有限元課件-第4章桿系結(jié)構(gòu)單元

第四章桿系結(jié)構(gòu)單型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（4-1）所○○○○○○○○○○拱框○○○○○○圖（4-本章主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)離散為單元的有關(guān)坐標(biāo)變換矩陣及結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元特性結(jié)構(gòu)離1、離散方節(jié)節(jié)點(diǎn)應(yīng)按正整數(shù)不間斷逐點(diǎn)。時(shí)單 3、記錄基本信應(yīng)建立一個(gè)數(shù)據(jù)文件（）來記錄基本信息，以便計(jì)算時(shí)調(diào)用?；拘畔ǎ?jiǎn)卧倲?shù)（NE）、節(jié)點(diǎn)總數(shù)（NJ）、節(jié)點(diǎn)自度數(shù)（NDF）彈性模量（E）、波桑系數(shù)（AMU）單元I端節(jié)點(diǎn)號(hào)IO（NE）、J端節(jié)點(diǎn)號(hào)有約束的節(jié)點(diǎn)數(shù)（NRJ）、有約束的節(jié)（KRJ(NRJ)）、受約束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）單元截面面積（A）、截面慣性矩節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：X(NJ)、分布力荷載集度qx(NE)、qyi(NE)、(1)NE、NJ、25,18,33.25e7,(3）IO（NE）、 7,10,10,13,

4、示

8,11,11,14, 9,12,12,15, 8,9,11,12,13,14,14,15,16,17,(4）NRJ、KRJ(NRJ)、

7

88

(9(13)(9(55qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)MJL,NJL(MJL),VJL(ND,J)1) 數(shù)據(jù)填寫順序應(yīng)和程序?qū)?yīng)

2

3平面鉸接桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)○ ○ ○ 已知 (斜桿A=65cm2 單元（局部）坐桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)中的位置是復(fù)雜的。如（4-1）桁架所示Y○○Y○○○ 圖（4-○約定：?jiǎn)卧鴺?biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i；節(jié)點(diǎn)i到j(luò)桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中x軸的正向。y軸、 ji （圖4-zy·ixzy·ix正向就確定了對(duì)于梁?jiǎn)卧?，y軸和z分別為橫截面上的兩個(gè)慣e——單元坐標(biāo)單元Fe——單元坐標(biāo)單元[k]e——單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染叵旅?，開始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐中的一些特性鉸接桿單1、一維鉸接桿單i ·j l l圖4-單元結(jié)點(diǎn)位移向量為

uiu

（4-單元力向量為

j

F

（4- j位移模式和形函移模ua1a2

（4-式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條x=xi時(shí)，u=uix=xj時(shí)，確定由此可確定a1、a2。再將其代入式（4-3），u

u

x)u

（4- 函將式（4-4）改寫為下列形u

（4-式中e由式（4-1）確定，形函數(shù)[N][N][Ni

Nj]

1[(

(

（4-應(yīng)變矩一維鉸接桿單元僅有軸向?qū)⑹剑?-5）、（4-6）代入上式，上式也可寫

1[1l

（4-式中[B]為應(yīng)變矩[B]

Bj]

1[1 l

（4-應(yīng)力矩由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)

將式（4-7）代入上式，

（4-式中[S]為應(yīng)力矩[S]等價(jià)節(jié)點(diǎn)

E l

（4-TT

[N

qx[N][N N][N][N N]1[(x (xijlji{F}e

xj

(x

qdx

（4-

l(

2單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染貑卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚾允剑?-33）推[k

v

（2-對(duì)于等截面鉸接桿單元A—單元截面面積。有[k

ABTv將式（4-8）代入上式

AE

（4- 1 12、平面鉸接桿y x xl3l圖4-單元坐標(biāo)單元位移

1 3

4位移模式和形函移模由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同（4-3）、（4-4）。（y方向位移不引起單元力函[N][Ni

Nj]

1[(

(

x)

（4-[N][N][N N]1[(x (xijlji

（4-應(yīng)變矩陣[B][B]

Bj]

