2020高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.4.1 均值不等式及其應(yīng)用練習(xí)（含解析）第一冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.4最新課程標(biāo)準(zhǔn):掌握基本不等式eq\r（ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)．結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式1．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式一般地，如果A(a），B（b），則線段AB的長(zhǎng)為AB＝|a－b|。2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式如果線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x.若a<b,如圖所示，則M為x＝eq\f(a＋b,2）。知識(shí)點(diǎn)二基本不等式(1）重要不等式:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．(2）基本不等式：eq\r（ab）≤eq\f（a＋b,2）（a>0,b>0）,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中eq\f(a＋b，2）和eq\r（ab)分別叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)．eq\x(狀元隨筆)基本不等式eq\r(ab)≤eq\f（a＋b，2）（a，b∈R＋)的應(yīng)用:（1）兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí),它們的積有最大值,即若a>0，b〉0，且a＋b＝M,M為定值,則ab≤eq\f(M2，4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．即：a＋b＝M，M為定值時(shí),(ab)max＝eq\f(M2,4）.（2)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a>0,b〉0,且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2eq\r(P）,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．［基礎(chǔ)自測(cè)]1．已知a,b∈R,且ab〉0，則下列結(jié)論恒成立的是（）A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r（ab）C。eq\f(1,a）＋eq\f(1,b)〉eq\f(2，\r（ab）)D。eq\f(b，a）＋eq\f（a，b)≥2解析：對(duì)于A，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,C，雖然ab>0，只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a,b都小于0時(shí),B,C錯(cuò)誤;對(duì)于D，因?yàn)閍b>0，所以eq\f(b，a)〉0，eq\f（a,b）〉0，所以eq\f(b，a)＋eq\f（a，b)≥2eq\r(\f(b，a）·\f(a，b))，即eq\f（b,a）＋eq\f（a，b)≥2成立．答案：D2．若a〉1,則a＋eq\f（1,a－1）的最小值是(）A．2B．a(chǎn)C.eq\f(2\r（a),a－1）D．3解析：a>1,所以a－1>0,所以a＋eq\f(1，a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1）＋1≥2eq\r(a－1·\f（1,a－1）)＋1＝3。當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝eq\f(1，a－1）即a＝2時(shí)取等號(hào)．答案:D3．下列不等式中，正確的是(）A．a(chǎn)＋eq\f（4，a)≥4B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r（ab）≥eq\f（a＋b,2)D．x2＋eq\f（3,x2)≥2eq\r（3)解析：a〈0,則a＋eq\f（4，a）≥4不成立，故A錯(cuò);a＝1，b＝1，a2＋b2〈4ab，故B錯(cuò),a＝4，b＝16，則eq\r(ab)〈eq\f(a＋b,2），故C錯(cuò)誤;由基本不等式可知D項(xiàng)正確．答案：D4．已知x,y都是正數(shù)．(1）如果xy＝15，則x＋y的最小值是________．（2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．解析:（1）x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15)，即x＋y的最小值是2eq\r（15);當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(15）時(shí)取最小值．（2）xy≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x＋y,2)))2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（15，2））)2＝eq\f（225，4），即xy的最大值是eq\f（225，4）。當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f（15,2)時(shí)xy取最大值．