線性變換思想在中學數(shù)學中的應用

線性變換思想在中學數(shù)學中的應用摘要：本文首先給出了線性變換的定義以及中學數(shù)學中涉及到的幾種特殊的線性變換，包括其表達式及特征等。然后介紹了這幾種線性變換在中學幾何中的意義,它是普通線性變換的一個自然推廣,同時研究了線性變換在幾何中的應用。最后,給出了具體實例說明了利用線性變換解決中學中平面幾何題的方法以及線性變換思想在中學數(shù)學中的影響。關鍵詞：線性變換中學數(shù)學幾何應用隨著社會的進步和時代的發(fā)展，針對我國中學數(shù)學課程現(xiàn)狀，制定和實施新的課程標準勢在必行。2003年頒布了《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)。由參考文獻[1]、[2]、[3]、[4]可知：《標準》規(guī)定的課程與以往的課程相比，內(nèi)容上發(fā)生很大的變化，尤其在選修系列中，增加了矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設計初步、統(tǒng)籌法與圖論、風險與決策、開關電路與布爾代數(shù)等內(nèi)容，矩陣與變換是選修系列4.2的內(nèi)容。矩陣是代數(shù)學的基本內(nèi)容之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對于中學數(shù)學教材改革來說，認真研究怎樣把應用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進一步用變換的觀念來處理幾何教材，最終用矩陣來表示線性變換可以更有效地學習和運用這部分知識。中學數(shù)學引入矩陣初步知識，主要是為表達數(shù)據(jù)提供新的工具。矩陣作為研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應用，許多數(shù)學模型都可以用矩陣來表示。由矩陣建立的線性變換就是平面上的坐標變換，其中，矩陣起著“對應法則”的作用，用二階矩陣確定的變換,就是構造映射,使平面上的點(向量)變成(對應)點(向量)=,這個映射的對應法則就是左乘，在這個線性變換中，矩陣稱之為變換矩陣，變換矩陣不同，得到的是不同的變換。線性變換在數(shù)學上是一個很有用的工具，在其它學科中也有著廣泛的應用。線性變換在大學中作為“線性代數(shù)”的一個重要內(nèi)容，被系統(tǒng)地講授。近些年來，有些國家在中學也講授部分線性變換的知識。由于線性變換的重要性和它的應用的廣泛性，在《標準》中，把“矩陣與變換”作為一門選修課。該課通過幾何圖形的變換，介紹線性變換的基礎知識和基本思想。開設這門選修課的目的是希望學生在基本思想上對線性變換有一個初步了解，對將來進一步學習和工作有所幫助。1線性變換的概念1.1大學教材中的線性變換一般地，把平面內(nèi)的一個點變成同一個平面內(nèi)的和它相應的唯一的一點，不同的點所變成的點不相同，并且平面內(nèi)的每一點都是由某一個相應的點變成的，這就是平面內(nèi)的點的一個變換。變換就是一個映射，而且是一個一一映射。換句話說，變換就是從平面內(nèi)的點的集合到同一個平面內(nèi)的點的集合的一個一一映射。把兩個變換復合起來就得到了一個新的變換。變換的復合一般不具有交換性。恒等變換是一個不動的變換，它把平面上的每個點都變成它自己。變換的復合看成變換的乘積，可得到變換的逆交換的概念。變換的逆交換就是這樣一種變換，無論它從左或從右復合，結果都得到恒等變換。每一個變換都有逆變換。1.2中學教材中的線性變換在平面直角坐標系中，把形如（其中，，，為常數(shù)）的幾何變換叫做線性變換。[5]1.3中學與大學對矩陣概念的區(qū)別在大學里學習的線性變換與中學數(shù)學課程標準里要求的線性變換是有區(qū)別的。從研究的角度來看，大學的線性變換是把它作為代數(shù)的運算法則，對線性方程組與線性空間的運算，而中學課程標準把線性變換看作是幾何變換的表示方法；從研究的內(nèi)容來看，大學研究的是代數(shù)的運算性質(zhì)，概念理論較為抽象，運算量大，容量較多，而中學課程標準研究的是線性變換的幾何作用，通過大量的實例來討論線性變換的性質(zhì)和作用，只限于討論平面內(nèi)的變換，從直觀上認識線性變換的意義。矩陣與變換(選修系列4.2)這部分內(nèi)容在大學的代數(shù)課程中會系統(tǒng)地講授。而中學開設這門選修課的目的，是要求學生了解其基本的思想、概念(當然，這里不是只講故事也不是讀科普讀物，應要求學生做習題，要有所練習，有所收獲)。不是把大學教材簡單下放，更不是去做一些難題，怪題(作為選修系列4的課程，有更多的開放性，給學生更多的思索空間，但其思索的問題不是大學中更艱深的內(nèi)容或難題、怪題)。在中學不是訓練數(shù)學上的一些細致的技巧和方法，而是希望學生對線性變換等有一個初步了解，對將來進一步學習和工作有所幫助。特別是學理工科的學生，到大學還將系統(tǒng)地學習這方面的知識，中學的內(nèi)容盡管是重要的，但還是遠遠不夠的。