2020高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體單元質(zhì)量測評（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章單元質(zhì)量測評對應(yīng)學(xué)生用書P21本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題,共60分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分）1．下列命題中正確的是(）A．由五個(gè)平面圍成的多面體只能是四棱錐B．棱錐的高線可能在幾何體之外C．僅有一組對面平行的六面體是棱臺D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐答案B解析由五個(gè)平面圍成的多面體可能是四棱錐或三棱柱，故A不正確；根據(jù)棱錐的定義，棱錐的高線可能在幾何體之外,故B正確；僅有一組對面平行的六面體可能是四棱臺,也可能是四棱柱，故C不正確；因?yàn)槔忮F的定義中要求這些三角形必須有公共的頂點(diǎn)，故D不正確．所以選B．2．如果把圓錐的母線長擴(kuò)大到原來的n倍，底面半徑縮小為原來的eq\f(1，n），那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢．1倍B．n倍C．n2倍D．eq\f（1,n）答案A解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則側(cè)面積S＝πrl，變化后其底面半徑為eq\f(1,n）r,母線長為nl，故變化后的側(cè)面積S′＝π·eq\f（1，n)r·nl＝πrl，所以S′＝S．3．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是(）A．a(chǎn)，bB．a(chǎn)，cC．c,bD．b,d答案A解析正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),牟合方蓋相對的兩個(gè)曲面正對前方,正視圖為一個(gè)圓，而俯視圖為一個(gè)正方形,且有兩條實(shí)線的對角線．故選A．4．若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，若將這些水全部倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是(）A．6eq\r（3)cmB．6cmC．2eq\r（3，18）cmD．3eq\r(3，12)cm答案B解析水的體積V＝π×22×6＝24π（cm3)．設(shè)圓錐中水的底面半徑為r，則水的高度為eq\r(3）r，∴eq\f（1，3）πr2·eq\r（3)r＝24π，∴r3＝24eq\r（3）．∴(eq\r(3)r)3＝216,∴eq\r(3)r＝6,即圓錐中水面的高度為6cm．5．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為()A．eq\f（4π，3)B．3πC．eq\f（\r(3）π,2）D．π答案C解析由三視圖知,如圖,此四面體的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R,則2R＝eq\r（3)，R＝eq\f（\r(3),2)．所以球的體積為V＝eq\f（4,3)π×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,2)））3＝eq\f（\r（3）π,2）．6．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德墓碑上刻著的一個(gè)圓柱,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)．圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為(）A．eq\f（3,2)，1B．eq\f(2，3)，1C．eq\f（3，2），eq\f(3，2）D．eq\f(2,3)，eq\f（3,2）答案C解析設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R．∵V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f（4,3）πR3，∴eq\f(V圓柱,V球)＝eq\f（2πR3,\f（4,3)πR3)＝eq\f（3，2）．∵S圓柱表面積＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球表面積＝4πR2，∴eq\f(S圓柱表面積,S球表面積）＝eq\f（6πR2，4πR2)＝eq\f(3，2)．7．一個(gè)棱臺上、下底面的面積分別為16，81,有一平行于底面的截面，其面積為36，則截得的兩棱臺的高之比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4答案C解析設(shè)截得的上面的棱臺的高為h1，下面的棱臺的高為h2,以棱臺上底面為底面將棱臺補(bǔ)為棱錐，設(shè)最上面的小棱錐的高為h，根據(jù)棱錐的性質(zhì)可得16∶36∶81＝h2∶(h＋h1）2∶(h＋h1＋h2）2，解得h1∶h2＝2∶3．8．如圖,在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6,AD＝4,AA1＝3,分別過BC，A1D1的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為V1＝V三棱柱AEA1－DFD1，V2＝V四棱柱EBE1A1－FCF1D1，V3＝V三棱柱B1E1B－C1F1C．若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，則截面A1EFD1的面積為（）A．