1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算學(xué)案-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第頁1.1.2空間向量數(shù)量積主備人：審核：使用班級：班使用日期：姓名：一、空間向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的，記作．a(chǎn)，b為非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a與b的夾角的范圍是。當(dāng)〈a，b〉＝0時，a與b；當(dāng)〈a，b〉＝π時，a與b；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a與b．反之，若a∥b，則〈a，b〉＝。例1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1D1,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B1A1,\s\up6(→))跟蹤訓(xùn)練1．在正四面體ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°二、空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉．2、運算律：①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，(λ∈R)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．3、性質(zhì)：（1）（2）（或）（3）=（4）（5）為銳角時，，但時，可能為為鈍角時，，但時，可能為投影向量（向量a在向量b上的投影向量）先將向量a與向量b平移到同一平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)例2：如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練2：已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．4例3：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，（1）試用，,來表示和。（2）若AC＝AB＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2AE＝2，求異面直線AE與A1C所成的角。例4已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，則a在b上的投影向量為________，b在a上的投影向量為________．當(dāng)堂檢測1．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝()A．30°B．60°C．90°D．120°2．已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b＝()A．－2B．－1C．±1D．23．設(shè)幾何體ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，則()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝a2B.eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\r(2)a2C.eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝a2 D.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝a24.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AD1,\s\up6(→))5.若，為空間夾角是60°的兩個單位向量，則|－|＝________.課后作業(yè)1．下列各命題中，假命題的個數(shù)為()①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a(a，b不共線).A．1B．2C．3 D．42．已知異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則兩直線的夾角為()A．30°B．60°C．120° D．150°3．已知a，b是異面直線，且a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，則實數(shù)k的值為()A．－6B．6C．3 D．－34.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC＝()A．6eq\r(2)B．6C．12 D．1445.(多選)已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積為零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))6.已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________．7.,則的夾角大小為_____8.已知，，，且是與方向相反的單位向量，則在上的投影向量為____