2020東城區(qū)高三一模試卷及答案(數(shù)學(xué)理)

北京市東城區(qū)2020-2020學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第I卷和第II卷兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題共40分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）若a，beR，i是虛數(shù)單位，且a+（b-2）i二1+i，則a+b的值為（A）1（B）2（C）3（D）4(2)若集合A(2)若集合A={0,m2}，B={1,2}，則“m二1”是“AB={0,1,2}”的（A）充分不必要條件（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件y+x<1,（3）若實數(shù)X，yy+x<1,（3）若實數(shù)X，y滿足不等式組L-x<2,則z=x-2y的最小值為y>0,7(A)-7(B)-22C)1D)⑷右圖給出的是計算2+4+1+8+…+占的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(A)i<50(B)i>50(C)i<25(D)i>255）某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為A)16B)18C)24D)32(6)已知x,yA)16B)18C)24D)32(6)已知x,y,zeR若-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列，則xyz的值為C(A)-3(B)±3(C)-3朽(D)±3運在直角梯形ABCD中，已知BC〃AD,AB丄AD,AB=4,BC=2,AD=4,若P為CD的中點，則PA-PB的值為(A)-5(B)-4(C)4(D)5已知函數(shù)松日1-O,若方程f(x)二x+a有且只有兩個不相等的實f(x-1),x>0.數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是(A)(-込1)(B)(-8,l](C)(0,1)(D)[0,+8)第II卷(共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。(9)命題“Bxe(0,—),tanx>sinx”的否定是?o2oo(10)在極坐標系中，圓p=2的圓心到直線pcos0+psin0=2的距離為,在如圖所示的莖葉圖中，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是—；若從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中分別去掉一個最大數(shù)和一個最小數(shù)后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)中較大的一組是—組.如圖，AB是。O的直徑，直線DE切。O于點D,且與AB延長線交于點C,ABO若CD=<3,CB=1，則ZADE=ABO拋物線y2=x的準線方程為—；經(jīng)過此拋物線的焦點是和點

M(1,1)，且與準線相切的圓共有個.(14)如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點M在AD上，正方形ABCD以AD為軸逆時針旋轉(zhuǎn)0角(0W0W-)到ABCD的位置，同時點M沿著AD從點A311運動到點D,MN=DC，點Q在MN上，在運動過程中點Q始終滿足111ABQM=-^，記點Q在面ABCD上的射影為Q，則在運動過程中ABcos00向量BQ與BM夾角a頂正切的最大值為o三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(本小題共13分)已知函數(shù)f(x)=(sin2x+cos2x)2一2sin22x?求f(x)的最小正周期；若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移-個單位長度，再向上8平移1個單位長度得到的，當(dāng)xG[0,扌]時，求y=g(x)的最大值和最小值.(本小題共13分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品，則獲利4萬元，若是二等品，則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品，則獲利6萬元，若是二等品，則虧損2萬元.兩種產(chǎn)品生產(chǎn)的質(zhì)量相互獨立.設(shè)生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤為X(單位：萬元)，求X的分布列；求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率.(本小題共13分)如圖1,在邊長為3的正三角形ABC中，E,F,P分別為AB,AC,BC上的點，且滿足AE二FC二CP二1?將△AEF沿EF折起到△AEF的位置，使二面角1A-EF-B成直二面角，連結(jié)AB,AP?(如圖2)111求證：AE丄平面BEP；1求直線AE與平面ABP所成角的大小.11BPC圖2BPC圖2(本小題共14分)1已知函數(shù)f(x)=x2+2ex-3e2lnx-b在(x,0)處的切線斜率為零.20求x和b的值；0求證：在定義域內(nèi)f(x)三0恒成立；若函數(shù)F(x)=f'(x)+a有最小值m，且m>2e，求實數(shù)a的取值范圍.x(本小題共13分)已知橢圓C:蘭+蘭=l(a>b>0)的離心率是-，其左、右頂點分別為A，A，a2b2212B為短軸的端點，△ABA的面積為2爲.12求橢圓C的方程；F為橢圓C的右焦點，若點P是橢圓C上異于A，A的任意一點，直線AP，2121AP與直線x二4分別交于M，N兩點，證明：以MN為直徑的圓與直線PF相22切于點F．220)(本小題共14分)若對于正整數(shù)k,g(k)表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，例如g⑶=3，g(10)=5?設(shè)S二g(1)+g⑵+g⑶+g⑷++g(2n)?n求g⑹，g(20)的值；求S，S，S的值；123求數(shù)列｛s｝的通項公式.n…………11…………11北京市東城區(qū)2020-2020學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)參考答案及評分標準（理科）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1）D（2）A（3）A4)B1）D（2）A（3）A4)B（5）C（6）C（7）D（8）A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）兀(9)Vxe(0,—),tanx<sinx2(10)邁(11)8412)60(13)x=--2(14)<6412乙注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）解：(I)因為f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin22x二sin4x+cos4x=j2sin(4x+),46分所以函數(shù)f(x)的最小正周期為8分(II)依題意，y=g(x)=p2sin[4(x一)+]+18410分=￡2sin(4x-f)+1.10分因為0<x<-，所以-嗅4x--<跡4444當(dāng)4x-當(dāng)4x-4=g(x)取最大值p2+1；當(dāng)4-彳=-J，即x二0時，g(x)取最小值0.130.(16)(共13分)TOC\o"1-5"\h\z解：(I)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2,-3.2分P(X=10)二0.8x0.9二0.72，P(X=5)=0.2x0.9=0.18，P(X=2)=0.8x0.1=0.08，P(X=-3)=0.2x0.1=0.02.6分由此得X的分布列為：X1052-3P0.720.180.080.02TOC\o"1-5"\h\z(II)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4-n件.14由題設(shè)知4n—(4—n)>10，解得n>-，neN*且n=4.…………10分512所求概率為P=C3x0.83x0.2+0.84=0.8192.(或?qū)懗伞?4625答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192.…………13分17)(共13分)(I)證明：取BE中點D，連結(jié)DF.因為AE=CF=1，DE=1，

