z108高等代數(shù)模擬試卷

23=6分

《高等代數(shù)》試題1A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I2、設(shè)

為任意非零向量，則（ 。(A)線性相關(guān) (B)線性無關(guān) (C)線性相關(guān)或線性無關(guān) 3設(shè)向量組（,, I（,, , , ,則必須 1 2 r 1 2 r rs(A)I無關(guān)II無關(guān) (B)II無關(guān)I無關(guān)(C)I無關(guān)II相關(guān) (D)II相關(guān)I相二、填空：1、單個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件。、A 是nn矩陣，對(duì)任何b 矩陣，方程AX=b 都有解的充要條件是n1 。3、敘述替換定 。三、計(jì)算題： 2x2x xx 0x 1 2x 2x

3

5x 04、

1 2 3 4 5xx 2xx 01 2 3 5 xx x 03 4 5四、證明題：11,2,r（r2）量的線性組合。21,2,r10并且每一i都不能表成它的前i1個(gè)向量1,2,i1的線性組合，證明1,2,r線性無關(guān)。3、設(shè)向量1,2,s線性表示，證明表法唯一的充要條件是,, 線性無關(guān)。1 2 s《高等代數(shù)》試題2一、單選題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A，B為數(shù)域F上的n階方陣，下列等式成立的是（ 。Adet（A+B）=detA+detB 、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detA D、det（AB）=detA2、如果AA-1=A-1A=I，那么矩陣A的行列應(yīng)該有（ 。A、|A|=0 B、|A|≠0C、|A|=k，k＞1 D、|A|=k，k＜-13設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣滿足則下列矩陣哪個(gè)可（ 。A、A 、A-I CA+I DA-2I4、以下乘積中（ ）是5階行列式D=|a中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。ijAa a a a a 、a a a a a31 45 12 24 53 45 54 42 12 33C、a a a a a D、a a a a a23 51 32 45 14 13 32 24 45 545、設(shè)為n階方陣A的伴隨矩陣，||A*|A|=（ 。A、An2 、A

、An2n D、An2n1二、填空題（每小題3分，共15分）1n級(jí)排列ii12

i的反數(shù)的反序數(shù)為kin

in1

ii。2111 1 2 、設(shè)A

，A*

A 15 31 )1。3、設(shè)f(x)Q[x]使得0(f(x))≤2，且f（1）=1，f(1)=3，f（2）=3，則f（x）= 。4設(shè)f(x)x4x2axb，g(x)

((,(

，則 。1 2 2 1 5、設(shè)A2 12 2，則R(A)= 。 114 三、計(jì)算題（共59分）1FF[x]f(x4x42x316x25x9，g(x)2x3x25x4的最大公因式f(xg(x))，并求出u(xv(x使得f(x)u(xg(x)v(x)f(xg(x（12分）2f(x)x36x215x14（7分）3、用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示n元對(duì)稱多項(xiàng)式f x3x（10分）1 2xxx 14、問當(dāng)

取何值時(shí)，線性方程組x

1 2 3xx

有唯一解？無解？有無1 2 3窮多解？并在有解時(shí)寫出解（10分

xx1

x3

25n

x a aaa x aa a a ax

（6分） 12 3 6、設(shè)矩陣A2 21，問矩陣A是否可逆？若可逆，求出A1（8分） 3 4 3 7問取何值時(shí)多項(xiàng)式f(x)x3x2，g(x)

有公根。（6分）四、證明題（共6 分）是F[x]f(x),g(xF[x]，只要p）（）g（）就有（）（）或p）g（（）不可約。（6分）《高等代數(shù)》試題3一、單選題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A，B為數(shù)域F上的n階方陣，下列等式成立的是（ 。Adet（A+B）=detA+detB 、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detA D、det（AB）=detAdetB2、若矩陣A，B滿足AB=0，則（ 。AA=0或B=0 B、A≠0且B≠0C、A=0且B=0D、以上結(jié)論都不正確3、如果矩陣A的秩等于r，則（。A、至多有一個(gè)r階子式不為零B、所有r階子式都不為零C、所有r+1階子式全為零，而至少有一個(gè)r階子式不為零D、所有低于r階子式都不為零 4設(shè)n階矩陣A可（A是矩陣A的伴隨矩陣則結(jié)論正確的（ A、AC、

An1An2

A B、A D

An1AAn2A5、以下乘積中（ ）是4階行列式D=|a中取負(fù)號(hào)的項(xiàng)。ija11a a a a Aa11a a a a 23 33 44 14 23 31 42C、a12a23a31a44 D、a23a41a32a11二、填空題（每小題3分，共15分）1n級(jí)排列ii12

i(in

in1

ii。211 0 02 、設(shè)