答案:（1）2eq\r（15)（2)eq\f(225,4)第1課時(shí)基本不等式題型一對(duì)基本不等式的理解[經(jīng)典例題]例1(1）下列不等式中,不正確的是()A。a2＋b2≥2|a｜|b|B.eq\f（a2,b）≥2a－b(b≠0）C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a，b))）2≥eq\f（2a,b)－1（b≠0）D．2（a2＋b2）≥（a＋b)2（2)給出下列命題：①若x∈R，則x＋eq\f（1,x）≥2；②若a<0，b〈0，則ab＋eq\f（1，ab）≥2；③不等式eq\f(y，x)＋eq\f（x，y)≥2成立的條件是x〉0且y〉0。其中正確命題的序號(hào)是________．【解析】（1）A中，a2＋b2＝|a|2＋｜b|2≥2｜a|｜b｜，所以A正確．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2。B中，當(dāng)b<0時(shí)，eq\f(a2,b）≤2a－b，所以B不正確．C中，b≠0，則eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a,b))）2≥eq\f(2a,b）－1，所以C正確．D中，由a2＋b2≥2ab，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b)2,所以D正確．1．舉反例、基本不等式?逐個(gè)判斷．2．明確基本不等式成立的條件?逐個(gè)判斷．【答案】（1)B【解析】（2)只有當(dāng)x〉0時(shí)，才能由基本不等式得到x＋eq\f(1,x）≥2eq\r（x·\f(1，x））＝2，故①錯(cuò)誤；當(dāng)a<0，b〈0時(shí)，ab〉0，由基本不等式可得ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r（ab·\f(1,ab))＝2,故②正確；由基本不等式可知，當(dāng)eq\f（y，x）>0,eq\f（x,y)〉0時(shí)，有eq\f（y,x)＋eq\f（x，y）≥2eq\r（\f(y,x)·\f（x,y）)＝2成立，這時(shí)只需x與y同號(hào)即可,故③錯(cuò)誤．基本不等式的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)正數(shù)：指式子中的a,b均為正數(shù),（2)相等：即“＝”成立的條件．【答案】(2)②跟蹤訓(xùn)練1設(shè)0<a〈b，則下列不等式中正確的是(）A。a<b〈eq\r(ab）〈eq\f（a＋b，2）B．a(chǎn)<eq\r(ab)〈eq\f(a＋b,2）<bC．a(chǎn)<eq\r（ab)〈b〈eq\f（a＋b，2)D.eq\r（ab）〈a〈eq\f（a＋b，2)〈b解析：0<a〈b?a2〈ab<b2?a<eq\r（ab)<b，0<a〈b?2a<a＋b〈2b?a<eq\f（a＋b,2）〈b，又eq\r(ab）〈eq\f（a＋b,2)，所以a<eq\r（ab)〈eq\f(a＋b，2)〈b。答案：B利用基本不等式時(shí)先要確定成立的條件，有的要適當(dāng)變形處理．題型二利用基本不等式求最值［教材P70例1］例2已知x>0,求y＝x＋eq\f(1，x）的最小值,并說(shuō)明x為何值時(shí)y取得最小值．【解析】因?yàn)閤〉0，所以根據(jù)均值不等式有x＋eq\f（1,x)≥2eq\r（x·\f(1,x）)＝2，其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f（1，x)，即x2＝1,解得x＝1或x＝－1(舍)．因此x＝1時(shí)，y取得最小值2。教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題,解決方法是消元后利用基本不等式求解．特別提醒:利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬(wàn)不要忽視等號(hào)成立的條件．跟蹤訓(xùn)練2（1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則（1＋x)（1＋y)的最大值為（）A．16B．25C．9D．36（2）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0,則x＋2y的最小值(）A．3B．4C。eq\f(9，2)D。eq\f（11,2）解析：（1)因?yàn)閤>0，y〉0，且x＋y＝8，所以(1＋x)（1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x＋y,2）））2＝9＋42＝25，因此當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)，（1＋x）·（1＋y）取最大值25。(2）因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0,所以x＋2y＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)）)2－8≥0.設(shè)x＋2y＝t>0,所以t＋eq\f(1，4)t2－8≥0，所以t2＋4t－32≥0，即(t＋8）（t－4)≥0,所以t≥4，故x＋2y的最小值為4。答案：(1)B(2）Beq\x(狀元隨筆)1．展開(kāi)（1＋x）(1＋y）?將x＋y＝8代入?用基本不等式求最值．2．利用基本不等式得x＋2y＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x＋2y,2)))2－8≥0?設(shè)x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．易錯(cuò)點(diǎn)利用基本不等式求最值例若正數(shù)x,y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(）A。eq\f（24，5）B。