3不含參數(shù)的極值點偏移問題

3不含參數(shù)的極值點偏移問題函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)例1:已知函數(shù)f(X)=xe~(x亡R)，如果XHX2，且f(xj=f(x).2證明：Xi+X2:>2.【陌羊祈】法一(判定定理)；二易得代◎在(7”1〉上單aas,在Ug上單調(diào)遞耀，工一〉—00時J(x}——00ff(0)=0>X一〉-KOO"ff(X)—>0t宙數(shù)在〃1處取得根大值/(I)，且Ai)=-."aa所示一eVi由/佃再*Xj,不妨設(shè)碼弋在，貝蛇有Ou<1c巧，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x),x<”(0,1］,則F'(x)=f'(1+x)—f'(1—x)="(e2x-1)>0,e所以F(x)在x<”(0,1］上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,也即f(1+x)Af(1—X)對(0,1］恒成立.VX1<1<X2，貝U1—X1壬(0,1］，所以f(1+(1—X1))=f(2-Xi)〉f(1—(1—為))〃(x0=f(X2),即f(2—X1)〉f(X2)，又因為2—X1,X2€(1,址)，且f(x)在(1,州上單調(diào)遞減，所以2—X］vx?，即證X，+x2》2.法2：由f(Xi)=f(X2)，得Xi""X2"W化簡得ex2」=竺川不妨設(shè)X2〉Xi，由法一知，0cXici<X2.t+XT令t=X2—Xi，貝yt:>0,X2=t+xi，代入式，得etLXi反解出洛=±-e-i2t貝yxi+X2=2xi二一+t，故要證Xi+X2:>2，e-+ti2t即證羊二+七>2,et-i又因為et-"0，等價于證明：2t+(t—2)(e—i)aOHI構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t-2)(e-1),(ta。)，則G'(t)=(t—1)￡+lG'(t)f>0,故G(t)在H"(O”)上單調(diào)遞增，G'(t)>G'(0)=0,從而G(t)也在t<：(0，邑)上單調(diào)遞增，G(t)aG(0)=0,即證：②式成立，也即原不等式Xi+X2>2成立記F(X)在(1,亦)內(nèi)的零點為Xo,記F(X)在(1,亦)內(nèi)的零點為Xo,試證明:f(x),g(x)｝，若關(guān)于x的方程h(x)Xi,X2*2，(1)記『(x)=f(X)_g(x)，求證：函數(shù)F(X)在區(qū)間(1,亦)內(nèi)有且僅有一個零點;(2)用min｛a,b｝表示a,b中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min=c(其中c為常數(shù))在區(qū)間(1,*c)有兩個不相等的實根X+XC1>iSE明；F(jc)=jcliijc—jc歧rh”=InA+I+(JC—顯然當(dāng)器時*r\xy"o，故Fg在上羊詢瑚增.12小而jr(l>=——<0”尸〔2)=加4工二苛A0r所以由零點殍在定理知.ee必看在唯％譽山2｝匚口，2八得尸00=0,卻函數(shù)尸(工〉在區(qū)伺(1,+日勺)內(nèi)育且僅有一個零點.C2)由<1>問可知二立立」且乂左0,斗)時_/\工)〈：占00.He0”+?0時乳：0WI町.JInx,l<Jf<jcqjCgT，耳3工0其中Xo滿足兀DInjCo=Pji>x(,=。~瑪*(事真_匕jr"e(L#2〉)v—瑪)-WJCe(1,jCq>時V<x)=InX+1>0,xe(氐，+8)時=(I—x)e<0,丙此枷CO每1%)丁，0<OR01.若方程hS=c莊區(qū)聞d+s)有兩個平相零的買根<J<"2)*貝町那有Kie(lnX(，人嗎e,所證U>盂1+JCjA2耳00工2>2JCn—]>■因為杭兀)在Ox+s)單調(diào)遞減〃所只冊證V訊2jCQ-日勺八而班*』-坯叭八所以只需征呱曲)CAd知一龍J即證明二jcjInX,<;(2孔一Jcjg-H和一m構(gòu)造函MPd=JInX—C2jtp—:=XInX+(X—2%)『-,x一發(fā)現(xiàn)爐0(,)=孔｝nx一工蘆0,\x)=1+Inx+<x—2涓0卡下證明；ced，Hc)時，訶0)AOta感立：考查E&數(shù)=(JC+,wxjc)=(盤+2)￡-“-冊q又w(-T)在(Y0*』)【，(2,+oo)T，新以F有心W-〃嚴(yán)1)孑一％三K-2)一盲因此，He時'=1+Injc"Hw(jc—2x(j)"1+Ini>0?即卯在￡叭)仁所以巧它a%)時.代叭)。血％〉=0即?朋立，T12例3：已知函數(shù)f(X)=1nX+x+x，正實數(shù)Xjx2滿足f(xj+f(X2)中為％2=0.45-i證明：Xi+x2>—【解析】由f(xi)+f(X2)+X1X2=0,得InXi+Xi2+Xi+lnX2+x?2+X2+XiX2=0?/,2從而(兀+X2)+(X]+x2A%-l門&瘁2),令｛二XjX?,構(gòu)造函數(shù)半(t)=t-lnt.it一i得申(tH”，可知w(t)在(0,i)上單調(diào)遞減，在(i,+")上單調(diào)遞增，所以?(t)>?(i)=i,也即以+X〉+X2)>i,例4：已知函數(shù)f(x)=lnx—x.（I）求函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間；（n）若方程f（x）=m（mV_2）有兩個相異實根x,,x2,且x,V%,證明：x1x2^2.【答案】（I）y=f（x）在（0,1）遞增，y=f（x）在（1,+處）遞減；（n）見解析【解折】試題分祈Ml）求出廠何，廠（x）a可得函數(shù)得fW的惟g間，廠（刃V0得可得酗得/（X）的鬲區(qū)間才V2〉由⑴可設(shè)/0）二川的兩個相畀實根弁別為Kfl足0V斗億哥》1」11珂一碼一蜩=0*|1”3-幣—陽二0、只需證明.￥（再）〈雷（+1良^試題解析：（1〉了仗）=In-盂的定義t媯（0,-Ktt）（2）由⑴可設(shè)當(dāng)皿（0」）時廣（小（1所以y=/w在（0山部<當(dāng)X￡（1,中「）時廣⑴Y0所嘆7=f{x）在（K+CO）遞屜/（Z）二ff3的兩個相異實根分別為，則滿足kix-x-M二Q且0UX]V1,芹2>1,h心一酉-二In可-X]-警二0由題意可知InX]-*?二朋一2V：ln2-2又有⑴可知/（x）=Inx-x在（1,400）遞減2所以0<1,令g（M二lnx-XF22222貝心）-g（r）—XL—xj一血一7一D—他乃-乃）-（lii）殆花開2冏2=-Xj+—+31nXj-I