A2 2A* 3 4 5

A 的伴隨矩陣，則)1。3、設(shè)f(x)Q[x]使得0(f(x))≤2，且f（1）=1，f(1)=3，f（2）=3，則f（x）= 。4、當(dāng)a，b滿足條時(shí)，多項(xiàng)式f（x）=x3+3ax+b才能有因式。 12 311 5、設(shè)A3153 2，則R（A）= 。 2122 3 三、計(jì)算題（共59分）1、設(shè)f(x)x42x3x24x2，g(x)

求出u(xv(x，使得u(x)f(xv(x)g(x)f(xg(x（12分）5 12f(x)x5x4x32x2x3（7分）2 23、用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示n元對(duì)稱多項(xiàng)式f x2x2（10分）1 2(1)xxx 0 1 2 34x

(1)x

3有唯一解？無解？1 2 3x x(1)x 1 2 3有無窮多解？并在有解時(shí)寫出解（10分）1a a a a1 2 3 na 1a a a1 2 3 n5na1a1

a 1a2 3 a a2 3

an1an

（6分）111 6、設(shè)矩陣A21 0，問矩陣A是否可逆？若可逆，求出A1（8分） 110 7問取何值時(shí)多項(xiàng)式f(x)x3x2，g(x) 2 有公根。（6分）四、證明題（共6 分）p（x）f（x）k（k＞1）p（x）f（x）的導(dǎo)k-1（6分）《高等代數(shù)》試題4一、選擇題。（每小題5分，共15分）211、下列集合中，是R3的子空間的為（ ，其中(x,21

3,x)'333

0

2x

0

x ）

1 x2x

33x

13 1 2 32、設(shè),是相互正交的n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ 。

2

22

（B）（D）3、設(shè)A是mn矩陣，若（ 。則AX=0有非零解。積A=n （D）積A=m4、對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，以下結(jié)論正確的是（ 。（A）一定有n個(gè)不同的特征根。 （B）正交矩陣P，使P成對(duì)角形。（C）它的特征根一定是整數(shù)。 （D）屬于不同特征根的特征向量必性無關(guān)，但不一定正交5、設(shè)向量組,,線性無關(guān)。,,線性相關(guān)，則（ 。1 2 3 1 2 4（A）

1

,,3

線性表示。

,4 1

,線性表示3（C）4必可1,2,3線性表示。 （D）4必不可1,2,3線性示。二、填空題（每小題3分共15分）1 、設(shè)L(V) 是歐氏空間，則 是正交變換 。2 、 設(shè) ,

,,

,,b

， 則 在1 2 n 12 n,,。3數(shù)域F上任一n維向量空間都卻與Fn 。（不同構(gòu)，同構(gòu)）4 、n+1 個(gè)n 維向量構(gòu)成的向量組一定是線性（無關(guān)，相關(guān)）5SF則dimS=

A的n階矩陣A所成的向量空間， 。三、計(jì)算題（共55分）1、（15分）設(shè)非齊次線性方程組為x3x x 01 2 3x4x ax b1 2 13 12xx 3x 51 2 3試問a1……題…………答……1a班 1

,b取何值時(shí)，方程組有唯一解？并求出唯一解。1,b取何值時(shí)，方程組有無窮多解？并用基礎(chǔ)解系表示出來。1,b取何值時(shí)，方程組無解？1教學(xué) 2、（5分）問t取何值時(shí)，二次型教課選 f(x,x,x)x2x25x2x

2xx

4x

x正定？1 2 3 1 2 3 1 2 13 2 3第名4 23（10分設(shè)A2 42 221 4（10分）設(shè)A2 11 11對(duì)角形式。

22，求一個(gè)正交矩陣u,使u/Au為對(duì)角形矩陣。4411，用初等變換求一可逆矩陣P,使P/AP是331 0 1 5（15分）R3中的兩個(gè)基分別為1

0,1

1,0

22 1 1 1 0,1 0

1,0

11 （1）求由基,,的過渡矩陣。1 2 3 1 2 31已知向量在基,,下的坐標(biāo)為3，求在基

下的坐標(biāo)。 01 2 3 0

1 2 3四、證明題（共15分）1、設(shè)u(1)u的行列等于1或-（u于13u的伴隨矩陣U*（8分）2、全t是數(shù)域F上向量空間V,1 2

,n

分別是t的屬于互不相同的特征值1 2

, ,n

,1 2

, n

線性無關(guān)。（7分）《高等代數(shù)》試題5一、選擇題。（每小題5分，共15分）1、設(shè),,與都是三維向量空間v的的基，且1 2 3 1 2 31 1 1a,

,

P

0 1是由基1 1

1 2

1 2 3 010 010,,到（ ）的過渡矩陣。1 2 3,, , ,, ,,2 1 3 1 2, 3 2 3 1 3 2 12、n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的（ 。（A）充分必要條件 （B）充分而非必要條件（C）必要而非充分條件 （D）既非充分也非必要條件3、設(shè)，是相互正交的n維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ 。

