【質(zhì)量管理課件】中心極限定理

大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理1定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均一大數(shù)定律頻率具有穩(wěn)定性，大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性就是大數(shù)定律的客觀背景。則對于任意正數(shù)ε有定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X22定理的意義：當(dāng)n很大時(shí)X1,X2,…,Xn的算術(shù)平均值這種接近是在概率意義下的接近.通俗地講,在定理的條件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增大時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。設(shè)Y1,Y2,…,Yn是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對于任意e>0有則稱序列Y1,Y2,…,Yn依概率收斂于a,記為定理的意義：當(dāng)n很大時(shí)X1,X2,…,3故上述定理一又可敘述為：

定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)則序列定理二(貝努利定理)設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，依概率收斂的序列還有以下的性質(zhì)故上述定理一又可敘述為：定理二4則對于任意正數(shù)e>0,有或(1.2)證引入隨機(jī)變量顯然nA=X1+X2+····+Xn.由于Xk只依賴于第k次試驗(yàn)，而各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.于是X1,X2,···是相互獨(dú)立的;又由于Xk服從(0--1)分布，故有E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,···,n,···.則對于任意正數(shù)e>0,有或(1.2)證引入隨機(jī)變量顯5由定理一有即貝努利定理表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件的概率p，且以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。n很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率的偏差很小,故可用頻率代替概率。定理一中要求X1,X2····的方差存在。但服從相同分布的場合，并不需要這一要求，故有以下定理。由定理一有即貝努利定理表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收6定理三(辛欽定理)

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=m(k=1,2,···),則對于任意正數(shù)e，有(1.3)二中心極限定理有些隨機(jī)變量,它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所形成的,而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起作用都是很微小的。這種隨機(jī)變量往往近似服從正態(tài)分布。證略。易見貝努利定理是辛欽定理的特殊情況定理三(辛欽定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,7定理四(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=m,D(Xk)=s20(k=1,2,…),則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足(2.1)證略。定理四(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)8例1：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電子元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)的取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率?解：設(shè)Xk表示第k只元件的壽命（k=1,2,3,…….16)則Xk服從指數(shù)分布，E(Xk)=100，D(Xk)=10000設(shè)Z=X1+X2+……+X16

則所求概率為：例1：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電子元件的壽命服從均值為1009由于：E(xk)=100,D(xk)=1002則由于：E(xk)=100,D(xk)=100210定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且它們具有數(shù)學(xué)期望和方差：若存在正數(shù)d,使得當(dāng)n時(shí)，則隨機(jī)變量定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)設(shè)隨機(jī)11的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x,滿足證明略。定理五表明，在定理的條件下，隨機(jī)變量Zn,當(dāng)n很大時(shí)，服從正態(tài)分布N(0,1)。由此，當(dāng)n很大時(shí)近似服從正態(tài)分布即就是說,無論各個(gè)Xk具有怎樣的分布,只要滿足定理的條件,那么其和Xk,當(dāng)n很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布.例的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x,滿足證明略。12如城市耗電量是大量用戶耗電的總和。物理實(shí)驗(yàn)誤差是由許多觀察不到的、可加的小誤差構(gòu)成，故服從正態(tài)分布。

定理六(德莫佛-拉普拉斯Demoiver-Laplace定理)

設(shè)隨機(jī)變量hn(n=1,2,···)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意x,恒有(2.3)證由前面知可以將hn看成是n個(gè)相互獨(dú)立、服從同一(0--1)分布的諸隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn之和，即有如城市耗電量是大量用戶耗電的總和。物理實(shí)驗(yàn)誤差是由(2.3)13其中Xk(k=1,2,···,n)的分布律為P{Xk=i}=pi(1-p)1-i,i=0,1.由于E(Xk)=P,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,···,n),由定理四得對于任意區(qū)間(a,b]有其中Xk(k=1,2,···,n)的分布律為對于任意區(qū)14例2一加速器同時(shí)收到20個(gè)噪音電壓Vk(k=1,2,···,20)設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布。記V=Vk,求P{V>105}的近似值。

解易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,···,20),由定理四，隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是例2一加速器同時(shí)收到20個(gè)噪音電壓Vk(15即有P{V>105}≈0.387.