2eq\r(13）B．4eq\r(13）C．6eq\r(13）D．8eq\r(13）答案B解析由題意可知，V長方體＝6×4×3＝72，V1＝eq\f（1，6)V＝eq\f（1，6)×72＝12．其中體積為V1的幾何體是三棱柱AEA1－DFD1，其高為AD＝4，∴其底面積S△AEA1＝3．在Rt△AEA1中,∵AA1＝3,∴AE＝2．∴A1E＝eq\r（32＋22）＝eq\r(13)．又∵截面A1EFD1為矩形，∴其面積S＝4eq\r(13）．9．已知一個(gè)棱長為2的正方體，被一個(gè)平面截去一部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（)A．eq\f（14，3）B．eq\f（17,3）C．eq\f（20，3）D．8答案B解析由三視圖，知該幾何體的直觀圖是如圖所示的多面體B1C1D1－BCDFE,該多面體可補(bǔ)全為棱長為2的正方體，其中E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn),多面體AEF－A1B1D1為棱臺，棱臺高為2，上、下底面均為等腰直角三角形．則該幾何體的體積是2×2×2－eq\f（1,3）×2×eq\f(1,2）＋2＋eq\r（2×\f（1,2)）＝8－eq\f(7，3）＝eq\f(17，3），故選B．10．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′．已知點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn)，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC上的高為（）A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2）答案D解析∵△ABC的直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1,∴A′C′＝eq\r(2)．根據(jù)直觀圖平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?∴△ABC的BC邊上的高為AC＝2A′C′＝2eq\r（2)．故選D．11．設(shè)長方體的三條棱長分別為a，b，c,若長方體的所有棱的長度之和為24，一條體對角線長為5，體積為2，則eq\f(1，a)＋eq\f（1,b)＋eq\f（1，c)等于（）A．eq\f（11，4）B．eq\f(4，11）C．eq\f(11,2）D．eq\f(2,11)答案A解析由題意可知a＋b＋c＝6，①a2＋b2＋c2＝25，②abc＝2．由①兩邊平方,得a2＋b2＋c2＋2(ab＋ac＋bc)＝36，把②代入此式,得ab＋ac＋bc＝eq\f(11，2)．∴eq\f(1，a）＋eq\f（1，b）＋eq\f（1，c)＝eq\f(bc＋ac＋ab，abc)＝eq\f(\f(11，2）,2)＝eq\f（11，4)．12．如圖，直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,且AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為（）A．2B．1C．eq\r（2)D．eq\f（\r(2),2）答案C解析連接BC1,B1C，設(shè)交于點(diǎn)O，則O為側(cè)面BCC1B1的中心,由題意知，球心為側(cè)面BCC1B1的中心O，BC為截面圓的直徑，所以∠BAC＝90°，則△ABC的外接圓的圓心N位于BC的中點(diǎn)．同理，△A1B1C1的外接圓的圓心M位于B1C1的中點(diǎn)，設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f（x，2)，MC1＝eq\f(x，2），OC1＝R＝1（R為球的半徑)，所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2)）)2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)））2＝1．解得x＝eq\r(2），所以B1B＝BC＝eq\r(2)．同理,在Rt△ABC中，解得AB＝AC＝1，所以側(cè)面ABB1A1的面積為eq\r(2）×1＝eq\r（2）．故選C．第Ⅱ卷（非選擇題,共90分)二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）13．用長、寬分別是3π與π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱底面的半徑為________．答案eq\f(3，2)或eq\f(1,2)解析設(shè)圓柱底面的半徑為R，當(dāng)以寬為母線，長為底面圓周長時(shí)，則2πR＝3π,R＝eq\f（3，2）；當(dāng)以長為母線，寬為底面圓周長時(shí)，則2πR＝π，R＝eq\f（1，2）．14．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，其體積為12．6(立方寸），則圖中的x為________．答案1．6解析由圖可得π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））2×x＋3×1×（5．4－x）＝12．6，解得x＝1．6．15．若一個(gè)圓臺的軸截面是腰長為a的等腰梯形,下底邊長為2a，對角線長為eq\r（3）a，則這個(gè)圓臺的體積為________．答案eq\f(7\r（3),24)πa3解析圓臺的軸截面如圖，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r（3）a，可知∠ADB＝90°，∠DAB＝60°．