2中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換2.1中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換式及其二階矩陣對稱變換(1)關于軸對稱的變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為；(2)關于軸對稱的變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為；(3)關于對稱的變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為.伸縮變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為.投影變換(1)投影在軸上的變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為；(2)投影在軸上的變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為．旋轉(zhuǎn)變換坐標公式為，變換對應的矩陣為．切變變換(1)平行于軸的切變變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為；(2)平行于軸的切變變換坐標公式為，其對應的二階矩陣為.2.2中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換的特征對稱變換（1）關于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為＝，而與關于軸對稱。（2）關于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為＝，而與關于軸對稱。（3）關于對稱的對稱變換：變換矩陣將點變換為＝，而與關于對稱。伸縮變換（1）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為壓縮變換。軸上的點不移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。（2）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為壓縮變換。軸上的點不移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。投影變換沿軸方向的投影變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動；沿方向的投影變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動。旋轉(zhuǎn)變換變換矩陣將點變換為點，即點以原點為中心向逆時針方向旋轉(zhuǎn)個單位。切變變換（1）沿軸方向的切變變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。軸上的點不發(fā)生移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。（2）沿軸方向的切變變換：變換矩陣將點變換為點，即點沿軸方向移動個單位。軸上的點不發(fā)生移動，距離軸越遠的點收縮越大，距離軸越近的點收縮越小，上的點沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。2.3中學數(shù)學中涉及到的幾種線性變換的示例用直線段將點依次鏈接，得到一個三角形圖形，如圖所示：利用這個三角形的變換可觀察不同線性變換作用的結果。對稱變換(1)關于軸對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：（2）關于軸對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：（3）關于對稱的對稱變換的圖例：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：伸縮變換(取2或1/2)（1）沿軸方向的伸縮變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=或=.變換后的三角形如下圖所示：或（2）沿軸方向的伸縮變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=或=.變換后的三角形如下圖所示：或投影變換（1）沿軸方向的投影變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：(2)沿軸方向的投影變換:原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：旋轉(zhuǎn)變換（取）原點集矩陣為，變換后的矩陣為×=.