22

2

（B）（C）

2

2

（D）4、對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，以下結(jié)論正確的是（ 。（A）一定有n個(gè)不同的特征根。 （B）正交矩陣P，使P成對(duì)角形。（C）它的特征根一定是整數(shù)。 （D）屬于不同特征根的特征向量必性無關(guān)，但不一定正交5、設(shè)向量組,,線性無關(guān)。,,線性相關(guān)，則（ 。1 2 3 1 2 4（A）表示。

1

,,3

線性表示。

,4 1

,線性3（C）4必可1,2,3線性表示。 （D）4必不可1,2,3線性示。二、填空題（每小題3分共15分）1、設(shè)為變換，V為歐氏空間，若,V則為 變換。2 、R3,則, 1 2 1 3。

(),,，在3、令S是數(shù)域FA1An階矩陣A則dimS= 。、n+1 個(gè)

維向量構(gòu)成的向量的一定線性的。、設(shè)V 與W 都是F 上的兩個(gè)有限維向量空間，則VW 。三、計(jì)算題（共55分）1（15）設(shè)非齊次線性方程組為x3x x 01 2 3x4x ax b1 2 13 12x x 3x 51 2 3試問a1a1a1

,b取價(jià)值時(shí)，方程組有唯一解？并求出唯一解。1,b取價(jià)值時(shí)，方程組有無窮多解？并用基礎(chǔ)解系表示出來。1,b取價(jià)值時(shí)，方程組無解？12、（5分）取何值時(shí)，實(shí)二次型f(x2

x2

x2)2xx

2x

2x

x2是正定的？1 2 3

13 2

31 413（10分）A22形矩陣。

2 2 2 4 ，求一個(gè)正交矩陣u,u/Au為對(duì)角4 20 14（10分設(shè)A1 0

1 3P,P/AP1 31

10 是對(duì)角形式。

1 0 1 5（15分）R3中的兩個(gè)基分別為1

0，1

1,0

22 1 1 1 0,1 0

1,0

11 （1）求由基,,的過渡矩陣。1 2 3 1 2 31（2）已知向量在基,,x=3，求在基 1 2 3

1 2 30 0下的坐標(biāo)。（共15分）1（8分）uu1，證明①u有一個(gè)特征根等于1。②u的特征多項(xiàng)式有形狀fxx3

tx

tx1,這里-1≤t≤32（7分）全是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線性變換，如1,2, ,n分 別是的屬于互不相同的特征值,, ,的特征向量，那么,, 1 2 n 1 2 n線性無關(guān)。一、選擇題3=6分

《高等代數(shù)》試題61A是n階矩陣是非零常數(shù)，|KA|=( )K|A| (B) |K||A| (C) Kn(D) |K|nA2A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I3A，B是n階方陣，則下列結(jié)論成立得是（）（A）AB0A且B0 （B）|A|=0A0(C) |AB|=0|A或|B0 (D) AI|A|1二、填空（3412分）001Dn

0 0 10 2 0 = 0 n1 0 0n 0 0 0x1233x122x1233x1223x1123x

, 則f(4)= 3、A,B,C是同階矩陣，A若AB=AC,必有B=C，則A應(yīng) k4、已知A

0 11 1,其中k0，則A1 0 0 1bc

c

ab a b c三、證,行列式 bc1 1b c2

ca1 1c a2

a b1 1a b2 2

2a b c1 1 1a b c2 2 2

（10分）1xaaaxaaaax1xaaaxaaaaxaaaaaaaxa1a000011a1a00010 12

223002300001an1an000011a10110110111abcd11103把行列式 依第三行展開然后加以計(jì)算3 1 3014 1 2 102.2 4 1990y0x0y0xx0y00x0yy0x01a1

1 1 16、D 1n

1a 1 12

(aaa1 2 a

0)1 1 1 1an2 1x x 12 1五、

取怎樣的數(shù)值時(shí),線性方程組x

x

有唯一解，沒有解， 1 2 3x x 2有無窮多解?（10分）1 2

1 2 3A

3 1

的逆矩陣.（8分） 1 0 2《高等代數(shù)》試題7一、問下列向量組是否線性相關(guān)？（13，，4，-（4，-，7）（22，，1，-（1，-，1）二、設(shè),線性無關(guān)，證明,也線性無關(guān)。三、考慮R3中以下兩組向量(2,3,1)};1 2 3{ 容易證明,,,和{都1 2 3 1 2 3 1 2 3R3.求出由基,,}到{.1 2 3 1 2 3xx 5x x 0x1x22x334 0x四求齊次線性方程組

1 2 3

的一個(gè)基礎(chǔ)解系.3xx1 2

8x x 03 4x3x1 2

9x3

7x 04五.設(shè)F 上三維向量空間的相性變換 關(guān)于基,2,3}的矩陣是11 5 20 15 8 8 7 6求關(guān)于基, , 的矩陣.矩陣.3A232262,求矩陣T,使T1AT.七判斷實(shí)二次形10x1

2x2

3x3

4xx1

4xx1

是不是正定的.八取什么值時(shí),

(x2x2x2)2x

2x

2xx x2 是正定的.

