熱力學(xué)統(tǒng)計物理試題

簡述題寫出系統(tǒng)處在均衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)固均衡態(tài)的充要條件是，關(guān)于各樣可能的有限虛改動，所惹起的自由能的改變均大于零。即.F.0。寫出系統(tǒng)處在均衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個處在溫度和壓強(qiáng)不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)固均衡態(tài)的充要條件是，關(guān)于各樣可能的有限虛改動，所惹起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即.G.0。寫出系統(tǒng)處在均衡態(tài)的熵判據(jù)。一個處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)固均衡態(tài)的充要條件是，關(guān)于各樣可能的有限虛改動，所惹起的熵變均小于零。即AS：：：O熵的統(tǒng)計解說。由波耳茲曼關(guān)系s二k|_l可知，系統(tǒng)熵的大小反應(yīng)出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所擁有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反應(yīng)出在該宏觀均衡態(tài)下系統(tǒng)的雜亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部雜亂度的量度。為何在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻(xiàn)？不考慮能級的精美構(gòu)造時，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為1~10eV，相應(yīng)的特色45溫度為10~10K。在常溫或低溫下，電子經(jīng)過熱運動獲取這樣大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，均勻而言電子被凍結(jié)基態(tài)，所以對熱容量沒有貢獻(xiàn)。為何在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻(xiàn)能夠忽視？3因為雙原子分子的振動特色溫度d~10K,在常溫或低溫下(kT<<k,振子經(jīng)過熱運動獲取能量方?二kd進(jìn)而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，所以對熱容量的貢獻(xiàn)能夠忽視。能量均分定理。關(guān)于處在均衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的溫度為T時，粒子能量；的表達(dá)式中的每一個獨立平方項的均勻值為*kT。等概率原理。關(guān)于處在均衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各樣可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9?概率密度；-(q,p,t)的物理意義、代表點密度D(q,p,t)的物理意義及二者的關(guān)系。：：(q,p,t):在t時刻，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點出此刻相點(q,p)鄰域，單位相空間體積內(nèi)的概率。D(q,p,t):在t時刻，在相點(q，p)鄰域單位相空間體積內(nèi)，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點數(shù)。它們的關(guān)系是：珥q,P,t)二D(p,t)。此中，“是系綜中系統(tǒng)總數(shù)N填空題1.玻色散布表為;費米散布表為；玻耳茲曼散布表為。當(dāng)知足條件e「：：：：時，玻均過渡到玻耳茲曼散布。1InN=----------2玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，系統(tǒng)均勻粒子數(shù)為_________二_U-%Y=_1：：丨n內(nèi)能表為_________二_______，廣義力表為___________'y，In:/In、S二k(Ini)熵表為_「■3?均勻系的均衡條件是T二T。_且P=p________；均衡穩(wěn)固性條件是Co且靂T。4?均勻開系的克勞修斯方程組包括以下四個微分方程：dU=TdS-pdV+?dndH=TdS+Vdp+%n-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5dG=-SdTVdp」dndF—SdT-pdVn---------------------------------------，------------------------------------------。關(guān)于含N個分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運動對熱容量Cv=—Nk無貢獻(xiàn)；溫度大大于振動特色溫度時,_____________2；溫度小小于轉(zhuǎn)動特色溫度時，3Nk5NkCvCv_______2。溫度大大于轉(zhuǎn)動特色溫度而小小于動特色溫度時，__________2。6準(zhǔn)靜態(tài)過程是指態(tài)過程的特色是

過程進(jìn)行中的每一此中間態(tài)均可視為均衡態(tài)____________的過程：無摩擦準(zhǔn)靜外界對系綜的作使勁，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。7絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完整部是機(jī)械或電磁作用的結(jié)果，響的過程。在絕熱過程中，外界對系統(tǒng)所做的功與詳細(xì)的過程決定。

而沒有遇到其余任何影沒關(guān)，僅由初終兩態(tài)8.費米散布是指，處在均衡態(tài)、孤立的費米系統(tǒng)，粒子在能級上的最概然散布。9.弱簡并理想玻色氣體分子間存在計吸引作用：弱簡并理想費米氣體分子間存在

