一同頻率同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成課件

一.同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：x1

=A1cos(t+1

)

x2

=A2cos(t+2

)合振動(dòng)：x=

x1+x2=

Acos(t+)§4.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1一.同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：x1=A1c用矢量法來(lái)看更簡(jiǎn)潔：M1A11MA2xoωAA22M2(2-1)(2-1)2x1合位移：x=

x1+x2=

Acos(t+)分振動(dòng)：x1

=A1cos(t+1

)

x2

=A2cos(t+2

)x2x1+x22用矢量法來(lái)看更簡(jiǎn)潔：M1A11MA2xoωAA22M2

(1)合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。x=

x1+x2=

Acos(t+)x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)

(2)=2-1討論：=2k,k=0,±1,±2,…,A=A1+A2,加強(qiáng)=(2k+1),k=0,±1,±2,…,A=|A1-A2|,減弱3(1)合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。x=x1+x2=x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)x=

x1+x2=

Acos(t+)

即：合振動(dòng)的強(qiáng)弱,取決于兩分振動(dòng)的相位差。(3)通常情況下，合振幅介于和之間。4x1=A1cos(t+1)x=x1+x2已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=公式法：=0.5=-36.86°=-0.64rad取

=-0.64+=2.5rad

合振動(dòng)方程：x

=0.5cos(t+2.5)cmx0.40.3

解

x

=Acos(t+)

例題4.13

x1

=0.3cos(t+)cmx2

=0.4cos(t+)cm求合振動(dòng)方程。5已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,旋轉(zhuǎn)矢量法：x

=Acos(t+)

x1

=0.3cos(t+)cm,x2

=0.4cos(t+)cmx0.40.3A=36.86°=0.64rad=-=2.5

合振動(dòng)方程：x

=0.5cos(t+2.5)cm6旋轉(zhuǎn)矢量法：x=Acos(t+)=/3

解已知：A1=0.4,A2=0.6,1=/3,2=-2/3=0.2xx1/3x2-2/3+=5/3x1與x2是反相的！

合振動(dòng)方程：x

=0.2cos(2t-2/3)cm例題4.14

設(shè)分振動(dòng)：x1

=0.4cos(2t+/3)cm,x2

=0.6cos(2t-2/3)cm，求合振動(dòng)方程?；蛘?2/37=/3解已知：A1=0.4,A2=0.6

合振動(dòng)方程：x

=0.04cos(t-/2)mx2x(m)t(s)x10.120.08o1

例題4.15

x1

和x2的振動(dòng)曲線如圖所示，求合振動(dòng)方程。

解由圖可知，x1與x2是反相的。因而合振幅:A=0.12-0.08=0.04;合振動(dòng)的初相:=-/2(振幅大的分振動(dòng)的初相)合振動(dòng)的角頻率：=2/T=

8合振動(dòng)方程：x2x(m)t(s)x10.120.08o

例題4.16

兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合振幅A=20cm,合振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相差為/6,A1=17.3cm,求：(1)A2=?(2)兩振動(dòng)的相差(2-1)=?A1=17.31A=20/6A2xo=10cm

由余弦定理：A22

解由公式：9例題4.16兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合

因A=20,A2=10,由上式可求出：(2-1)A1=17.31A=20/6A2xoA22(2)兩振動(dòng)的相差(2-1)由正弦定理有：10因A=20,A2=10,由上式可求出：(2-x1

=Aocostx2

=Aocos(t+)……xn=Aocos[t+(N-1)]例題4.17

求同方向、同頻率、同振幅、依次間相位差均為的N個(gè)諧振動(dòng)的合振動(dòng)方程。解光的衍射選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)起點(diǎn)，使某個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相為零，則有由前面討論推知，這N個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)表達(dá)式為x=Acos(t+)11x1=Aocost例題4x1

=Aocostx2

=Aocos(t+)……xn=Aocos[t+(N-1)]OBD:OBC:AxAoDoRBCNAo12x1=AocostOBAxAoDoRBCNAox

=Acos(t+)13AxAoDoRBCNAox=Acos(t+此時(shí)振幅最大。

x

=Acos(t+)2.當(dāng)1.當(dāng)此時(shí)振幅最小。

即：當(dāng)各分振動(dòng)構(gòu)成一個(gè)封閉的多邊形時(shí)。合振動(dòng)為零。14此時(shí)振幅最大。x=Acos(t+)2.當(dāng)1.當(dāng)此二.不同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成以特殊情況來(lái)討論：A1=A2=

A，1

與2相差很小。合振動(dòng)：

x=

x1+x2=

由于1

與2相差很小,故1

-2比1

+2小得多;即比的周期長(zhǎng)得多！15二.不同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成以特殊情況來(lái)討論：AM1A11MA2xoAA22M216M1A11MA2xoAA22M216