1 2

1 2 1

2 3 4九證明:兩個(gè)對(duì)稱變換的和還是一個(gè)對(duì)稱變換,兩個(gè)對(duì)稱變換的乘積是不是對(duì)稱變換?找出兩個(gè)對(duì)稱變換的乘積是對(duì)稱變換的一個(gè)充要條件. 十證明題:設(shè)向量組,, }線性無關(guān),而,, ,}線性相關(guān) 1 2 r 1 2 r一定可以由,, 相性表.1 2 r《高等代數(shù)》試題8一、10分）設(shè)（）=，試證（1（（x，（+g）=1（2（（）gx，（）+）=1（10分）求f（x）=x3

6x

15x14的有理根。123411112123411112341，（2）D12343 412136104 123141020（1）D ，xa aa x

a a（3）D（3）Dnaaxaaaaaxa（10分）bc

c

ab a b cbc1 1b c2

ca1 1c a2

a b1 1a b2 2

2a b c1 1 1a b c2 2 21 2 1（15分）A

3 1 0

，請(qǐng)用兩種方法（行初等變換，伴隨矩陣）求A1

1 0 2

x1

x 43（10分）用克萊姆規(guī)則解方程組

xx x 42x1x2x33 1 2 3（15分）P

A C0 是一個(gè)n階方陣，其中A，B0 是r階，s階可逆陣+s=n ，P1

A1CB1 ，0 B1 21P0

1 1 21 1 1，求P1 。0 2 50 0 1 30八、計(jì)算（10分）ab ab 0 0 0D n01aD n01ab00，(其中ab)0001ab九、計(jì)算（10分）xzzyxxzzyxzyyxyyyyyyzzzxyzzzzxn24=8分

《高等代數(shù)》試題91A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I2A，B都是n階方陣，且A與B有相同的特征值，則（ ）（A）A相似于B （B）A=B（C）A合同于B （D）|A|=|B|3A是n階實(shí)方陣，則A是正交矩陣的充要條件是（ ）（A）AA1I （B）AA/（C）A1

A/ （D）A2I4、設(shè)A是n階方陣，那么AA是（）（A）對(duì)稱矩陣（B）反對(duì)稱矩陣（C）可逆矩陣（D）對(duì)角矩陣35=15分）1、A相似于單位矩陣，則A= .2、A滿足A22AI0，則A有特征.1 1 0 3、A

1

0 是正定陣，則k滿足條. 0 0 k24、任一個(gè)有限維的向量空間的基是 的，但任兩個(gè)基所含量個(gè)數(shù).三、計(jì)算題：1、判斷實(shí)二次型10x21

2x2

3x3

4xx1

4xx1

是不是正定的。（8分）2A

5 0 0 0 3 2的特征根和相應(yīng)的特征向量（ 0 2 33、設(shè)A為n階方陣，A2

5A6E0，判斷A+3E與A3E是否一定可逆，如果可逆，求出其逆（9分）3 2 4A

2 2

求一個(gè)可逆矩陣T，使T1AT是對(duì)角形矩（12分

6 5f(x)x

4x3

1,g(x)x

3x1,f(x)g(x)除所得的商式和余式。（8分）6 、令 F 是有理數(shù)域，求 F[x] 的多項(xiàng)式f(x)x42x34x24xg(x)2x35x24x3（12分）7、在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式x3

2x

2x1為不可約因式的乘積（8分）8x3

6x

15x14（10分）《高等代數(shù)》試題10一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（ ）個(gè)是Rn的子空間；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x為整數(shù)}；i（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)2（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組1

，，2

線性無關(guān)，

r

可由,1

r

線性表出，則向量組1

，2

r

}也線性無關(guān)；（3）設(shè)1

，，2

線性無關(guān)，則1

，2

r

}也線性無關(guān)；1

，，2

}線性相關(guān)，則r

一定可由1

,，2

r

線性表出；以上說法正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)3（1）n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基；（2）設(shè)1

,，2

是向量空間Vn個(gè)向量，且V中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則1

,，2

是V的一個(gè)基；（3）1

,，2

}是向量空間V的一個(gè)基，如果{，與1 2 n,，1 2 n

等價(jià)，則{，1 2

}也是V的一個(gè)基；（4）n維向量空間V的任意n1個(gè)向量線性相關(guān)以上說法中正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)4（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；屬于線性變換的同一本征值0的本征向量的任一線性組合仍是的本相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；(IX0的非零解向量都是A的屬于 的特征向量；0 0以上說法正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4二、填空題（每空3分，共18分）1、復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，則dimC 它的一個(gè)基。2、設(shè),1 2

, n

是向量空間V的一個(gè)基，由該基到

，2

，}的過n 1渡矩陣。3V是數(shù)域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是1 2 3， 1 2 1 2

