初中幾何探究

一、猜想、探究題.已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，有在直線l的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作l的垂線，垂足為RC,E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE,且AED90°.(1)如圖①，如果AB6,BC16,且BE:EC1:3,求AD的長.(2)如圖②，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段ARBC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明.再探究：當(dāng)A、D分別在直線l兩側(cè)且ABCD,而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不必證明..如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，作/AEF=90,使EF交矩形的外角平分線BF于點(diǎn)F,設(shè)C(m,n).11)若m=n時(shí)，如圖，求證：EF=AE;(2)若mwn時(shí)，如圖，試問邊OB上是否還存在點(diǎn)E,使得EF=AE?若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)若m=tn(t>1)時(shí)，試探究點(diǎn)E在邊OB的何處時(shí)，使得EF=(t+1)AE成立？并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

.數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).AEF900,且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證zXAMEECF,所以AEEF.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B,C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論"AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.4.如圖①，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（2,0）和（0,4）,將ZXABO繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得AABO，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B.（1）寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AB的解析式；（2）將AABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A,B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,0）,△CDE與△ABO重疊部分的面積為S.i）試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；ii）當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大？最大值是多少？iii）是否存在這樣的點(diǎn)C,使得4ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.如圖，矩形ABCD中，AB5,AD3.點(diǎn)E是CD上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直徑的。O與AB交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG±BE于點(diǎn)G.(1)當(dāng)E是CD的中點(diǎn)時(shí)：①tanEAB的值為；②證明：FG是。。的切線；DC0GBA(2)試探究：BE能否與。0相切*能，求出此時(shí)DE的長；若不能，請說明理由.DC0GBA一、猜想、探究題第1題答案.解：(1)---AB±l于B,DC±l于C,?./ABE=ZECD=90°.??/BEA+ZAED+ZCED=180°,且/AED=90°,./CED=90°-ZBEA.又/BAE=90°-ZBEA,?./BAE=ZCED.??RtAABE^RtAECD.(或：.ABLl于B,DC^l于C,AB//DC.RtAABE<^RtAECD)..ABBE...ECCD.BE:EC1:3,BC16,BE4,EC12.又AB6,CDBEEC412AB又AB6,CDBEEC412AB8.在Rt^AED中，由勾股定理，得ADJae2de2J(AB2be2)(BC2cd2)<621224282V2602765.(i)猜想：ABCDBC.證明：在RtAABE中，ABE=90°,?./BAE=90°-ZAEB.又??/AEB+/AED+/CED=180°,TOC\o"1-5"\h\z且/AED=90°,A\^L/cCCED=90°-/AEB././BAE=/CED.BECl.DC^BC于點(diǎn)C,?./ECD=90°.由已知，有AEED.于是在RtAABE和RtAECD中，./ABE=/ECD=90°,/BAE=/CED,AEED,??RtAABE^RtAECD.(AAS)ABEC,BECD..BCBEECCDAB.即ABCDBC.