所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧振動(dòng)—拍現(xiàn)象xt17所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧振動(dòng)—拍拍頻:合振幅變化的頻率18拍頻:合振幅變化的頻率18

x

=A1cos(t+1)y

=A2cos(t+2)

在一般情況下,這是一個(gè)橢圓方程。三.同頻率、相互垂直諧振動(dòng)的合成19x=A1cos(t+1)在一般情況下,

(1)當(dāng)2-1=0時(shí)，同相，xy合振動(dòng)仍為諧振動(dòng):xy合振動(dòng)仍為諧振動(dòng):(2)當(dāng)2-1=時(shí)，反相，上式退化為一直線：

上式也退化為一直線：20(1)當(dāng)2-1=0時(shí)，同相，xy合振動(dòng)仍為諧振xy2-1=/2xy2-1=-/2

(3)當(dāng)2-1=±/2時(shí)，上式為一橢圓：合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。左旋右旋21xy2-1=/2xy2-1=-/2(兩個(gè)頻率相同、振幅不同的互相垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成22兩個(gè)頻率相同、22四.不同頻率垂直諧振動(dòng)的合成李薩如圖形

x

=A1cos(1t+1)y

=A2cos(2t+2)23四.不同頻率垂直諧振動(dòng)的合成x=A1cos(1t+一、阻尼振動(dòng)回復(fù)力阻力運(yùn)動(dòng)微分方程令＊§4.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振（振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)）24一、阻尼振動(dòng)回復(fù)力阻力運(yùn)動(dòng)微分方程令＊§4.5阻尼振動(dòng)1，>0（過(guò)阻尼）2，=0（臨介阻尼）3，<0（欠阻尼）方程的解為251，>0（過(guò)阻尼）2，=0（臨介阻尼）3，彈性力：-kx；阻尼力：周期性驅(qū)動(dòng)力：f=Focost運(yùn)動(dòng)微分方程：二.受迫振動(dòng)令（在策動(dòng)力作用下的振動(dòng)）26彈性力：-kx；周期性驅(qū)動(dòng)力：f=Focost運(yùn)動(dòng)該微分方程的解為

可見(jiàn),穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻率就是驅(qū)動(dòng)力的頻率。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間第一項(xiàng)就減弱到可以忽略不計(jì)了。而第二項(xiàng)是受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解:x

=Acos(t+)27該微分方程的解為可見(jiàn),穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻率就穩(wěn)態(tài)時(shí),速度：x

=Acos(t+)

穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅和初相為28穩(wěn)態(tài)時(shí),速度：x=Acos(t+)穩(wěn)三.共振1.速度共振由求極值可知,m有最大值的條件是此時(shí)驅(qū)動(dòng)力f=Focost不合理,舍去)29三.共振1.速度共振由求極值可知,m有最大值的條件是此時(shí)驅(qū)通過(guò)對(duì)A求極值可知,A有最大值的條件是由此可見(jiàn)：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于振子的固有頻率時(shí)，驅(qū)動(dòng)力將與振子速度始終保持同相，振子將獲得最大速度速度共振。2.位移共振因此，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率滿(mǎn)足上式時(shí),振子的位移振幅具有最大值位移共振。30通過(guò)對(duì)A求極值可知,A有最大值的條件是由此一.同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：x1

=A1cos(t+1

)

x2

=A2cos(t+2

)合振動(dòng)：x=

x1+x2=

Acos(t+)§4.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成31一.同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：x1=A1c用矢量法來(lái)看更簡(jiǎn)潔：M1A11MA2xoωAA22M2(2-1)(2-1)2x1合位移：x=

x1+x2=

Acos(t+)分振動(dòng)：x1

=A1cos(t+1

)

x2

=A2cos(t+2

)x2x1+x232用矢量法來(lái)看更簡(jiǎn)潔：M1A11MA2xoωAA22M2

(1)合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。x=

x1+x2=

Acos(t+)x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)

(2)=2-1討論：=2k,k=0,±1,±2,…,A=A1+A2,加強(qiáng)=(2k+1),k=0,±1,±2,…,A=|A1-A2|,減弱33(1)合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。x=x1+x2=x1

=A1cos(t+1)x2

=A2cos(t+2)x=

x1+x2=

Acos(t+)

即：合振動(dòng)的強(qiáng)弱,取決于兩分振動(dòng)的相位差。(3)通常情況下，合振幅介于和之間。34x1=A1cos(t+1)x=x1+x2已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=公式法：=0.5=-36.86°=-0.64rad取