，則(關(guān)于3 1

，}的坐標(biāo)。2 32 0 0 3 4、矩陣A0 0 0 0 0

006的特征值。335、在歐氏空間C[2,2]里x2的長(zhǎng)度。6f(xyzx

y

z

xyxzyz的矩陣.三、計(jì)算題（3小題14分，其余每小題12分，共50分）1、已知{x3,x3坐標(biāo)。

x,x

xx是C[xx2x1在該基下的31 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPY把二次型

4f(x,x1 2

,x)4x3 1

3x22

2xx2

3x3

2化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、tf(xx1 2

,x)x3 1

x2

5x23x1

2xx1

4xx2 3正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域C上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果，1

，，2

分別是的屬于互不相同的本征值

的本征向量，證明，

，線性無關(guān)。

1 2 n

1 2 n2、設(shè)是n維歐氏空間V是正交變換又是對(duì)稱變換，證明2是單位變換?！陡叩却鷶?shù)》試題11一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（ ）個(gè)不是Rn的子空間；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x為整數(shù)}；i（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè)（D）4個(gè)2（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組1

，，2

線性無關(guān)，

r

可由, 1 2,

線性表出，則向量組1

，2

r

}也線性無關(guān)；（3）設(shè)1

，，2

線性無關(guān)，則1

，2

r

}也線性無關(guān)；1

，，2

}線性相關(guān)，則r

一定可由1

,，2

r

線性表出；以上說法中不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3（1）n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基；（2）設(shè)1

,，2

是向量空間Vn個(gè)向量，且V中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則1

,，2

是V的一個(gè)基；（3）1

,，2

}是向量空間V的一個(gè)基，如果{，與1 2 n,，1 2 n

等價(jià)，則{，1 2

}也是V的一個(gè)基；（4）n維向量空間V的任意n1個(gè)向量線性相關(guān)以上說法中不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；屬于線性變換的同一本征值0

的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）(0

IA)X0的非零解向量都是A的屬于0

的特征向量；以上說法不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）1、 復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的向量空間，則dimC 它的一個(gè)基。2、設(shè){1

,，2

是向量空間V

，n

，}的1過渡矩陣。3V是數(shù)域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是1 2 3， 1 2 1 2

，則(關(guān)于3 1

，}的坐標(biāo)。2 304A00

0 0 08 0 00 3 4的特征值。30 1 35、在歐氏空間C[2,2]里x的長(zhǎng)度。6、二次型f(x,y,z)x2y2z2xyxzyz的矩陣.三、計(jì)算題141250分）1{x3x3xx2xx是C[x的一個(gè)基，求x23標(biāo)。

2x1在該基下的坐1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)2x3 1

x2

4xx2

4xx1 2化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、tf(xx1 2

,x)t(x3 1

x2

x2)2xx3 1

2xx2

正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域C上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果(i)的特征多項(xiàng)式的根都在C內(nèi)；(ii對(duì)于的特征多項(xiàng)式的每一根V

的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。證明可以對(duì)角化2、設(shè)n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，如果是對(duì)稱變換，且換。證明是正交變換?！陡叩却鷶?shù)》試題1233=9分）1A，B，C是同階方陣，且ABC=I，則必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I

2是單位變（C）CAB=I （D）CBA=I2、設(shè)

為任意非零向量，則（ 。(A)線性相關(guān) (B)線性無關(guān) (C)線性相關(guān)或線性無關(guān) 3、設(shè)向量組（,, I（,, , , , 1 2 r 1 2 r rsI無關(guān)II無關(guān) (B)II無關(guān)I無關(guān)(C)I無關(guān)II相關(guān) (D)II相關(guān)I相二、填空3412分）1、單個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件。2、A 是nn矩陣，對(duì)任何b 矩陣，方程AX=b 都有解的充要條件是n1 。3、敘述替換定 。x1233x1223x1233x1223x1123x

, 則f(4)= 三、計(jì)算題：1 1 1 1 1 11、解矩陣方程X0

21 1 0（9分） 1 1 0 2 1 11

12、R3中的兩向量組3

(1,1,1)

2 3（i）（ii）（iii）

證明它們都是R3的基，并求第一個(gè)基到第二個(gè)基的過渡矩陣，如果在基{,,}下的坐標(biāo)為，，1 2 3求在基,,（15分）1 2 31a1

1 1 13、計(jì)算行列式D 1n

1a 12

1 （aaa 1 2 a

0（9分）1 1 1 1an4、求線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系 2x2x x x 0x 1 2x 2x