(ii)當(dāng)A、D分別在直線l兩側(cè)時(shí)，線段AB、BC、CD有如下等量關(guān)系:ABCDBC(ABCD)或CDABBC(ABCD),一第2題答案.(1)由題意得m=n時(shí)，AOBC是正方形.如圖，在OA上取點(diǎn)C,使AG=BE,則OG=OE./EGO=45,從而/AGE=135.由BF是外角平分線，得/EBF=135,/AGE=/EBF.???ZAEF=90,???/FEB+/AEO=90.在Rt^AEO中，???ZEAO+/AEO=90,/EAO=ZFEB,AAGE^AEBF,EF=AE.(2)假設(shè)存在點(diǎn)E,使EF=AE,設(shè)E(a,0).作FH^x軸于H,如圖.由(1)知/EAO=/FEH,于是RtAAOE^RtAEHF.FH=OE,EH=OA.，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為a,即FH=a.由BF是外角平分線，知/FBH=45，.=BH=FH=a.又由C(m,n)有OB=m,BE=OB—OE=m—a,EH=m—a+a=m.又EH=OA=n,m=n,這與已知mwn相矛盾.因此在邊OB上不存在點(diǎn)E,使EF=AE成立.(3)如(2)圖，設(shè)E(a,0),FH=h,則EH=OH-OE=h+m-a.由ZAEF=90,ZEAO=/FEH,得AAOE^AEHF,EF=(t+1)AE等價(jià)于FH=(t+1)OE,即h=(t+1)a,AOOE口.AOOE口.na———，即化簡得ta=n,解得a-.t化簡得ta=n,解得a-.t???t>1,nvnvm,故E在OB邊上.t???當(dāng)E在OB邊上且離原點(diǎn)距離為-處時(shí)滿足條件，此時(shí)E(-,0).tt第3題答案.解：(1)正確.證明：在AB上取一點(diǎn)M,使AMEC,連接ME.)BECGBMBE.BME45,AME135QCF是外角平分線，DCF45,ECF135.AMEECF.QAEBBAE90,AEBCEF90,BAECEF.△AME^ABCF(ASA).AEEF.(2)正確.證明：在BMBE.BME45,AME135QCF是外角平分線，DCF45,ECF135.AMEECF.QAEBBAE90,AEBCEF90,BAECEF.△AME^ABCF(ASA).AEEF.(2)正確.證明：在BA的延長線上取一點(diǎn)N.使ANCE,連接NE.BNBE.NPCE45.Q四邊形ABCD是正方形，ADIIBE.DAEBEA.NAECEF.△ANE^AECF(ASA).AEEF.第4題答案.解：(1)A(0,2),B(4,0)設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)kxb,則有b24kb0解得——，1c直線AB的解析式為y-x22(2)i)①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是△CDE.…111則S/xcdeCECDBCCD(4x)222-x22x441當(dāng)E與。重合時(shí)，CE-BO22<x42②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F,則重疊部分為梯形CDFO.QzXOFEs/XOABOFOA1OFOA1OEOB21OF-OE

2又QOE42x1OF-(422x)2xS3邊形CDFOx-1c3-2xx2x224當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)22x0x212__/-x2x4(2Vx4)綜合①②得S432-x22x(0x2)4TOC\o"1-5"\h\z1o,1-ii)①當(dāng)20x4時(shí)，S—x22x4—(x2)2對稱軸是x444Q拋物線開口向上，在20x4中，S隨x的增大而減小12當(dāng)x2時(shí)，S的最大值=—(24)214②當(dāng)0x2時(shí)，S4對稱軸是x3Q拋物線開口向下,4當(dāng),4當(dāng)x一時(shí)，3綜合①②當(dāng)xS有取大值為一34,……-時(shí)，S有最大值為3iii)存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為‘Q和勺,。22附：詳解：①當(dāng)4ADE附：詳解：①當(dāng)4ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作AEAB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,QAAOE^ABOAEOAO1AOBO2QAO2EO1點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0)點(diǎn)C的坐標(biāo)為—,02②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)

同樣有△A()Es^BOAOEOA1AOBO2EO1E(1,0)點(diǎn)C的坐標(biāo)5,0綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有3.5一,0和一,0.22第5題答案.(1)①65②法一：在矩形ABCD中,ADEBCE綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有3.5一,0和一,0.22第5題答案.(1)①65②法一：在矩形ABCD中,ADEBCE,又CE???AADE^ABCE,得AEBE,EABEBA,連OF,則OFOA,OAFOFA,OFAEBA,OF//EB,.FG±BE,..FG±OF,??.FG是。O的切線(法二：提示：連EF,DF,證四邊形DFBE是平行四邊形.參照法一給分.(2)法一：若BE能與OO相切,AE±BE,則DEA

又EBCBEC90°,Rt^ADEsRtAECB,BEC???AE是。。的直徑,90°,DEAEBC,ADECDE,設(shè)DEx,BC則EC-35x,ADBC3,得——5x整理得x25x90.???b24ac2536110,該方程無實(shí)數(shù)根.???點(diǎn)E不存在，BE不能與。。相切.法二:若BE能與。O相切，因AE是。