=-0.64+=2.5rad

合振動(dòng)方程：x

=0.5cos(t+2.5)cmx0.40.3

解

x

=Acos(t+)

例題4.13

x1

=0.3cos(t+)cmx2

=0.4cos(t+)cm求合振動(dòng)方程。35已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,旋轉(zhuǎn)矢量法：x

=Acos(t+)

x1

=0.3cos(t+)cm,x2

=0.4cos(t+)cmx0.40.3A=36.86°=0.64rad=-=2.5

合振動(dòng)方程：x

=0.5cos(t+2.5)cm36旋轉(zhuǎn)矢量法：x=Acos(t+)=/3

解已知：A1=0.4,A2=0.6,1=/3,2=-2/3=0.2xx1/3x2-2/3+=5/3x1與x2是反相的！

合振動(dòng)方程：x

=0.2cos(2t-2/3)cm例題4.14

設(shè)分振動(dòng)：x1

=0.4cos(2t+/3)cm,x2

=0.6cos(2t-2/3)cm，求合振動(dòng)方程。或者-2/337=/3解已知：A1=0.4,A2=0.6

合振動(dòng)方程：x

=0.04cos(t-/2)mx2x(m)t(s)x10.120.08o1

例題4.15

x1

和x2的振動(dòng)曲線如圖所示，求合振動(dòng)方程。

解由圖可知，x1與x2是反相的。因而合振幅:A=0.12-0.08=0.04;合振動(dòng)的初相:=-/2(振幅大的分振動(dòng)的初相)合振動(dòng)的角頻率：=2/T=

38合振動(dòng)方程：x2x(m)t(s)x10.120.08o

例題4.16

兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合振幅A=20cm,合振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相差為/6,A1=17.3cm,求：(1)A2=?(2)兩振動(dòng)的相差(2-1)=?A1=17.31A=20/6A2xo=10cm

由余弦定理：A22

解由公式：39例題4.16兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合

因A=20,A2=10,由上式可求出：(2-1)A1=17.31A=20/6A2xoA22(2)兩振動(dòng)的相差(2-1)由正弦定理有：40因A=20,A2=10,由上式可求出：(2-x1

=Aocostx2

=Aocos(t+)……xn=Aocos[t+(N-1)]例題4.17

求同方向、同頻率、同振幅、依次間相位差均為的N個(gè)諧振動(dòng)的合振動(dòng)方程。解光的衍射選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)起點(diǎn)，使某個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相為零，則有由前面討論推知，這N個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)表達(dá)式為x=Acos(t+)41x1=Aocost例題4x1

=Aocostx2

=Aocos(t+)……xn=Aocos[t+(N-1)]OBD:OBC:AxAoDoRBCNAo42x1=AocostOBAxAoDoRBCNAox

=Acos(t+)43AxAoDoRBCNAox=Acos(t+此時(shí)振幅最大。

x

=Acos(t+)2.當(dāng)1.當(dāng)此時(shí)振幅最小。

即：當(dāng)各分振動(dòng)構(gòu)成一個(gè)封閉的多邊形時(shí)。合振動(dòng)為零。44此時(shí)振幅最大。x=Acos(t+)2.當(dāng)1.當(dāng)此二.不同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成以特殊情況來(lái)討論：A1=A2=

A，1

與2相差很小。合振動(dòng)：

x=

x1+x2=

由于1

與2相差很小,故1

-2比1

+2小得多;即比的周期長(zhǎng)得多！45二.不同頻率、同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成以特殊情況來(lái)討論：AM1A11MA2xoAA22M246M1A11MA2xoAA22M216

所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧振動(dòng)—拍現(xiàn)象xt47所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧振動(dòng)—拍拍頻:合振幅變化的頻率48拍頻:合振幅變化的頻率18

x

=A1cos(t+1)y

=A2cos(t+2)

在一般情況下,這是一個(gè)橢圓方程。三.同頻率、相互垂直諧振動(dòng)的合成49x=A1cos(t+1)在一般情況下,

(1)當(dāng)2-1=0時(shí)，同相，xy合振動(dòng)仍為諧振動(dòng):xy合振動(dòng)仍為諧振動(dòng):(2)當(dāng)2-1=時(shí)，反相，上式退化為一直線：

上式也退化為一直線：50(1)當(dāng)2-1=0時(shí)，同相，xy合振動(dòng)仍為諧振xy2-1=/2xy2-1=-/2

(3)當(dāng)2-1=±/2時(shí)，上式為一橢圓：合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。左旋右旋51xy2-1=/2xy2-1=-/2(兩個(gè)頻率相同、振幅不同的互相垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成52兩個(gè)