3

5（10分）x （10分）1 2 3 4 5 xx 2x x 01 2 3 5 x x x 03 4 55,,,(II),,,,(III),,,.若各向量組1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 5的秩分別為r(I)=r(II)=3,r(III)=4（I,,,的1 2 3 5 4（5分四、證明題：1、證明向量,, （r2線性相關(guān)必要且只要其中某一個(gè)向量是其余向1 2 r量的線性組合。（10分）2、設(shè)W，W 是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交W+W 也是V的一個(gè)1 2 1 2子空間。（7分）3設(shè)在向量組,, 中0并且每一 都不能表成它的前i1個(gè)向量1 2 r 1 i ,, 的線性組合，證明,, 線性無關(guān)（7 1 2 i1 1 2 r4、設(shè)向量可由向量組,, 線性表示，證明表法唯一的充要條件是1 2 s,, （7分）1 2 s33=9分

《高等代數(shù)》試題131A，B是n階方陣，則下列結(jié)論成立得是（ ）（B）AB0A且B0 （B）|A|=0A0(C) |AB|=0|A或|B0 (D) AI|A|12、若向量組中含有零向量，則此向量組（ ）線性相關(guān) (B)線性無關(guān) (C)線性相關(guān)或線性無關(guān)3、n維向量組,, , (3sn)線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）1 2 s存在一組不全為零的數(shù)k

,,

k

k

k 01 2 s 1 1 2 2 s s,, ,中任意兩個(gè)向量組都線性無關(guān)1 2 s,, ,中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示1 2 s,, ,中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示1 2 s3412分）0000x0002x01、003x0015，x= 04000500002、已知向量組(2,2,3), t)線性無關(guān)，則1 2 3t= 3向量組,, ,}的極大無關(guān)組的定義 1 2 nx1233x122x1233x1223x1123x

, 則f(4)= 三、計(jì)算題1 1 1 1 16、解矩陣方程0

2X1 1 0（9分） 1 1 0 2 1 11a100001a1000011a1a2000011a2a30000001an1an000011a1

n 13R3中的兩向量組3

(1,1,1)

2 3（i）證明它們都是R3的基， (ii)求第一個(gè)基到第二個(gè)基的過渡矩陣，(iii)如果在基{,,}下的坐標(biāo)為，，，1 2 3求在基,,（14分）1 2 3xx x 4x 3x 021 2 3 4 5xx 3x 5x 5x 04、線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系

1 xx

3 4 53x 2x x

（10分）1 2 3 4 5四、證明題

3xx1 2

5x3

6x4

7x 051、設(shè),,線性無關(guān)，證明,,也線性無關(guān)。（8分）2、設(shè)W1，W2是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交W1 W2也是V的個(gè)子空間（7分）3（維數(shù)定理）設(shè)W和W 都是數(shù)域F上的向量空間V的有限維子空間，那么1 2W+W 也是有限維的，并且1 2dim(W1+W2)=dimW1+dimW2--dim(W1W2)（12分）4、設(shè)向量組,, ,}線性無關(guān)，且 1 2 n ki1

b (k,n)ki ib b b11 12 1n證明，1

，，2

b線性無關(guān)的一個(gè)充要條件是bn1

b22 b2n0（9分） b bn2 nn《高等代數(shù)》試題14一、填空題（每小題3分，共15分）設(shè)A為5階方陣，且detA3，則detA1

，det(AA) ，A的伴隨矩陣A的行列式det(A) 。多項(xiàng)式f(x)x

x3

3x

4x1與g(x)x3

x

x1的最大公因式(f(xg(x)) 。10131013111211102214

A14

A A A24 34

。把f(x)x

5表成x1的多項(xiàng)式。xx a1 2方程組x x2 3

1a 有解的充要條件。2x x a3 1 3二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)A為四階行列式，且，則A（ ）（A）4 25（C）25

（D）8A為任意階(n為任意常數(shù)，且k0，則必有(kA)1（）knA1

kn1A11kA1

k

A1下列對(duì)于多項(xiàng)式的結(jié)不正確的是（ ）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)g(x)如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)h(x))如果f(x)g(x)，那么h(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)f(xg(xg(xh(xf(xh(x)對(duì)于非齊次線性方程組AX=BA(aij

) ,B(bnn

) ,X(x

) ，則以下n1結(jié)不正確的是（ ）若方程組無解，則系數(shù)行列式0。若方程組有解，則系數(shù)行列式0。若方程組有解，則有惟一解，或者有無窮多解。系數(shù)行列式0是方程組有惟一解的充分必要條件。1設(shè)A(BI)，則A2A的充要條件是（ ）12（A）B=I （B）BI（C）B

I B

I三、解下列各題（40分）1．計(jì)算下列行列式a 1 1 1 101 a 0 0 01D

1 0 a2 0 0n 1 0 0 a 0n11 0 0 0 anxaaxxaaxaaaaxn2f(x)3x

8x3

6x

3x2的有理根。a取何值時(shí)，方程組有解，并求解。axx x a3 1 2 3xax x 1 2

2xx ax 21 2 31 0 1 2 3 1 求解矩陣方程0

2X1 1 0 1 1 0 四、證明下列各題（30分）設(shè)abcdF，且adbc0f(xg(xF[x]，則有f(xg(x))af(xbg(xcf(xdg(x))An（n≥2）Adet

