中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)-知識講解(基礎(chǔ))【含解析】doc

【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不行功，文檔內(nèi)容齊全完滿，請放心下載?！恐锌伎倧?fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)—知識講解（基礎(chǔ)）【考綱領(lǐng)求】理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特別角三角函數(shù)值的求法，運用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實責(zé)問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點為依照題中給出的信息成立圖形，成立數(shù)學(xué)模型，爾后用解直角三角形的知識解決問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、銳角三角函數(shù)的看法以下列圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．BcaAbC銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinAA的對邊a；斜邊c銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosAA的鄰邊b；斜邊c銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanAA的對邊aA的鄰邊.b同理sinBB的對邊b；cosBB的鄰邊a；tanBB的對邊b．斜邊c斜邊cB的鄰邊a1要點講解：正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反響了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確準(zhǔn)時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化．(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完滿的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能夠?qū)懗?，，，不能夠理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能夠?qū)懗伞皌anAEF”；別的，、、常寫成、、．任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時，，，tanA＞0．考點二、特別角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納以下：銳角30°45°160°要點講解：經(jīng)過該表能夠方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，比方：若，則銳角．仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：、、的值依次為、、，而、、的值的序次正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律能夠總結(jié)為：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時，①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)，2②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．考點三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系以下列圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商數(shù)關(guān)系：．要點講解：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡略．考點四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.③邊角之間的關(guān)系：，，，，，.④，h為斜邊上的高.要點講解：直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，能夠更加清楚、直觀地理解.考點五、解直角三角形的常有種類及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩由求∠A，兩直角邊(a，b)邊∠B=90°－∠A，3由求∠A，斜邊，素來角邊(如c，a)∠B=90°－∠A，∠B=90°－∠A，銳角、鄰邊(如∠A，b)，素來角邊一和一銳角∠B=90°－∠A，邊銳角、對邊一(如∠A，a)，角∠B=90°－∠A，斜邊、銳角(如c，∠A)，要點講解：1．在遇到解直角三角形的實責(zé)問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意注明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，爾后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的序次進(jìn)行計算.2．若題中無特別說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中最少有一個條件為邊.考點六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，要點是把實責(zé)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型，善于將某些實責(zé)問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實質(zhì)應(yīng)用問題的要點.解這類問題的一般過程是：弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等看法，爾后依照題意畫出幾何圖形，成立數(shù)學(xué)模型.將已知條件轉(zhuǎn)變成幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實責(zé)問題轉(zhuǎn)變成解直角三角形的問題.依照直角三角形(或經(jīng)過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案可否吻合實質(zhì)意義，得出實責(zé)問題的解.拓展：在用直角三角形知識解決實責(zé)問題時，經(jīng)常會用到以下看法：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度平時寫成=∶的形式.4仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方向角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方向角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方向角分別為是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要點講解：1．解直角三角形實質(zhì)是用三角知識，經(jīng)過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的表示圖.2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，合適引輔助線，使其轉(zhuǎn)變成直角三角形或矩形來解.比方：53．解直角三角形的應(yīng)用題時，第一弄清題意(要點弄清其中名詞術(shù)語的意義)，爾后正確畫出示妄圖，進(jìn)而依照條件選擇合適的方法求解.【典型例題】種類一、銳角三角函數(shù)的看法與性質(zhì)1．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，tanα=( )(A)1(B)215(C)(D)22【思路點撥】把∠α放在一個直角三角形中，依照網(wǎng)格的長度計算出∠α的對邊和鄰邊的長度.【答案】B；【剖析】依照網(wǎng)格的特點：設(shè)每一小正方形的邊長為1，能夠確定∠α的對邊為2，鄰邊為1，爾后利用正切的定義tan的對邊，應(yīng)選B.的鄰邊【總結(jié)升華】此題觀察銳角三角函數(shù)的定義及運用，可將其轉(zhuǎn)變到直角三角形中解答，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．貫穿交融：【變式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，則sinA的值是( )6(A)1552(B)2(C)(D)5222BCBC5【答案】選C.由于∠C=90°，AB=AC+BC=5BC，因此sinA5BC.AB5種類二、特別角的三角函數(shù)值2．已知a＝3，且(4tan45°b)231bc0，以a、b、c為邊長組成的三角形面積等于( )．2A．6B．7C．8D．9【思路點撥】依照題意知【答案】A；