1[1 l

（4-應(yīng)力矩應(yīng)力矩[S]

（4-[S]

E l

（4-等價(jià)節(jié)點(diǎn)(x

x)

{F}e

xj1

qdx

ql

（4- l(

2 [k]e

AE

0 0

（4- 0000 0000[k]e[k]eAEl113、空間鉸接桿y

6l6圖4-

165單元坐標(biāo)單元位移165

2 3

（4-形函[N]

1[(

x)

(

x)

（4-應(yīng)變矩[B]

1[1 l

（4-應(yīng)力矩[S]

E l

（4-(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn){F}e

ql 2

（4-(6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嘯k

AE

0 0

（4-0 0 0000

[[k]eAEl1梁?jiǎn)?、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)?/p>

圖4-單元坐標(biāo)單元位移和單元元位iTj iTj

（4-其中v——y方向位移，即撓度——角位移元iT FiT

M

（4-j其中jQ——剪M——彎M

dx2Q

（4-梁?jiǎn)卧獌?nèi)一點(diǎn)有2個(gè)位移：v、yijlx 僅一個(gè)yijlx移模3設(shè)單元坐標(biāo)位移模式3v(x)

a2x

a

（4-3函3v(x)式

[N]{

（4-[N]

N4

（4-N1

(l3

2x3)/l3N2

(l2

x3)/l2

（4-N3

(3lx22x3)/l3 N4

(lx2

x3)/l 應(yīng)變矩元彎曲應(yīng)變b與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系b

ydx2

（4-y y b

y

d2vb b

（4-[B] B

l3

l(6x

l(6x

2l)（4-應(yīng)力矩b

（4-等價(jià)節(jié)點(diǎn)對(duì)于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時(shí)這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價(jià)節(jié)點(diǎn)力問題。當(dāng)梁?jiǎn)卧献饔糜袡M向分布荷載qy(x)（圖4-yxl l圖4- yqy

xxlxl圖4-橫向分布荷載qy(x)的勢(shì)能Vq為VS

lv(x)qy(x)dx [Nl

qy(eTye ye

0

qy(x)dx

（4-幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn) 表iqj-iqj-iqj-[k]e

A 將式（4-34）代入上式進(jìn)行積分，并注意Iz

y2dA

（4- 12EIz l3 6EI

6EIzl24EI

12EIzl36EI

6EIz l2 2EI z [k]e l2

l2

z

（4-12EIz l3

6EIzl2

12EIzl3

6EIzl2 6EIz l2

2EIzl

6EIzl2

4EIz 單元?jiǎng)偠染仃囀?4-38)適合于連續(xù)梁分2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)?/p>

圖4-單元坐標(biāo)單元位移和單元iTT元位iTT

2 3 4 5 6 uj

v （4-其中——角位移元Tiii FTiii

N Qj

Mj其中j

N——軸向Q——剪M——彎

（4-y位移函數(shù)和形 移模

l

對(duì)于小變形問題，可以 為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式形函數(shù)可以分別按4.3節(jié)一維鉸接桿單元和4.4節(jié)兩22

（4-va3a4

a5

a6以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演函

fNv式中形函數(shù)[N]為

N1 N4 0

（4-其中

0NN 0NN

N6N1(xjx)/ N2(l

2x3)/l3N3

(l2

x3)/l2

（4-N4(

x)/ N52

2x3)/l3 N6

(lx2

x3)/l 應(yīng)變矩①單元彎曲應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系承受軸向力、剪力、彎矩的梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變，應(yīng)為該點(diǎn)撓度（v）引起的應(yīng)變和軸向位移）的應(yīng)變之和?？紤]到式（4-8）和（4-34），單元應(yīng)變矩陣為B1

[B] l

（4-B3

l2

(6x

（4-Byl3

應(yīng)力矩應(yīng)力矩陣形式同式（4-

（4-(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn)y

l l圖4-Fel0Nq(x)dxTy（4-{{F}exj1(xx)jxqdxqlx（4-il(xix)x2Ni

0

N1

N0 2 N0Mi

lN3

l0N N j

00

q(x)dxyy

qxdxN3NQj

N5

0M M j

N0 6 N0最后得等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩Ni

N1qx

Nlq yNlqMi

N3qy

（4-Nj

0N4qxQj N5qyM M j

Nq yNq表2給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn) 表荷載分 qxl

qyl ql q

q ql

q

3q

ql q

7q

ql

q

q 5ql2 q ql5ql2

(6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃?