統(tǒng)統(tǒng)計排擠作用10玻色散布是指，處在均衡態(tài)、孤立的玻色系統(tǒng)，粒子在能級上的最概然散布。11.關(guān)于一單元復(fù)相系，未達(dá)到熱均衡時，熱量從高溫相傳至低溫相：未達(dá)到相變均衡時，物質(zhì)從高化學(xué)勢相向低化學(xué)勢相作宏觀遷徙。12.微正則系綜是大批的構(gòu)造完整同樣的且處于均衡態(tài)的故鄉(xiāng)系統(tǒng)的會合_____________:微正則散布是指在微正則系綜中，系統(tǒng)按可能的微觀態(tài)的散布____________________In乙cP13.玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用乙表示，內(nèi)能統(tǒng)計表達(dá)式為N:TnZj廣義力Pdy，熵的統(tǒng)計表達(dá)式為微正則散布是均衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)的基本假定，它與等概率原理等價。R8ln乙S二Nk(ln乙--J)F--NkTInZ“-----------------------，自由能的統(tǒng)計表達(dá)式為______________。5詈古14.與散布｛ai｝相應(yīng)的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為________________'a?；費米QB.E=HI——.系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)_________$a?廠a!;玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為1'■B.E=N!a./a!.：f?___________。當(dāng)知足條件經(jīng)典近似條件時，三種微觀狀態(tài)數(shù)之間1的關(guān)系為，，B-^,，F(xiàn).-Nr，M-E。15.熱力學(xué)系統(tǒng)的四個狀態(tài)量S、V、P、T所知足的麥克斯韋關(guān)系為奇P總P1!:S:P?P:T?SV■VT_TVPSTPV:■VS16.設(shè)一多元復(fù)相系有個「相，每相有個k組元，組元之間不起化學(xué)反響。此系統(tǒng)平1-。TPIHT?nP）tL-衡時必同時知足條件：TT、P=PP_、『（i=1,2j|lk）_______________________________________o選擇題1.系綜理論所波及三種系綜有：微正則系綜、正則系綜、巨正則系綜，它們分別合適的系統(tǒng)是（A）孤立系、閉系、開系（B）閉系、孤立系、開系（C）孤立系、開系、閉系（D）開系、孤立系、閉系2.

關(guān)閉系統(tǒng)指（A）與外界無物質(zhì)和能量互換的系統(tǒng)（C）與外界無物質(zhì)互換但可能有能量互換的系統(tǒng)

（B）能量守衡的系統(tǒng)（D）孤立的系統(tǒng)相關(guān)系統(tǒng)與系綜關(guān)系的表述是正確的選項是A）系綜是大批的構(gòu)造同樣，外界條件同樣，且相互獨立的系統(tǒng)的會合。B）系綜是大批的構(gòu)造不一樣，外界條件同樣，且相互獨立的系統(tǒng)的會合。C）系綜是大批的構(gòu)造同樣，外界條件不一樣，且相互獨立的系統(tǒng)的會合。D）系綜是大批的構(gòu)造不一樣，外界也條件不一樣的系統(tǒng)的會合。溫度和壓強(qiáng)熵和壓強(qiáng)