4tan45°b0,31bc求出b、c的值，再求三角形面積.0,24tan45°b0,b4,【剖析】依照題意知1bc解得0,c5.32因此a＝3，b＝4，c＝5，即a2b2c2，其組成的三角形為直角三角形，且∠C＝90°，因此S1ab6．2【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要記錯．貫穿交融：【變式】計算：.【答案】原式.3．以下列圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sinB·sinC的值．【思路點撥】為求sinB，sinC，需將∠B，∠C分別置于直角三角形之中，別的已知∠A的鄰補角是60°，若7要使其充發(fā)散揮作用，也需要將其置于直角三角形中，因此應(yīng)分別過點B、C向CA、BA的延長線作垂線，即可順利求解．【答案與剖析】解：過點B作BD⊥CA的延長線于點D，過點C作CE⊥BA的延長線于點E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．AD＝AB·cos60°＝10×1＝5；2BD＝AB·sin60°＝10×3＝53．2又∵CD＝CA+AD＝10，∴BCBD2CD257，∴sinBCDBD21BC．7同理，可求得sinABC2114．∴sinABCgsinBCD21213．71414【總結(jié)升華】由于銳角的三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，因此若要求某個角的三角函數(shù)值，一般能夠經(jīng)過作垂線等方法將其置于直角三角形中．貫穿交融：【變式】如圖，機器人從A點，沿著西南方向，行了個單位，到達(dá)B點后觀察到原點O在它的南偏東60°的方向上，則原來A的坐標(biāo)為__________.(結(jié)果保留根號)．8【答案】種類三、解直角三角形及應(yīng)用【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID：408468播放點：例3】4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度數(shù)和AC的長．【思路點撥】由于∠A是一個特別角，且已知AB，故能夠作AC邊上的高33BD(以下列圖)，可求得BD．由2于此題的條件是“兩邊一對角”，且已知角的對邊小于鄰邊，因此需要判斷此題的解可否唯一，要考慮對邊BC與AC邊上的高BD的大小，而33BC33，因此此題有兩解．2【答案與剖析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1點在AD的延長線上．在△ABC1中，BC1333，BD，23∴sinC1．2∴∠C1＝60°．39由勾股定理，可分別求得DC1，AD．∴AC1＝AD+DC1＝93226．22(2)C2點在AD上．由對稱性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，C2DC1D3．293∴∠BCA＝120°，23222綜上所述，當(dāng)∠BCA＝60°時，AC＝6；當(dāng)∠BCA＝120°時，AC＝3．【總結(jié)升華】由條件“兩邊一對角”確定的三角形可能不是唯一的，需要考慮第三邊上的高的大小判斷解可否唯一．9【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID：408468播放點：例4】5．（2015?茂名）如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20千米，∠CAB=30°，CBA=45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路．（1）求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度；（結(jié)果保留根號）（2）問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米？（結(jié)果保留根號）【思路點撥】（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與AD的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，由AD+DB求出AB的長即可；2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的長，由AC+CB﹣AB即可求出輸電線路比原來縮短的千米數(shù)．【答案與剖析】解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC?cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），則新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，依照勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），則整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了10（1+﹣）千米．【總結(jié)升華】解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般能夠轉(zhuǎn)變成解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA條件，求三角形中的其他元素是常有問題，注意劃歸為常有的兩個基本圖形(高在三角形內(nèi)或高在三角形外)(以下列圖)：貫穿交融：10【變式】坐落在山東省汶上縣寶相寺內(nèi)的太子靈蹤塔始建于北宋(公元1112年)，為磚砌八角形十三層樓閣式建筑．?dāng)?shù)學(xué)活動小組睜開課外實踐活動，他們?nèi)y量太子靈蹤塔的高度，攜帶的測量工擁有：測角儀、皮尺、小鏡子．小華利用測角儀和皮尺測量塔高．以下列圖為小華測量塔高的表示圖．她先在塔前的平川上選擇一點A，用測角儀測出看塔頂(M)的仰角α＝35°，在點A和塔之間選擇一點B，測出看塔頂(M)的仰角β＝45°，爾后用皮尺量出A，B兩點間的距離為18.6m，量出自己的高度為1.6m．請你利用上述數(shù)據(jù)幫助小華計算出塔的高度(tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù))．(2)若是你是活動小組的一員，正準(zhǔn)備測量塔高，而此時塔影NP的長為am(以下列圖)，你可否利用這一數(shù)據(jù)設(shè)計一個測量方案?若是能，請回答以下問題：①在你設(shè)計的測量方案中，采納的測量工具是：________________________；②要計算出塔的高，你還需要測量哪些數(shù)據(jù)?________________________________________________________.【答案】解：(1)設(shè)CD的延長線交MN于E點，MN長為xm，則ME＝(x-1.6)m．∵β＝45°，∴DE＝ME＝x-1.6．∴CE＝x-1.6+18.6＝x+17．∵M(jìn)Etantan35°，CE∴x1.60.7，解得x＝45．x17∴太子靈蹤塔MN的高度為45m．11①測角儀、皮尺；②站在P點看塔頂?shù)难鼋恰⒆约旱母叨?注：答案不唯一)．6．（2015?錦州）如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P周邊海域由南向北巡航，某一時刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時的速度連續(xù)航行，2小時后到達(dá)B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長．（參照數(shù)據(jù)：≈1.414，結(jié)果精確到0.1）【思路點撥】過B作BD⊥AP于D，由已知條件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在Rt△BDP中求出PB即可．【答案與剖析】解：過B作BD⊥AP于D，由已知條件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，BD=AB=20，在Rt△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此時海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長約為28.3海里．12【總結(jié)升華】此題主要觀察解直角三角形的有關(guān)知識．經(jīng)過數(shù)學(xué)建模把實責(zé)問題轉(zhuǎn)變成解直角三角形問題．中考數(shù)學(xué)知識點代數(shù)式一、重要看法分類：1.代數(shù)式與有理式用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式。整式和分式統(tǒng)稱為有理式。2.整式和分式含有加、減、乘、除、乘方運算的代數(shù)式叫做有理式。沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。3.單項式與多項式?jīng)]有加減運算的整式叫做單項式。(數(shù)字與字母的積—包括單獨的一個數(shù)或字母)幾個單項式的和，叫做多項式。13說明：①依照除式中有否字母，將整式和分式差異開;依照整式中有否加減運算，把單項式、多項式劃分開。②進(jìn)行代數(shù)式分類時，是以所給的代數(shù)式為對象，而非以變形后的代數(shù)式為對象。劃分代數(shù)式種類時，是從外形來看。如，=x,=│x等│。4.系數(shù)與指數(shù)差異與聯(lián)系：①從地址上看;②從表示的意義上看5.同類項及其合