所以AF=AD=2，而厶二60，即△ADF是正三角形.又因為AE=ED=1,所以EF±AD?2分所以在圖2中有AE丄EF,BE丄EF?3分1所以ZAEB為二面角A-EF-B的平面角11圖1又二面角A-EF-B為直二面角，1所以AE丄BE?1分又因為BEEF=E,即AE丄平面1所以即AE丄平面11BEP?…………6分(II)解：由(I)可知AE丄平面BEP,BE丄EF，如圖，以E為原點，建立空1間直角坐標系E-xyz,則E(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),在圖1中，連結(jié)DP?因為CF二空二1,FAPB2所以PF〃BE，且PF二1BE二DE?2所以四邊形EFPD為平行四邊形.所以EF〃DP，且EF=DP?圖BP=(-1,圖BP=(-1,我0),2所以AB=(2,0,-1),EA=(0,0,1)?8分122x22x不妨設(shè)平面ABP的法向量n=(x,y,z)，則<1A1B-“=°，BP-n=0.2x一z=0,x-\3y=0.10分n-EAcos〈n,EA〉=」1InIIEAI1lx4J3—〒12分AE

l與平面ABP1成角的大小為13分18)(共14分)3e22分f'(x)=x+2e2分x解得x解得x=e0或x=一3e(舍0由題意有f(x)=00

即x+2e-3e2=0,0x0去)．4分得f(e)=0—e2+2e2一3e2lne-b=02解得b=-—e2.25分1e2(II)證明：由(I)知f(x)=x2+2ex一3e2lnx+(x>0),八x)=x+2e一空=(x一e)(x+3e)(x>0).x在區(qū)間(0,e)上，有廣(x)<0；在區(qū)間(e,+Q上，有廣(x)>0?故f(x)在(0,e)單調(diào)遞減，在(e,+8)單調(diào)遞增,于是函數(shù)f(x)在(0,+8)上的最小值是f(e)=0QZk……9分故當(dāng)x〉0時，有f(x)仝0恒成立..inr10分(III)解：F(x)=aa-3e2f(x)+=x++2e(xxx〉0).當(dāng)a〉3e2時,貝VF(x)=x+-_竺+2e>2\a-3e2+2e,當(dāng)且僅當(dāng)xx=、、：a-3e2時等號成立，故F(x)的最小值m=2Ua-3e2+2e〉2e,符合題意；…………13分當(dāng)a=3e2時，函數(shù)F(x)=x+2e在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，不存在最小值,不合題意；當(dāng)a<3e2時，函數(shù)F(x)=x+"-血+2e在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，不存在x最小值，不合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(3e2,+8)．…………14分(19)(共13分)(I)解：由已知「c=1a2'<ab=2更，2分a2=b2+c2.44方程5分(II)證明:由(I)知A(-2,0),A(2,0),F(1,0)?122設(shè)方程5分(II)證明:由(I)知A(-2,0),A(2,0),F(1,0)?122設(shè)P(x,y)(xH±2)，則3x2+4y2=12.00000于是直線AP方程為y=yo(x+2)，令1x=4，得yM(4,6yox+202yN(4,二)?x-2o7分所以FM=(3,6y2FN=(3,2).所以FM-FN=(3,竺)?(3,2V)22x+2x-200=9+6y2y0x0—x+2x-200=9+=9-12y293(12—3xj)x2-4x2-4009(x2-4)o=9-9=0?x2-40所以FM丄FN22上．設(shè)MN的點F在以MN2…………9分

中點為為直徑E，的圓則解得a=2,b=\3?分故所求橢圓gg(2m)=g(m)?8分E(44y(x-1)、TOC\o"1-5"\h\zE(4,00)?x2-40又FE=(3,4yo(xo-1)),FP=(x-1,y2x2-42000所以FE-FP=(3,4yo(Xo-1)).(x-1,y22X2-400o(12-3x2)(x-1)二3(x-1)+0__0—二3(x-1)-3(x-1)=0?0x2—4000所以FE丄FP?2212分因為FE是以MN為直徑的圓的半徑，E為圓心，F(xiàn)E丄FP,222故以MN為直徑的圓與直線PF2相切于右焦點?13分(20)(共14分)解：(I)g(6)=3，g(20)=5?r2分(II)S=g(1)+g(2)=1+1=2；1S=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6；2S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22…………6分(III)由(I)(11)不難發(fā)現(xiàn)對meN*,有1414所以當(dāng)n>2時，S=g(1)+g⑵+g(3)+g⑷++g(2n-1)+g(2n)n=[g(1)+g(3)+g(5)++g(2n-1)]+[g(2)+g(4)++g(2n)]???=