(detA)n1設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，其中0并且AC=CA，證明：A BADC D已知方陣AA2

2AI0A1。《高等代數(shù)》試題15一、填空題（每小題3分，共15分）1．把f(x)2x3x23x5表成x1的多項(xiàng)式。12A111

0 1 31 1 21 1 02 1 4

，則A A41

A A43

。3．設(shè)A(BI)，則A2A的充要條件。24．a(chǎn),b滿條件時(shí)，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)x3

axb有重因式。 x x x a15．方程組x x1 2

2 3x x3

1a 有解的充要條件是 。22x 2x x a2 3 4 3二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)A為n階方陣，k為非零常數(shù)，則det(kA)（ ）（A）k(detA) （B）kdetA（C）kndetA （D）kn

detAbx

2ab設(shè)線性方程組

12cx

2

bc，則（ ） cx2ax 301 3當(dāng)abc取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解。當(dāng)a0時(shí)，方程組無解。當(dāng)b0時(shí)，方程組無解。當(dāng)c0時(shí)，方程組無解。A3AAA1 2 3等值的是（ ）（A）AA1 2（C）AA

A A2 AA

AA3 1A

（B）A1（D）2A

AA1 2A

AA A1 2 3AA1 2 1 2 3 3 1 1 1 3設(shè)AB為n階方陣，則有（ ）（A）A，B可逆，則A+B可逆（B）A，B不可逆，則A+B不可逆（C）A可逆，B不可逆，則A+B不可逆（D）A可逆，B不可逆，則AB不可逆下列對(duì)于多項(xiàng)式的結(jié)不正確的是（ ）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)h(x))如果f(x)g(x)，那么h(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)g(x)三、解下列各題（40分）計(jì)算下列行列式xy0000xy00（1）D n000xyy000xa m a a1 2 na（2）

a m a2 n a a a m1 2 na取什么值時(shí)，方程組有解，并求解。x (a21)x 2x a 1 2 3ax ax (2a1)x 0 1 2 3x (2a1)x 2x 21 2 31 1 1 1 1 1 求解矩陣方程X0

21 1 0 1 1 0 514．求f(x)x5x4 x32x2 x3的有理根。512 2四、證明下列各題（30分）1An（n>2）A的伴隨矩陣，試證：（1）detA(detA)n1（2）(A)(detA)n2A2．設(shè)f(xg(x))1，則f(xg(x)h(x))f(xh(x。3．設(shè)A，B均為n階方陣，證明：A BABABB A《高等代數(shù)》試題一、 填空題（33=9分）1、 A相似于單位陣= 。2、 設(shè)A 為3 階方陣，其特征值為3，—1，2，則|A|= 。3、 當(dāng)t 滿足條件

，使二次型fx22x

3x

2x

2x

x是正定的。1 2 3 1 2 13 2 3二、 判斷題（15=5分）1、若,是方程AIX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則kk

A的屬1 2 11 2 2于 的全部特征向量，其中k,k 是全不為零的常數(shù)。1 2（ ）2AB有相同的特征值，則A與B相似。 （ ）3、若f（x）無有理根，則f（x）在Q上不可約（ ）4、兩個(gè)本原多項(xiàng)式的和仍是本原多項(xiàng)式。 （ ）5、對(duì)于整系數(shù)多項(xiàng)式x，若不存在滿足艾森施坦判別法條件的素?cái)?shù)，么f（x）不可約。 （ ）三、 證明定理2=20分）1、n個(gè)變量的二次型q(xx1 2

, ,xn

)

axxij i

的一切主子式都大于零，q(x,x1 2

, ,xn

)是正定的。

i1j12、令是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線性變換，如,, ,分別是的1 2 n屬于互不相同的本征值1 2

, n

的本征向量，那么,1 2

, ,n

線性無關(guān)。四、 計(jì)算題（104=40分）1、ab應(yīng)該滿足什么條件，有理系數(shù)多項(xiàng)式x33axb才能有重因式。2x5

x

6x3

14x

11x3的有理根。3A矩陣。

1 2 2 1 2 2 1

，求一個(gè)正交矩陣T，使T/AT是對(duì)角4、 將二次型 f(x,

,x)2x22xx

4x

6x

x 化為1 2 3

1 1 2 1

2 3 3規(guī)范形，并指出所用的線性變換五、 證明題（8+12=20分）1（f，g）=1，證明（fg，f+1。2n維歐氏空間V滿足下列三個(gè)條件中（是正交變換i是對(duì)稱變換2I是單位變換。六、證明：正定對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上的元素都是正定的（6分）《高等代數(shù)》試題17一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（ ）個(gè)不是Rn的子空間；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x為整數(shù)}；i（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè)（D）4個(gè)2（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組1