分別過點(diǎn)D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝eq\f（\r(3），2）a，所以HB＝eq\r（BD2－DH2)＝eq\r(3a2－\f（3，4）a2）＝eq\f（3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圓臺的體積為V＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2）)·eq\f（\r(3）,2）a＝eq\f（7\r(3)，24)πa3．16．把由折線y＝|x|和y＝2圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)360°,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________．答案eq\f（32π,3)解析由題意,y＝｜x｜和y＝2圍成圖中陰影部分的圖形,旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)共頂點(diǎn)的圓錐．∵V圓柱＝π×22×4＝16π，2V圓錐＝2×eq\f(π,3)×22×2＝eq\f(16π,3)，∴所求幾何體的體積為16π－eq\f(16π，3)＝eq\f（32π,3)．三、解答題(本大題共6小題，共70分）17．(本小題滿分10分)把長、寬分別為4、2的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積．解設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l,高為h．當(dāng)2πr＝4，l＝2時(shí)，r＝eq\f(2,π)，h＝l＝2，所以V圓柱＝πr2h＝eq\f(8,π）．當(dāng)2πr＝2，l＝4時(shí)，r＝eq\f(1，π），h＝l＝4，所以V圓柱＝πr2h＝eq\f（4,π）．綜上所述,這個(gè)圓柱的體積為eq\f(8,π)或eq\f(4,π）．18．(本小題滿分12分）如圖所示是一個(gè)圓臺形的紙簍(有底無蓋），它的母線長為50cm,兩底面直徑分別為40cm和30cm．現(xiàn)有制作這種紙簍的塑料制品50m2，問最多可以做這種紙簍多少個(gè)?解根據(jù)題意可知，紙簍底面圓的半徑r′＝15cm,上口的半徑r＝20cm,設(shè)母線長為l,則紙簍的表面積S＝πr′2＋eq\f（2πr′＋2πrl，2)＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π（152＋15×50＋20×50）＝1975π(cm2)．因?yàn)?0m2＝500000cm2,故最多可以制作這種紙簍的個(gè)數(shù)n＝eq\f(500000,S)≈80．19．(本小題滿分12分）如圖所示,在正三棱柱（底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，AB＝3,AA1＝4,M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上的一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線為eq\r(29）．設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線的長；(2）PC和NC的長．解(1）該三棱柱的側(cè)面展開圖是寬為4,長為9的矩形，所以對角線的長為eq\r（42＋92)＝eq\r(97)．(2）將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB1展開,如圖所示．設(shè)PC的長為x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2．因?yàn)镸P＝eq\r（29)，MA＝2,AC＝3，所以x＝2（負(fù)值舍去)，即PC的長為2．又因?yàn)镹C∥AM，所以eq\f（PC,PA)＝eq\f（NC,AM），即eq\f（2，5）＝eq\f(NC,2)，所以NC＝eq\f（4,5）．20．（本小題滿分12分)如果一個(gè)幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是全等的長方形，邊長分別是4cm與2cm，如圖所示，俯視圖是一個(gè)邊長為4cm的正方形．(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的外接球的體積．解(1）由題意可知，該幾何體是長方體，底面是正方形，邊長是4，高是2，因此該幾何體的表面積是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2），即該幾何體的表面積是64cm2．(2）由長方體與球的性質(zhì)可得，長方體的體對角線是球的直徑，記長方體的體對角線長為d,球的半徑為r，則d＝eq\r(16＋16＋4）＝eq\r（36)＝6(cm），所以球的半徑為r＝3（cm）．因此，球的體積V＝eq\f(4，3)πr3＝eq\f（4,3)×27π＝36π(cm3)，即外接球的體積是36πcm3．21．（本小題滿分12分）如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)分別是A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1－B1EDF的體積．解連接EF，B1D1．設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2．∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)分別是A1A，CC1的中點(diǎn)，∴h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2）a．又S△C1EF＝eq\f（1，2）C1F·EF＝eq\f（1,2)×eq\f（a,2)×eq\r（2)a＝eq\f(