華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間

一背景二逆矩陣的概念與性質(zhì)三應(yīng)用四小結(jié)第三節(jié)逆矩陣華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!課前復(fù)習(xí)矩陣運(yùn)算加法數(shù)乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣矩陣的冪線性運(yùn)算對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!乘法運(yùn)算中的１，在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)α≠０時(shí)，則稱為的倒數(shù)，個(gè)矩陣，在矩陣的運(yùn)算中，一、背景1、數(shù)2、矩陣則矩陣Ａ稱為的可逆矩陣，（或稱為的逆）；有單位陣Ｅ相當(dāng)于數(shù)的那么，對(duì)于矩陣Ａ，如果存在一有稱為的逆陣.華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!3、線性變換它的系數(shù)矩陣是一個(gè)n階矩陣，若記則上述線性變換可表示為華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!則可用線性表示為若令易知這個(gè)表達(dá)式是唯一的.這是從到的線性變換，稱為原線性變換的逆變換.華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例使得的逆矩陣記作二、逆矩陣的概念和性質(zhì)1、定義對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣，則稱矩陣是可逆的，是的逆矩陣.并把矩陣稱為的逆矩陣.華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!證明，使得兩邊求行列式，有定理1若矩陣可逆，則若矩陣可逆，則即有定理2矩陣可逆的充要條件是，且其中為矩陣的伴隨矩陣.證明因?yàn)榫仃嚺c其伴隨矩陣有，故有又因?yàn)樗?，按逆矩陣的定義，即有華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!證明由推論，即有2）若且且3）若，且同階，推廣證明4）若且華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!為整數(shù)）（其中7）其它的一些公式8）一些規(guī)定華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!依矩陣的逆的定義，必有易知：解2）即華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!例４求解設(shè)且滿足有而華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!設(shè)例7證明方法三方法一方法二華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!由Ax=b，利用逆矩陣求解線性方程組.例9設(shè)A為n階可逆矩陣，求解線性方程組Ax=b的解.兩端左乘則華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!按Cramer法則，若，則由上述線性變換可解出在按第列展開得即華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!若把此逆變換的系數(shù)記作，則此逆變換也可以記作為恒等變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，故因此于是有由此，可得可見又華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!若設(shè)和是可逆矩陣，則有所以的逆矩陣是唯一的,即說明若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.證明于是例1設(shè),求的逆.解設(shè)則華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!當(dāng)時(shí)，稱為奇異矩陣；證明推論若或，則當(dāng)時(shí)，稱為非奇異矩陣.2、奇異矩陣與非奇異矩陣易知于是只證時(shí)，3、運(yùn)算規(guī)律（設(shè)均是階可逆方陣）1）若且華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!5）若6）若證明且證明而因?yàn)樗匀A中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!三、應(yīng)用例2求下列矩陣的逆，其中解1）依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知：華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!計(jì)算其中例３的行列式.解華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!設(shè)求例5其中為矩陣的伴隨矩陣.解例6解矩陣方程解華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!所以可逆.由，得例8可逆，并求它們的逆矩陣.由設(shè)方陣滿足方程，證明證明所以可逆.華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量