02EIzl3

06EIzl2

l0

02EIzl3

006EIzl2 [k]e

6EIzl20

4EIzl0

6EIzl2 l

2EIzl0

6EI

6EI

z

z

z l3 6EIz l2

l22EIzl

l3 6EIzl2

l2 4EIz 式(4-48)用于分析平面框架y 4 4 z

圖4-架。之所以仍稱為平面梁?jiǎn)卧怯捎诮Y(jié)構(gòu)本身是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點(diǎn)也是個(gè)自由度。x、Mx——截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應(yīng)扭矩y、My——截面繞y軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應(yīng)彎矩間是相互不獨(dú)立的。例如，橫向剪力不通過扭心它會(huì)引起對(duì)扭心軸的扭矩為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨(dú)立的此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱均勻扭轉(zhuǎn)。Mxj扭矩平衡條

xj

xil

（4-由此

Mxi

Mxj

（4-M

l

xj

（4-Mxj

xj式中GJ為截面扭

l

4EIy0

6EIy l2

2EIl

6EIy l2 [k]e

6EIl2

12EIl3

6EIl2

12EIyl3 GJ

l

0 2EI0

6EI l2

4EIl

6EI l2 6EI l2

12EI l3

6EIl2

12EI l3 4、空間梁?jiǎn)渭捌?。單元力的正向及其與單元位移相同。y

z

圖4-y52

8 z圖4-

（4-3k 34

6EI z

z[k1]

l3 12EIl3

6EIl2GJ l

l2

（4-

6EIy l2

4EIy 6EIz 4EIz l2

00000000006EI z z [k2]

l3 12EIl3

0GJl

6EIl20

l2

（4-

6EIl2

2EIy

6EIz

2EIz l2

00000000006EI z z [k3]

l30006EIzl2

12EIl306EIl20

0GJl00

6EIl202EIl0

l2 00 2EIz

（4-

6EI z

z[k4]

l30006EIzl2

12EIl306EIl20

6EIl2 l 4EIyl

l2 00 4EIz

（4-單元特性在兩類坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)約定下列符號(hào)——結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位F——結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元[k]——結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染乩^續(xù)使用前單元坐標(biāo)中的符號(hào)e——單元坐標(biāo)單元Fe——單元坐標(biāo)單元[k]e——單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染?、坐標(biāo)變換矩陣定

（4-定義式節(jié)只了解[R]的存在和概念和相關(guān)關(guān)系，有關(guān)坐標(biāo)變換矩陣[R]的具體形式、內(nèi)容留在4.6節(jié)中2、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單將式（4-58）代入

消去

對(duì)上式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置，注意即

[B]T[

（4-必須：式（4-58）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系部（單元）坐標(biāo)系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系的變換式上式兩端左乘

FRTFRT（4-注意到式（4-58）、（4-59），引

RTke[k]——結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚨胟

（4-坐標(biāo)變換矩陣計(jì)算坐標(biāo)變換矩陣的計(jì)算式因單元類型不同而異1、平面鉸接桿單元i端出發(fā)的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量標(biāo)系中的分量X、Y在單元坐標(biāo)x軸上投影的代數(shù)和給出x。同理X、Y在單元坐標(biāo)y軸上投影的代數(shù)和給出y。由圖4-12得yyY cxbaX 圖4-

xX

Ysiny

sinY

（4-寫成矩陣形式x

Xy對(duì)X、Y的方向余y對(duì)X、Y的方向余y 取xx

u

Y

u

i

Xiu

y

vi

Y

viiviui

——i節(jié)點(diǎn)在單元坐標(biāo)系中的位移向——i節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的位移向vi u

ui ivi

cosvijex uje

X

uj vj

Y

vjjuj

uj vj

cosvjjuj

sinuj vj

sin

cosvji、j兩節(jié)點(diǎn)間的位移變換關(guān)系互不耦合euie

uiv

viu

isinuj jj

cosj上式可寫

坐標(biāo)變換矩陣[R]的計(jì)算式 R

cos

（4-用單元節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值（Xi、Yi和XjYj）描述方向余弦○○i○○○○i○○Xcos