氣體的非簡并條件是(A)氣體分子均勻動能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于kT氣體分子間均勻距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子德布羅意波的均勻熱波長(C)氣體分子數(shù)密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1(D)氣體分子間均勻距離極大于它的尺度5.由熱力學(xué)基本方程dG二—SdTVdp可得麥克斯韋關(guān)系(B)IT1印丿S皿丿P(D)U-0丿P1即廠孤立系統(tǒng)指與外界有能量互換但無物質(zhì)互換的系統(tǒng)與外界既無物質(zhì)互換也無能量互換的系統(tǒng)能量守恒的系統(tǒng)溫度和體積均保持不變的隨意系統(tǒng)吉布斯函數(shù)作為特征函數(shù)應(yīng)選用的獨立態(tài)參量是(A)溫度和體積(B)溫度和壓強(qiáng)(C)熵和體積(D)熵和壓強(qiáng)(A)溫度和體積自由能作為特征函數(shù)應(yīng)選用的獨立態(tài)參量是熵和體積以下各式中不正確的選項是當(dāng)經(jīng)典極限條件建即刻，玻色散布和費米散布均過渡到(A)麥克斯韋散布(B)微正則散布(C)正則散布(D)玻爾茲曼散布以下說法正確的選項是全部與熱現(xiàn)象相關(guān)的實質(zhì)宏觀物理過程都是不行逆的。熱力學(xué)第二定律的表述只有克氏和開氏兩種說法。第一類永動機(jī)違反熱力學(xué)第二定律。第二類永動機(jī)不違反熱力學(xué)第二定律。：：(B)「［V.「PS\：SIS(D)汀V-由熱力學(xué)方程dF二-SdT-pdV可得麥克斯韋關(guān)系已知粒子能量表達(dá)式為2m(p：Py+P；)ax2bx3(C)2kT上5kT(A)kT(B)2kT(D)24a2此中a、b為常量，則依照能量均分定理粒子的均勻能量為(A)微正則散布(B)正則散布(C)巨正則散布(D)以上都不對15.玻耳茲曼統(tǒng)計頂用粒子配分函數(shù)Z1表示的內(nèi)能是cln乙(A)U「乙-(B)NBln乙(C)U(D)u_1不考慮粒子自旋，在長度子L內(nèi),動量處在Px~PxdPx范圍的一維自由粒子的可能的量態(tài)數(shù)為(D)年dpx(A)Ldp(B)hdpx(C)2Ldphh擁有確立的粒子數(shù)、確立的體積、確立的能量的系統(tǒng)知足均勻開系的熱力學(xué)基本方程是(A)dF二-SdT-pdV」dndG二-SdTVdp」dndH(C)dU=TdS-pdVn(B)(D)=TdSVd^-dn推導(dǎo)與證明Cp-CV證明：證:(1)S(T,p)=S(T,V(T,p)).汀p?汀V：：VT?汀p（2）代入（1）Cp-CV：N(3)TVV7TP：：s；：P將麥?zhǔn)详P(guān)代入（3）得系:TVT=7TV2.證明，OK時電子氣體中電子的均勻速率為V-FF（PF為費米動量）。4m1（■:：：」（0））證明：???0K時，f=10（名：＞卩（0））在單位體積內(nèi)，動量在p~p亠dp范圍內(nèi)的電子的量子態(tài)數(shù)為2Pdp在此范圍內(nèi)的電子數(shù)為dNp=f8h_p2dp".PFh3_p!PFm3.—容積V的巨大容器，器壁上開有一個極小的孔與外界大氣相通，其余部分與外界絕熱。為開始時，內(nèi)部空氣的溫度、壓強(qiáng)與外界同樣為T0,P0。假定空氣可視為理想氣體，且定壓P0VCP證明，RIn摩爾熱容量Cp為常量。給容器內(nèi)的空氣以極其遲緩的速率均勻加熱，使其溫度升至T證明：系統(tǒng)經(jīng)歷準(zhǔn)靜態(tài)過程，每一中間態(tài)均可視為均衡態(tài)關(guān)于容器內(nèi)的氣體，初態(tài)n仃）二T°no，0即PVCpIn匚R:To

：RV二n0RT，任一中間態(tài)：P0V二n（T）RTTTdTT=Tn(T)cpdT二TonoCpTdT二Ton°cpIn*0THTo4.將空窖輻射視為均衡態(tài)光子氣系統(tǒng)統(tǒng)，光子是能量為的玻色子，由玻色散布，每個量子態(tài)上均勻光子數(shù)—一試導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式:e-1'u(.,T)d，二V3丿kT1d■e-1解：在體積v內(nèi)，動量在穿p2dphP~P+dp范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為:■=ck及德布羅意關(guān)系，可得：p==-—CC由圓頻次與波矢關(guān)系:故，在體積V內(nèi)，能量在?■~，+d?，范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為：h3c3-^.2d.二c在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為:2N.d-fD(■)d■e/kT-id"故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為:U(T,，)d二力Nd，V~23■:ccH=VTp5.證明焓態(tài)方程:即”證：選T、p作為狀態(tài)參量時，有dTcHdp(1)2PT而,dH=TdSVdp（2）代入（3）得:dHdTVT比較（1）、（4）得:=TIp(5).汀p將麥?zhǔn)详P(guān)系rcS'=—1-----代入（），即得60丿p：：VT6.證明能態(tài)方程：—-T

SdTdp(2)p(3)dp(4):S(6)證：選T、V作為狀態(tài)參量時，有dU二出dT出dV(1)dS二蘭d^—dV(2)WT丿V?丿TWV?丿T而，dU=TdS-pdV(3)(2)代入(3)得：dU=T'空idT+|T'空-p'dV(4)&T.丿V[?嚴(yán)一US；:US比較(1)、(4)得:——I=T——I(5)(——I=T——I-p(6)l￡T.V⑺丿T丿T將麥?zhǔn)详P(guān)系—P代入(6)，即得人5￡~