eq\f(28,5)C．5D．6【錯(cuò)解】由x＋3y＝5xy?5xy≥2eq\r（3xy），因?yàn)閤〉0，y>0,所以25x2y2≥12xy，即xy≥eq\f(12,25）。所以3x＋4y≥2eq\r(12xy）≥2eq\r（12·\f（12,25））＝eq\f（24,5）,當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4y時(shí)取等號(hào)，故3x＋4y的最小值是eq\f(24,5)。錯(cuò)誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須一致．【正解】由x＋3y＝5xy可得eq\f（1,5y)＋eq\f(3，5x)＝1,所以3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,5y)＋\f（3,5x）))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x，5y）＋eq\f(12y,5x）≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y）·\f（12y,5x))＝eq\f(13,5)＋eq\f（12，5）＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1,y＝eq\f(1,2）時(shí)取等號(hào)，故3x＋4y的最小值是5.【答案】C課時(shí)作業(yè)13一、選擇題1．給出下列條件：①ab>0；②ab〈0；③a>0，b〉0;④a〈0，b〈0，其中能使eq\f（b,a)＋eq\f(a，b）≥2成立的條件有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：當(dāng)eq\f(b,a)，eq\f(a，b）均為正數(shù)時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f（a，b)≥2,故只須a、b同號(hào)即可,∴①③④均可以．答案:C2．已知t>0，則y＝eq\f（t2－4t＋1,t）的最小值為（)A．－1B．－2C．2D．－5解析：依題意得y＝t＋eq\f（1，t)－4≥2eq\r（t·\f（1，t）)－4＝－2,等號(hào)成立時(shí)t＝1，即函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t）（t〉0）的最小值是－2。答案：B3．若a≥0,b≥0，且a＋b＝2,則（）A．a(chǎn)b≤eq\f（1，2）B．a(chǎn)b≥eq\f（1，2)C．a(chǎn)2＋b2≥2D．a(chǎn)2＋b2≤3解析：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2）＋(a2＋b2）≥(a2＋b2）＋2ab，即2（a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.答案：C4．若a，b都是正數(shù),則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(b，a））)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(4a，b）））的最小值為()A．7B．8C．9D．10解析：因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(b，a））)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（4a,b））)＝5＋eq\f(b，a）＋eq\f(4a,b）≥5＋2eq\r(\f（b，a）·\f（4a，b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a〉0時(shí)取等號(hào)．答案：C二、填空題5．不等式a2＋1≥2a解析：當(dāng)a2＋1＝2a，即（a－1)2＝0時(shí)“＝"成立，此時(shí)a答案：a＝16．設(shè)a＋b＝M(a>0,b〉0)，M為常數(shù)，且ab的最大值為2，則M等于________．解析：因?yàn)閍＋b＝M（a>0，b>0），由基本不等式可得,ab≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2))）2＝eq\f(M2,4)，因?yàn)閍b的最大值為2,所以eq\f(M2,4）＝2，M〉0，所以M＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2）7．已知x〉0，y>0,且eq\f（1，y）＋eq\f（3，x）＝1,則3x＋4y的最小值是________．解析：因?yàn)閤>0，y〉0，eq\f（1，y）＋eq\f（3,x)＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,y）＋\f（3,x)））＝13＋eq\f（3x,y）＋eq\f（12y,x)≥13＋3×2eq\r（\f（x,y)·\f(4y，x）)＝25（當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝5時(shí)取等號(hào)），所以(3x＋4y)min＝25.答案：25三、解答題8．已知x<eq\f(5，4），求f（x）＝4x－2＋eq\f(1,4x－5）的最大值．解析：因?yàn)閤〈eq\f(5,4），所以4x－5〈0,5－4x〉0.f(x)＝4x－5＋3＋eq\f（1,4x－5）＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f（1,5－4x）））＋3≤－2eq\r(5－4x·\f（1，5－4x））＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f（1,5－4x)時(shí)等號(hào)成立，又5－4x>0，所