XjXil

Yj

l

（4-2、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)螛?biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)取得一致。此時(shí)，無須進(jìn)行坐標(biāo)變換YYXi○○○j○○○○○○○y○ 3、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)未藭r(shí)，節(jié)點(diǎn)自由度為3，見圖4-13y l

圖4-X X

4 4 注意12、45的性質(zhì)和平面鉸接桿相同，因標(biāo)系XY平面在同一平面而單元坐標(biāo)系z(mì)軸和結(jié)于是得到

z

MzMZ

0 0R

0（4-0011euiev

uiv i izi

Rziu u j

u juvj

vj zj zj4、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)蝁XZYXZz

l

x圖4-xi、yi和e向 e，它的變換式和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁元（圖4-13）中向yui vi

l

的變換式相同并且，恒WeWi

圖4-，其變換和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?相同由此知

xie e

Xi yi Yi

Wi

xj Xj Yj Wj Wj其中，坐標(biāo)變換矩陣[R]的內(nèi)容與式（4-63）相同5、空間鉸接桿單5、空間鉸接桿單圖4-圖4-一般空間鉸接桿單一般空間鉸接桿單元指非豎直桿單元兩個(gè)坐標(biāo)系中的分量被表示為：Y xX 圖4-

x

X y

Y z Zxyz、——在單元坐標(biāo)軸上的分XYZ、——在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸上的分有有

（4-

（4-21 22 23 11、12、13——x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余21、22、23——y軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余31、32、33——z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余R

00 0

（4-如何，都可以把單元坐標(biāo)系的xy面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的Y j Z

圖4-任一單元ij的長(zhǎng)度為l。單元坐標(biāo)系中x軸從i指向x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦

XjXil

Yj

Yil

ZjZi

（4-Xj、Yj、Zj——節(jié)點(diǎn)j在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余注意到Y(jié)軸、x軸和線段ij在同一豎直平面內(nèi)。軸在水平面z軸與Y軸垂直z軸也與線段ij垂直。

cos(z,X

(( X)2(Z Zjiji

)

sin

ZjZi1113111331

cos(z,Y

cos2

（4-33

cos(z,Z

cos

221113221113i1、i2、i3——結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位e1、e2、e3——單元坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢

因?yàn)閱卧鴺?biāo)是右坐標(biāo)系，故e2e3按矢量 則，即 于是21

（4-23 11

（4-22 2222 22 是不能用的，因?yàn)?12+132=0，將導(dǎo)致計(jì)算溢出。豎直空間鉸接桿豎直的空間鉸接桿單元不外有圖4-18示出的兩情況 yi

圖4-

z軸方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的Z軸方向相同根據(jù)圖4-1容易確定單元坐標(biāo)軸、y、[]矩陣：

0

00

00

（4-式（4-71）對(duì)于圖4-18中的兩種情況都適用。（a）圖，12=1；對(duì)（b）圖，12=-16、空間梁?jiǎn)危▁i、yi、zi）。它們都需要坐標(biāo)變換6、空間梁?jiǎn)危▁i、yi、zi）。它們都需要坐標(biāo)變換因此，坐標(biāo)變換矩陣應(yīng)為 R

0

（4-有軸對(duì)稱截面的梁67）、（4-71））②截面有一根慣性主軸軸在水平面這時(shí)，可使用一般空間鉸接桿單元的[]矩陣（ 單元是豎直的，只要不能保證z軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單元的[]矩陣截面慣性主軸無一在水平面內(nèi)的空間梁面的兩個(gè)慣性主軸（