￡■

d￡的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為7.證明，關(guān)于一維自由粒子，在長度

L內(nèi),

能量在TVL

1/2J/2,DI「id

(2m)

:d

；。h證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系

,

關(guān)于一維自由粒子，

在相空間體積元

dxdpx內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為

dx

坐。h所以，在長度L內(nèi)，動量大小在p~pdp范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為2mp2，dp「；d故，在長度L內(nèi)，能量在而,rd￡￡范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為L1/2_j/2Du7id(2m)；d；。8.證明，關(guān)于二維自由粒子,在面積L2內(nèi)，能量在￡~￡d￡范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為h2二mL證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)于二維自由粒子，在相空間體積元dxdydpxdpyh2°所以，在面積L2內(nèi)，動量大小在p~pdp范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為dxdydpxdpy內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為而,12pdp二md；p,2m故，在面積L2內(nèi)，能量在￡~￡d￡范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為2Dp7jd2-mL」h2dz。9?導(dǎo)出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達(dá)式:CV=3NeE/T2eE/T-1解：按愛因斯坦假定，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動,且全部諧振子的振動頻次同樣。諧振子的能級為:=(n1/2)克■(n=0,1,2)QQQQ則，振子的配分函數(shù)為：Z1=7ei*(n12)二e—^72、@一亦)n￡n￡v|n乙二1丄4‘-1n(1-e=')2???U=—3N1In乙3亠3冊￡一’3亠3NhcPW古e尹方；七kT2VekT(e；=3Nk阻I''-1)2引入愛因斯坦特色溫度-E:力，k^E，即得:TeE/T-12R_=T2aV-b，求此系統(tǒng)的物10.?關(guān)于給定系統(tǒng)，若已知；:vpv-bRv3v-b'態(tài)方程。解:設(shè)物態(tài)方程為p=p(T,v)，則d「呼vdT需嚴(yán)(1)vf即〕何「:VIcTXVcv丿p=—1T「鳥廠Vp嚕卜

代入(2)v-b:vpv-bRv32aRT(3)P_2v-b||v-bRvvv-b和(3)代入(1)得v-bdp=dTRTi2a’,RT,a,RT2dv3dv=ddp=d-(v-b)vv-bv2」v-b(v-bva，即:1p+弓i(v-b)=RTv-bvRT積分得：p二11?將空窖輻射視為均衡態(tài)光子氣系統(tǒng)統(tǒng),導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式:V3d■U(，,T)d?=23e/kT兀c-1解：在體積V內(nèi)，動量在P~P+dp范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因為，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵照玻色散布，因為系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個量子態(tài)上均勻光子數(shù)為e「/kT_1所以，在體積V內(nèi)，圓頻次在■—■+d-■范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)p=，二在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為Nd?fDC)d-二U(T,■)d二力N.d■e/kT-1d''故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為:12.單原子分子理想氣體孤立系統(tǒng)的可能的微觀運動狀態(tài)數(shù)為:2EZ(E)，f\/迥(2TE)3N/2此中罕上-V( )一。由此導(dǎo)出系統(tǒng)熵的表達(dá)式:53丿N!(3N/2)!3/2■:S=NklnmE3h2解：In—In3NE2EN咔“松耐—⑴中5Nk???N.1,???ln(N!)=NInN_N2,In型！3NEVi'SmE3/2.2ENInN(3Nh2)j—?/LE~h,N~1023,kT~10J1,E~102,二3/25N?InQ=NInmE,+—NV3Nh丿—由玻耳茲曼關(guān)系：S二kIni2「〔，得:--------------V(4nmE3/2S=NkIn.Nj3Nh2丿13.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程Td^CvdTTV

I2丿5N+—,3N￡In----------~10」3：02EdV，假C/導(dǎo)出理想氣體的絕熱過程方程TVJ^C（常量）。解：???dS二至dT蘭dV,d^K—IdV=CVdT+T'空IdV.汀Vs:VT門T由麥?zhǔn)详P(guān)系—S二—P,TdS二CVdTT—PdV3T5.；Er丄絕熱過程dS=0，理想氣體^nRT,P=nRV0VV（常dTnRdV積分得CVInTnRInV=