變換后的三角形如下圖所示：切變變換（取）(1)沿軸方向的切變變換：原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：(2)沿軸方向的切變變換:原點集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示：3中學數(shù)學中線性變換在解題中的應用3.1對稱變換在幾何極小值問題中的應用對稱變換又稱軸反射，在解答線段和的最小值問題時，起著一錘定音的作用?，F(xiàn)舉例說明如下:例1是正方形的邊上一點，且,，是對角線上一動點，求的最小值。分析利用兩點之間線段最短，把轉(zhuǎn)化成一條線段去考慮。過作交于，連接交于，則即為所求。解過作交于.由為的角平分線，得到、關于對稱，即(中垂線上的點到兩端點的距離相等),于是.在上任取一點,連結、、,則.故為的最小值，此時，在三角形中有．例2正三角形的邊長為，是上的中點,是邊上的動點，連結和得到,求:(l)當點運動到中點時，的周長；(2)的周長最小值。分析欲使的周長最小，只須使最小。作關于的對稱點，連交于，則即為所求的最小值動點。解(l)當點運動到中點時,，，所以,,.即△PBD的周長為.(2)作點關于的對稱點，連交于，過作交的延長線于，連.則，.于是.在中.不難證明為的周長最小值，且.3.2利用伸縮變換巧解橢圓最值問題伸縮變換是中學幾何中常見的一種線性變換。對橢圓做伸縮變換,,橢圓就變成圓.在此變換下任何一對對應多邊形的形狀雖然發(fā)生了改變,但是對應多邊形的面積比是一個定值,即變換之前的多邊形面積是S,變換后對應的多邊形面積為,則有.利用伸縮變換對應多邊形的面積比是一個定值的不變性,就可以借助于圓的平面幾何性質(zhì)巧妙地解與橢圓有關的面積最值問題。[7]例3若、、是橢圓上的三點,求面積的最大值。解對橢圓做伸縮變換,,橢圓就變成圓.此時橢圓的內(nèi)接就變成圓的內(nèi)接,而圓的內(nèi)接三角形以內(nèi)接正三角形面積為最大，從而面積的最大值是,還原到橢圓中,由伸縮變換對應多邊形面積比的不變性可知：面積的最大值是．例4已知橢圓,則面積為的橢圓內(nèi)接四邊形有多少個?解對橢圓做伸縮變換,,橢圓就變成圓,此時相應的橢圓內(nèi)接四邊形就變成圓的內(nèi)接四邊形,當橢圓的內(nèi)接四邊形的面積是時,其對應的圓內(nèi)接四邊形的面積就是,由平面幾何知識知圓的內(nèi)接正方形的面積為2,而這樣的內(nèi)接正方形有無數(shù)個,還原到橢圓可知對應的橢圓內(nèi)接四邊形也有無數(shù)個。3.3旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中的應用旋轉(zhuǎn)變換是將平面圖形繞平面內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn)一個定角,得到一個與原來圖形的形狀與大小都一樣的圖形。點叫做旋轉(zhuǎn)中心,叫做旋轉(zhuǎn)角。特別地當時,稱為中心對稱變換,所以中心對稱變換是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)有:(1)在旋轉(zhuǎn)變換下,兩點之間的距離不變；(2)在旋轉(zhuǎn)變換下的兩直線的夾角不變,且對應直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角[8]。例5[8](全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)在中,為的中點,分別延長、到點、,使得，過、分別作、的垂線,相交于點．求證:.證法1如圖延長到,使,連結、、.由,，可得,所以,.又因為,,所以、、、四點共圓，且.又由,可知,且，從而有（1）又由于,可知為直角三角形,且，所以（2）由（1）、（2）得∽，且，所以∽，故．證法2如圖分別延長、到點、,使,,連結、、、.因為是的中點且,所以.又,,且、分別是、的中點,可知,，且，即，從而.又因為和均為等腰三角形，所以.例6[8]如圖,等邊三角形的邊長,點是內(nèi)一點,且.若,求、的長.(第12屆“希望杯”初二數(shù)學邀請賽試題)導析設、、、的面積分別為、、、,線段、、的長分別是、、.把繞點順時針旋轉(zhuǎn),得連結,可證為等邊三角形,為直角三角形。所以（1）同理,繞點順時針旋轉(zhuǎn),繞點逆時針旋轉(zhuǎn),可分別得:（2）（3）由（1）+（2）+（3）,得.又因為,所以，即，又由于及a=,可解得x=3、y=4或x=4、y=3.說明利用旋轉(zhuǎn)將分散的條件進行集中,另外,將三個三角形分別旋轉(zhuǎn)得到三個對稱的關系式,然后再進行整理處理。附錄:[1]桂文通．旋轉(zhuǎn)變換及其應用[J]．中學數(shù)學教學參考，2003年第6期．[2]姚旗，李德忠．對稱變換在幾何極小值問題中的應用[J]．考試(中考版)，編輯部郵箱，2006年第11期．[3]竇詠梅．利用伸縮變換巧解橢圓最值問題[J]．上海中