，，2

線性無關(guān)，

r

可由,1

r

線性表出，則向量組1

，2

r

}也線性無關(guān)；（3）設(shè)1

，，2

線性無關(guān)，則1

，2

r

}也線性無關(guān)；1

，，2

}線性相關(guān)，則r

一定可由1

,，2

r

線性表出；以上說法中不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)3（1）n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基；（2）設(shè)1

,，2

是向量空間Vn個(gè)向量，且V中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則1

,，2

是V的一個(gè)基；（3）1

,，2

}是向量空間V的一個(gè)基，如果{，與1 2 n,，1 2 n

等價(jià)，則{，1 2

}也是V的一個(gè)基；（4）n維向量空間V的任意n1個(gè)向量線性相關(guān)以上說法中不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)4（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；屬于線性變換的同一本征值0

的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）(0

IA)X0的非零解向量都是A的屬于0

的特征向量；以上說法不正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（每空3分，共18分）2、 復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的向量空間，則dimC 它的一個(gè)基。2、設(shè){1

,，2

是向量空間V

，n

，}的1過渡矩陣。3V是數(shù)域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是1 2 3， 1 2 1 2

，則(關(guān)于3 1

，}的坐標(biāo)。2 304A00

0 0 08 0 00 3 4的特征值。30 1 35、在歐氏空間C[2,2]里x的長(zhǎng)度。6f(xyzx

y

z

xyxzyz的矩陣.三、計(jì)算題141250分）1{x3x3xx2xx是C[x的一個(gè)基，求x23標(biāo)。

2x1在該基下的坐1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)2x3 1

x2

4xx2

4xx1 2化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、tf(xx1 2

,x)t(x3 1

x2

x2)2xx3 1

2xx2

正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域C上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果(i)的特征多項(xiàng)式的根都在C內(nèi)；(ii)對(duì)于的特征多項(xiàng)式的每一根，本征子空間V

的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。證明可以對(duì)角化2、設(shè)n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，如果是對(duì)稱變換，且換。證明是正交變換。《高等代數(shù)》試題18一、選擇題（每題3分，共12分）1、下列集合有（ ）個(gè)是Rn的子空間；

2是單位變w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x為整數(shù)}；i（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)2（1）若兩個(gè)向量組等價(jià)，則他們所含向量的個(gè)數(shù)相同；（2）若向量組1

，，2

線性無關(guān)，

r1

可由,1

線性表出，則向量組1

，2

r

}也線性無關(guān)；（3）設(shè)1

，，2

線性無關(guān)，則1

，2

r

}也線性無關(guān)；1

，，2

}線性相關(guān)，則r

一定可由1

,，2

r

線性表出；以上說法正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)3（1）n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基；（2）設(shè)1

,，2

是向量空間Vn個(gè)向量，且V中的每個(gè)向量都可由之線性表示，則1

,，2

是V的一個(gè)基；（3）1

,，2

}是向量空間V的一個(gè)基，如果{，與1 2 n,，1 2 n

等價(jià)，則{，1 2

}也是V的一個(gè)基；（4）n維向量空間V的任意n1個(gè)向量線性相關(guān)以上說法中正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)4（1）線性變換的本征向量之和仍為的本征向量；屬于線性變換的同一本征值0

的本征向量的任一線性組合仍是的本征向量；相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）(0

IX0A的屬于0

的特征向量；以上說法正確的有（ ）個(gè)。（A）1個(gè) （B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4二、填空題（每空3分，共18分）1、復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，則dimC 它的一個(gè)基。2、設(shè),1 2

, n

是向量空間V的一個(gè)基，由該基到

，2

，}的過n 1渡矩陣。3V是數(shù)域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是1 2 3， 1 2 1 2

，則(關(guān)于3 1

，}的坐標(biāo)。2 32 0 0 3 4、矩陣A0 0 0 0 0

006的特征值。335、在歐氏空間C[2,2]里x2的長(zhǎng)度。6f(x,yz)x

y

z

xyxzyz的矩陣.三、計(jì)算題（3小題14分，其余每小題12分，共50分）1、已知{x3x3xx2xx是C[xx2x1在該基下的3坐標(biāo)。1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)4x3 1

3x22

2xx2

3x23化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形。4、t取何值時(shí)，二次型f(x,x1 2

,x)x3 1

x2

5x23x1

2xx1

4xx2 3正定。四、證明題（每小題10，共20分）1、令是數(shù)域C上向量空間V的一個(gè)線性變換，如果1

，，2

分別是的屬于互不相同的本征值

的本征向量，證明，

，1 2 n 1 2 n線性無關(guān)。2、設(shè)是n維歐氏空間V是正交變換又是對(duì)稱變換，證明2是單位變換?！陡叩却鷶?shù)》試題19一、選擇題（每小題3分，共15分）1、設(shè)均為n階矩陣，則正確的為 （ ）A det(AB)