《常微分方程》作業(yè)參考答案

《常微分方程》作業(yè)參考答案一．求解下列方程yccosxyccosxsin2x

d(x2dy

dx dyx21 x21

ylnx21cy(0)c1 yln|x21|14．y'y(1y)ln(1y) 令u

yxux x x xdydx

uxdudx

u(1u)ln(1u)故xdudx

(1u)ln(1u)du dx dln(1u)dx(1u)ln(1u) x ln(1u) xlnu)lnxlnc ln(1u)cx 1uecx1

yecx yx(ecxx可分離變量方程，通解為x2y2cx2.sin2yx

2y4lnxc.x全微分方程，通解為x46x2y2y4d2y8．dx2

2dyxdx

y0.9.解為3y(xx.sin2x通解為y

x2y22

c.d2y方程為dx2

1dy1xdx x2

y0.通解為ytan(cxc).1 2二．ey

1e2xc2x 0 1 3 通解為： y

1etc

0

2e2t 1 2 3 1 z 2 1 11 3.y(0)y0

0 y1

1x22

y x2 x52 2 20uMuN uMMuuNNuy x y y x xu du u du令x2

y

u

2du

x

2xduM du N du du N Muy

2y udu

2xdu

2(yx)du

uxy

故滿定充要條件的表達(dá)式為：NMx y (x2y2)yxv

1(x2

y2)dvdt(dvdt

(x2

s2)∠0 x

s

0 ∴（0.0）漸近穩(wěn)定dxdt

2x3y一次近似方程為： dy

10

x dt

Re()0＜0 P＝1＞0 Re(10,則（0.0）27.2100 1

2 , 52y*(A1

xA1

)cos2x(B0

xB1

)sin2x為y"3y'10yxcos2x 之特,±2不是特征根a5 是特征方程的單根 yx(c2 o

x2c1

xc2

)e5x故其通解為：yc18.

e2xc2

e5xy y1 2特征根為：1

1. 2

1. 3

22 1所屬的特征向量為：351 5 1 1112 11 1所屬的特征向量為：γ 13 1 x 1 1 y

3et

1etc

0e2t 1

2

3 z 5 1 19.y(0):yo

0 y1

1x22

y x2 x52 2 201 10.271001 p70 g100 0故(0.0)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)11.

d

xydtddt

xy2221

Re(1dv

)0 Re(2

0 ∴（0.0）為局部漸近穩(wěn)定v

(x2y2).

(x2y2)(x2y22 dv

()x12.

y

1 dt

0 故（0.0）y0

0, yy1 0

f(x,y0

dxxx2dx1x3,30y y xf(x,ydxx(x 1xdx1x 2 6 3

1x7.2 0 10

9 3 632. f(x,y)x2

y2, Mmaxf(x,y)fy(x,yfymax

max2y4L, h

b

22.mina, (x,y)D

(x,y)D m 5 5則y(x)y(x)

542 2(

64.2 1235 750 1 1 13.系數(shù)陣為1 1 特征方程為det(AE)(1)0. 1 1AE的初等因子為,(，通解為x 2 1

0 1 yc1c0etc10tet. 1 2 3 z 1 1 0 114.證：設(shè)M0,s.t.f(x)M(x0,)..則x0,，有y(x)y0

Mexesdsyx0xx0

Me(x0x))y0

M.y(x)