2021年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

試卷第=page66頁，總=sectionpages66頁試卷第=page55頁，總=sectionpages66頁2021年7月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．R3．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則（）A． B． C． D．4．已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值是（）A． B．2 C． D．-25．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．、 B．、C．、 D．、6．已知空間向量，滿足，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則（）A．2 B． C． D．10．已知函數(shù)，，則的圖象不可能是（）A． B．C． D．11．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是（）A．5 B．9 C．11 D．1512．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平行移動個(gè)單位長度B．向左平行移動個(gè)單位長度C．向右平行移動個(gè)單位長度D．向左平行移動個(gè)單位長度14．如圖，已知長方體，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，平面，則（）A． B．C． D．15．設(shè)，，函數(shù)，若恒成立，則（）A．， B．，C．， D．，16．已知O是線段的中點(diǎn)，M，N分別是以，為直徑的圓上的動點(diǎn)（異于點(diǎn)O），（）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得B．若，則存在實(shí)數(shù)，使得C．若存在實(shí)數(shù)，使得，則D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則17．如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在y軸上，線段交橢圓于點(diǎn)Q．若，，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．18．如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，記直線與平面所成角為，則的最大值是（）A． B． C． D．二、雙空題19．已知函數(shù)則________，________．三、填空題20．劉徽是我國古代著名數(shù)學(xué)家，他對《九章算術(shù)》中的各個(gè)圖形面積計(jì)算公式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，樹立了中國數(shù)學(xué)史上對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行邏輯證明的典范．劉徽認(rèn)為圓可以看成一簇半徑連續(xù)增大的同心圓疊合而成，那么這些同心圓的周長也可以疊成一個(gè)等腰三角形（如圖1），該圓的面積與等腰三角形的面積相等．即．運(yùn)用這種積線成面的面積觀，圓環(huán)面積也和一個(gè)等腰梯形的面積相等．若某圓環(huán)的內(nèi)圓周長為，外圓周長為，半徑差為d（如圖2），則該圓環(huán)的面積________（用，，d表示）．21．若函數(shù)的最大值是1，則實(shí)數(shù)a的值是________．22．已知整數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．若對任意給定的，存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)成立，則的取值集合是________．四、解答題23．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求使取得最大值的x的集合．24．如圖，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，四邊形是矩形．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）求矩形的面積．25．設(shè)，已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別是，，且．（Ⅰ）若，求a的取值范圍；（Ⅱ）若，證明：；（Ⅲ）若，證明：．本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考。答案第=page1818頁，總=sectionpages1818頁答案第=page1717頁，總=sectionpages1818頁參考答案1．B【分析】利用交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選：B.2．B【分析】根據(jù)根式函數(shù)的定義域求法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的定義域是，故選：B3．D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選：D.4．C【分析】依題意根據(jù)兩直線平行的充要條件得到，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得故選：C5．A【分析】求出的值，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】在雙曲線中，，，，因此，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、.故選：A.6．D【分析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知條件得出，解得.故選：D.7．A【分析】作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖還原原幾何體的直觀圖如下圖所示：由三視圖中的數(shù)據(jù)可知，該幾何體是圓錐，該圓錐的底面半徑為，高為，因此，該幾何體的體積為.故選：A.8．B【分析】利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此，的最小值是.故選：B.9．B【分析】直接利用余弦定理，代入數(shù)值即可求解.【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選：B.10．D【分析】先分析出為偶函數(shù).，其圖像關(guān)于y軸對稱，即可得到答案.【詳解】定義域?yàn)镽.因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).，其圖像關(guān)于y軸對稱，對照四個(gè)選項(xiàng)的圖像，只能選D.故選:D11．C【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；令作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線；結(jié)合圖象知當(dāng)直線過時(shí)，取得最大值．【詳解】解：畫出實(shí)數(shù)、滿足約束條件表示的平面區(qū)域：令，目標(biāo)函數(shù)變形為，則表示直線在軸上截距，截距越大，越大，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，由，解得，即．目標(biāo)函數(shù)線過時(shí)，直線的縱截距最大，取得最大值為，即的最大值是；故選：．12．A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：若，則，即成立，故充分性成立；顯然時(shí)，即，故由推不出，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件；故選：A13．C【分析】根據(jù)三角圖象變換的法則即可求出．【詳解】因?yàn)椋灾灰押瘮?shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象．故選：C14．C【分析】由線面垂直可得線線垂直，轉(zhuǎn)化為向量表示，可得對應(yīng)的向量數(shù)量積為零，建立空間直角坐標(biāo)系，即可列方程組求解.【詳解】由題意得，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，在長方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則，從而，，，又因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，即，所以，即整理得，，即，所以，故，故選：C.15．B【分析】首先表示出，依題意可得恒成立，再對分類討論，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪?，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，?dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，因?yàn)榍?