例3設(shè)一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪的沖擊,問其中有29500~30500次縱搖角大于3o的概率是多少？

解設(shè)X為在90000次波浪中縱搖角大于3o的次數(shù),則X~b(90000,1/3)

即有P{V>105}≈0.387.16其分布律為所求的概率為由定理六，得其分布律為所求的概率為由定理六，得17其中n=90000,p=1/3.即有P{29500<X30500}其中n=90000,p=1/3.即有P{2950018例一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每年每人付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率是多少？例一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，19解：設(shè)x為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則x服從B(10000,0.006)從而E(X)=np=60D(X)=np(1-p)=59.64(1)虧本即入不敷出，公司每年收入12000元死一人支出1000元，死120人要支出120000元故{X>120}發(fā)生時(shí)，就要虧本。P{X>120}=1-P{X≤120}解：設(shè)x為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則x服從20（2）利潤不少于40000元，即支出要少于120000-40000=80000元因此死亡人數(shù)不能多于80000/1000人設(shè)利潤不少于40000元的概率為p,則（2）利潤不少于40000元，即支出要少于21【質(zhì)量管理課件】中心極限定理22大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理23定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均一大數(shù)定律頻率具有穩(wěn)定性，大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性就是大數(shù)定律的客觀背景。則對于任意正數(shù)ε有定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X224定理的意義：當(dāng)n很大時(shí)X1,X2,…,Xn的算術(shù)平均值這種接近是在概率意義下的接近.通俗地講,在定理的條件下,n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,當(dāng)n無限增大時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。設(shè)Y1,Y2,…,Yn是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對于任意e>0有則稱序列Y1,Y2,…,Yn依概率收斂于a,記為定理的意義：當(dāng)n很大時(shí)X1,X2,…,25故上述定理一又可敘述為：

定理一設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)則序列定理二(貝努利定理)設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，依概率收斂的序列還有以下的性質(zhì)故上述定理一又可敘述為：定理二26則對于任意正數(shù)e>0,有或(1.2)證引入隨機(jī)變量顯然nA=X1+X2+····+Xn.由于Xk只依賴于第k次試驗(yàn)，而各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.于是X1,X2,···是相互獨(dú)立的;又由于Xk服從(0--1)分布，故有E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,···,n,···.則對于任意正數(shù)e>0,有或(1.2)證引入隨機(jī)變量顯27由定理一有即貝努利定理表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件的概率p，且以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。n很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率的偏差很小,故可用頻率代替概率。定理一中要求X1,X2····的方差存在。但服從相同分布的場合，并不需要這一要求，故有以下定理。由定理一有即貝努利定理表明事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收28定理三(辛欽定理)

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=m(k=1,2,···),則對于任意正數(shù)e，有(1.3)二中心極限定理有些隨機(jī)變量,它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所形成的,而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起作用都是很微小的。這種隨機(jī)變量往往近似服從正態(tài)分布。證略。易見貝努利定理是辛欽定理的特殊情況定理三(辛欽定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,29定理四(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=m,D(Xk)=s20(k=1,2,…),則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足(2.1)證略。定理四(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)隨機(jī)30例1：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電子元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)的取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率?解：設(shè)Xk表示第k只元件的壽命（k=1,2,3,…….16)則Xk服從指數(shù)分布，E(Xk)=100，D(Xk)=10000設(shè)Z=X1+X2+……+X16

則所求概率為：例1：據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電子元件的壽命服從均值為10031由于：E(xk)=100,D(xk)=1002則由于：E(xk)=100,D(xk)=100232定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且它們具有數(shù)學(xué)期望和方差：若存在正數(shù)d,使得當(dāng)n時(shí)，則隨機(jī)變量定理五(李雅普諾夫Liapunov定理)設(shè)隨機(jī)33的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x,滿足證明略。定理五表明，在定理的條件下，隨機(jī)變量Zn,當(dāng)n很大時(shí)，服從正態(tài)分布N(0,1)。由此，當(dāng)n很大時(shí)近似服從正態(tài)分布即就是說,無論各個(gè)Xk具有怎樣的分布,只要滿足定理的條件,那么其和Xk,當(dāng)n很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布.例的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x,滿足證明略。34如城市耗電量是大量用戶耗電的總和。物理實(shí)驗(yàn)誤差是由許多觀察不到的、可加的小誤差構(gòu)成，故服從正態(tài)分布。

定理六(德莫佛-拉普拉斯Demoiver-Laplace定理)

設(shè)隨機(jī)變量hn(n=1,2,···)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意x,恒有(2.3)證由前面知可以將hn看成是n個(gè)相互獨(dú)立、服從同一(0--1)分布的諸隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn之和，即有如城市耗電量是大量用戶耗電的總和。物理實(shí)驗(yàn)誤差是由(2.3)35其中Xk(k=1,2,···,n)的分布律為P{Xk=i}=pi(1-p)1-i,i=0,1.由于E(Xk)=P,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,···,n),由定理四得對于任意區(qū)間(a,b]有其中Xk(k=1,2,···,n)的分布律為對于任意區(qū)36例2一加速器同時(shí)收到20個(gè)噪音電壓Vk(k=1,2,···,20)設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布。記V=Vk,求P{V>105}的近似值。

解易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,···,20),由定理四，隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布N(0,1),于是例2一加速器同時(shí)收到20個(gè)噪音電壓Vk(37即有P{V>105}≈0.387.

例3設(shè)一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪的沖擊,問其中有29500~305