向量空間與線性變換在數(shù)學大廈中的重要地位課件

向量空間與線性變換

在數(shù)學大廈中的重要地位主講侯維民教授

向量空間與線性變換

在數(shù)學大廈中的重要地位主講侯1

向量空間與線性變換在數(shù)學大廈中的重要地位主要體現(xiàn)在以下三方面：

一、在大學數(shù)學課程體系中的核心地位二、對諸多數(shù)學知識的領導作用三、對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用向量空間與線性變換在數(shù)學大廈中的重要地位主要體現(xiàn)在以下三方2一.在大學數(shù)學課程體系中的核心地位1高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課2線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容3向量空間、線性變換在線性代數(shù)中的核心地位一.在大學數(shù)學課程體系中的核心地位1高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)3

高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課

高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課

4線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容●三部分內(nèi)容簡介●三部分內(nèi)容重要性比較多項式論群環(huán)域簡介線性代數(shù)高等代數(shù)線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容多項式論群環(huán)域簡介線性代數(shù)高等代5

向量空間、線性變換

在線性代數(shù)中的核心地位

向量空間、線性變換

在線性代數(shù)中的核心地位

6二對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對中學數(shù)學設C表示復數(shù)域，則(C,+,·)作成C上的向量空間設R表示實數(shù)域，則(R,+,·)作成R上的向量空間設Q表示有理數(shù)域，則(Q,+,·)作成Q上的向量空間二對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識7二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對解析幾何○設v1={a|a是直線上的向量},則(v1,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○設v2={a|a是平面上的向量},則(v2,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○設v3={a|a是幾何空間的向量},則(v3,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○○二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

8●對數(shù)學分析二、

對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對數(shù)學分析二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

9二、

對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)(1)令F是一個數(shù)域，則(F,+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(2)F[x]={f(x)|f(x)是F上的多項式},則(F[x],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(3)令F[x1,x2,...,xn]是F上多元多項式的集合，則（F[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(4)令Fm[x1,x2,...,xn]是F上m次齊次多項式的集合，則(Fm[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(5)令F對[x1,x2,...,xn]是F上對稱多項式的集合，則

(F對[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間（6）令Mm×n(F)={A|A是F上的m×n矩陣}，則(Mm×n(F),+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(7)令M是F上n階對稱（反對稱）矩陣的集合，則(M，+，數(shù)乘)作成F上的向量空間（8）令M是F上n階上（下）三角形矩陣的集合，則(M，+，數(shù)乘)作成F上的向量空間（9）設V是F上的向量空間，則L(V)作成F上的向量空間二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一10二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對中學數(shù)學

正比例函數(shù)y=kx二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

11二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對解析幾何二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

12二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對數(shù)學分析如不計較常數(shù)的差異，也可看成C[a,b]的線性變換注意則是C[a,b]上的線性函數(shù)，而不是線性變換二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

13二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

14二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

15三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

●現(xiàn)代數(shù)學思想方法：形式公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法、矩陣表示方法

................三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用●現(xiàn)16三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

（一）形式公理化方法○抽象代數(shù)：群、環(huán)、域、模、格○拓撲學：拓撲、同胚○泛函分析：距離、線性賦范空間○概率論：概率

三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

17三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

（二）結(jié)構(gòu)化方法

數(shù)學結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)向量空間的結(jié)構(gòu)線性變換的結(jié)構(gòu)三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

18三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

（三）矩陣表示方法●取定一個基后，向量、向量組、線性映射、線性變換、線性函數(shù)、雙線性函數(shù)...●基變換公式、坐標變換公式、向量組之間的線性關系、線性變換的計算公式、矩陣之間的相似關系●三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

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謝謝大家！謝謝大家！20向量空間與線性變換

在數(shù)學大廈中的重要地位主講侯維民教授

向量空間與線性變換

在數(shù)學大廈中的重要地位主講侯21

向量空間與線性變換在數(shù)學大廈中的重要地位主要體現(xiàn)在以下三方面：

一、在大學數(shù)學課程體系中的核心地位二、對諸多數(shù)學知識的領導作用三、對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用向量空間與線性變換在數(shù)學大廈中的重要地位主要體現(xiàn)在以下三方22一.在大學數(shù)學課程體系中的核心地位1高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課2線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容3向量空間、線性變換在線性代數(shù)中的核心地位一.在大學數(shù)學課程體系中的核心地位1高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)23

高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課

高等代數(shù)是數(shù)學類各專業(yè)的骨干基礎課

24線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容●三部分內(nèi)容簡介●三部分內(nèi)容重要性比較多項式論群環(huán)域簡介線性代數(shù)高等代數(shù)線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容多項式論群環(huán)域簡介線性代數(shù)高等代25

向量空間、線性變換

在線性代數(shù)中的核心地位

向量空間、線性變換

在線性代數(shù)中的核心地位

26二對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對中學數(shù)學設C表示復數(shù)域，則(C,+,·)作成C上的向量空間設R表示實數(shù)域，則(R,+,·)作成R上的向量空間設Q表示有理數(shù)域，則(Q,+,·)作成Q上的向量空間二對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識27二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對解析幾何○設v1={a|a是直線上的向量},則(v1,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○設v2={a|a是平面上的向量},則(v2,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○設v3={a|a是幾何空間的向量},則(v3,+,數(shù)乘)作成R上的向量空間○○二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

28●對數(shù)學分析二、

對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對數(shù)學分析二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

29二、

對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一）向量空間對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)(1)令F是一個數(shù)域，則(F,+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(2)F[x]={f(x)|f(x)是F上的多項式},則(F[x],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(3)令F[x1,x2,...,xn]是F上多元多項式的集合，則（F[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(4)令Fm[x1,x2,...,xn]是F上m次齊次多項式的集合，則(Fm[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(5)令F對[x1,x2,...,xn]是F上對稱多項式的集合，則

(F對[x1,x2,...,xn],+,數(shù)乘)作成F上的向量空間（6）令Mm×n(F)={A|A是F上的m×n矩陣}，則(Mm×n(F),+,數(shù)乘)作成F上的向量空間(7)令M是F上n階對稱（反對稱）矩陣的集合，則(M，+，數(shù)乘)作成F上的向量空間（8）令M是F上n階上（下）三角形矩陣的集合，則(M，+，數(shù)乘)作成F上的向量空間（9）設V是F上的向量空間，則L(V)作成F上的向量空間二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（一30二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對中學數(shù)學

正比例函數(shù)y=kx二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

31二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對解析幾何二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

32二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對數(shù)學分析如不計較常數(shù)的差異，也可看成C[a,b]的線性變換注意則是C[a,b]上的線性函數(shù)，而不是線性變換二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

33二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

34二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

（二）線性變換對諸多數(shù)學知識的領導作用●對高等代數(shù)二、對諸多數(shù)學知識的領導作用

35三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

●現(xiàn)代數(shù)學思想方法：形式公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法、矩陣表示方法

................三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用●現(xiàn)36三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

（一）形式公理化方法○抽象代數(shù)：群、環(huán)、域、模、格○拓撲學：拓撲、同胚○泛函分析：距離、線性賦范空間○概率論：概率

三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用

37三.對現(xiàn)代數(shù)學思想方法的奠基作用