，所以，?dāng)時(shí)，，顯然恒成立，綜上可得，故選：B16．D【分析】建立坐標(biāo)系，選項(xiàng)A，B中的條件均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于軸對稱或關(guān)于原點(diǎn)對稱，分別就兩種情況下命題是否成立討論，通過舉反例判斷A，B選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C的條件轉(zhuǎn)化為，也是通過作圖舉反例，判斷C選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)D的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用數(shù)量積的運(yùn)算，則可判斷D選項(xiàng)正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓關(guān)于軸對稱，A選項(xiàng)，，，則或，若，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，則，點(diǎn)在軸上，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于軸對稱，，則存在實(shí)數(shù)，使得，但若，即關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)，且，則不存在實(shí)數(shù)，使得，A選項(xiàng)錯誤B選項(xiàng)，由可得，與A選項(xiàng)同理可知點(diǎn)關(guān)于軸對稱或關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)其關(guān)于軸對稱時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得，則B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，，當(dāng)位于如圖所示的位置時(shí)，上式不能成立，則C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線，且由題可知關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，即成立，則D選項(xiàng)正確.故選：D.17．D【分析】由可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再由可求出得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，化簡得，，因?yàn)?，所以，，得，解得或（舍去）故選：D18．A【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，即可得到、的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，則，即可得到，再求出平面的法向量，依題意根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空間向量法表示出線面角的正弦值，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出；【詳解】解：如圖以平面為平面，平面為平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，，顯然平面的法向量可以為，設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)橹本€與平面所成角為，因?yàn)椋@然，即，因?yàn)榕c在均單調(diào)遞增，要求的最大值，即可求的最大值，所以，所以當(dāng)時(shí)，又，所以故選：A19．01【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的解析式和自變量的取值代入相應(yīng)表達(dá)式即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：；.20．【分析】先利用三角形相似，用，，d表示R，r，再由圓環(huán)的面積求解.【詳解】如圖所示：設(shè)外圓半徑為R，內(nèi)圓半徑為r，，解得，因?yàn)樵搱A的面積與等腰三角形的面積相等．即，所以外圓的面積為，所以圓環(huán)的面積，，，故答案為：21．或2【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，再分和討論.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，由此求出的最大值為；當(dāng)時(shí)，又需要分，和三種情況分別討論，分別求出的最大值，求解出的值即可.分，，三種情況，分別研究分段函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，列式求解的值即可．【詳解】，（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則成立，故，對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，所以，與矛盾，故舍去；（2）當(dāng)時(shí)，的大致圖像如下：可求得①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，與矛盾，故舍去；②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，則，解得，與相符；③當(dāng)，即時(shí)，，解得，與相符.綜上所述，的值為或2．故答案為：或2．22．【分析】列舉出數(shù)列，設(shè)，說明當(dāng)、時(shí)且當(dāng)時(shí)，不成立；然后說明當(dāng)和時(shí)，存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)成立，由此可得出的取值集合.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由于的任意性，不妨取，則這個(gè)數(shù)列為、、、、，而代表的是這個(gè)數(shù)列中連續(xù)的個(gè)數(shù).①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，顯然不成立；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于存在，使得，不妨取這連續(xù)的個(gè)數(shù)為、、、、、，所以，，由于的任意性，故不成立；（2）當(dāng)時(shí)，由于的任意性，不妨設(shè)，則這個(gè)數(shù)列為、、、、、、，而代表的是這個(gè)數(shù)列中連續(xù)的個(gè)數(shù).①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，顯然不成立；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于存在，使得，不妨取這連續(xù)的個(gè)數(shù)為、、、、、，所以，，由于的任意性，故不成立；（3）下面只需說明和成立即可.（i）當(dāng)時(shí)，這列數(shù)可能為、、、、、、①或、、、、、、②，不難發(fā)現(xiàn)②中的、、項(xiàng)與①中的、、項(xiàng)相同，故到后面也相同，而無論是趨于，或是，一定存在某個(gè)時(shí)刻后，這列數(shù)就變?yōu)榱?、、、、、、，此時(shí)成立；（ii）當(dāng)時(shí)，同理，由于存在，使得，故若，則，必有數(shù)與較為接近，，此時(shí)有兩種情況：第一種：與并存，即、、、、、、、，會發(fā)現(xiàn)到后面就等同于（i）中的情況了；第二種：與并存，即、、、、，由于存在，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，成立.綜上可知，的取值集合為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵在于對的取值進(jìn)行分類討論，利用列舉數(shù)列的方法找出數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性求解.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由，令求解；（Ⅱ）根據(jù)，利用周期公式求解；（Ⅲ）根據(jù)，令求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，所以，的最小正周期為．（Ⅲ）因?yàn)?，所以的最大值?．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，所以使取得最大值的x的集合為．24．（Ⅰ）；（Ⅱ）8．【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是，由求解；（Ⅱ）設(shè)，，根據(jù)四邊形是矩形，可得，且，進(jìn)而得到，然后結(jié)合拋物線的定義，求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以，解得，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，且，即，，且．所以，，且．所以．解得，，由拋物線的定義得：，所以矩形的面積為：，．所以矩形的面積