,=玉）為乂,地邊緣密度函數，i=1,2,???,〃o當（X],...,X〃）為連續(xù)型隨機變量時，隨機變量相互獨立地充要條件是在…Z）,&（為），???，/x〃區(qū)）地所有公共連續(xù)點上/（4???,工〃）=!1為（%）

z=l成立。其中/為（X...,X〃）地聯合密度函數，益G）為X,地邊緣密度函數，=1,2,…,人二,定理1,如果（x,y）?x?N（M，b；）,y?N（42，b；）,即二維正態(tài)分布地邊緣分布還